1、专题对点练 25 7.17.3 组合练(限时 90 分钟,满分 100 分)专题对点练第 41 页 一 、选择题(共 9 小题,满分 45 分)1.(2017 河南焦作二模,理 8)已知 M 是抛物线 C:y2=2px(p0)上一点,F 是抛物线 C 的焦点,若|MF|=p,K 是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点,则MKF= ( )A.45 B.30 C.15 D.60答案 A解析 由题意,|MF|=p,则设点 M ,(2,) K , kKM=1, MKF=45, 故选 A.(-2,0)2.圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a=( )A.
2、- B.- C. D.243 34 3答案 A解析 由 x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1) 2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,所以 =1,解得|+4-1|2+12a=- ,故选 A.433.(2017 辽宁鞍山一模,理 10)已知点 P 在抛物线 x2=4y 上,则当点 P 到点 Q(1,2)的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( )A.(2,1) B.(-2,1) C. D.(-1,14) (1,14)答案 D解析 如图,由几何性质可得,从 Q(1,2
3、)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将 x=1 代入x2=4y,可得 y= ,点 P 到点 Q(1,2)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的14坐标为 ,故选 D.(1,14)4.(2017 河北保定二模,理 9)当双曲线 =1 的焦距取得最小值时,其渐近线的22+8 26-2方程为( )A.y=x B.y= x23C.y= x D.y= x13 12答案 B解析 由题意,焦距 2c=2 (2+8)+(6-2)=2 ,2-2+14当 m=1 时,双曲线的焦距最小,此时双曲线的方程为 =1,其渐近线的方程为 y= x,故选 B.2924 235.(2017 广西南宁
4、一模,理 11)已知双曲线 C: =1(a0,b0)的左焦点为 F(-c,0),M,N 在双2222曲线 C 上,O 是坐标原点,若四边形 OFMN 为平行四边形,且四边形 OFMN 的面积为 cb,则2双曲线 C 的离心率为( )A. B.2 C.2 D.22 2 3答案 D解析 双曲线 C: =1(a0,b0)焦点在 x 轴上,2222设 M(x0,y0),y00,由四边形 OFMN 为平行四边形,得点 M,N 关于 y 轴对称,且|MN|=|OF|=c, x0=- ,2四边形 OFMN 的面积为 cb, |y0|c= cb,即|y 0|= b,2 2 2 M ,代入双曲线可得 =1,整理
5、得 -2=1.由 e= , e2=12,由 e1,解得(-c2, 2) 2222 242 e=2 ,故选 D.36.(2017 福建厦门二模,理 6)已知 A,B 为抛物线 E:y2=2px(p0)上异于顶点 O 的两点,AOB 是等边三角形,其面积为 48 ,则 p 的值为( )3A.2 B.2 C.4 D.43 3答案 A解析 设 B(x1,y1),A(x2,y2), |OA|=|OB|, .21+21=22+22又 =2px1, =2px2,21 22 +2p(x2-x1)=0,2221即(x 2-x1)(x1+x2+2p)=0.又 x1,x2 与 p 同号, x1+x2+2p0, x2
6、-x1=0,即 x1=x2.由抛物线对称性,知点 B,A 关于 x 轴对称,不妨设直线 OB 的方程为 y= x,33联立 y2=2px,解得 B(6p,2 p),3 |OB|= =4 p,(6)2+(23)2 3 (4 p)2=48 , p=2,故选 A.34 3 37.(2017 河南洛阳三模,理 11)已知点 A 是抛物线 x2=4y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点,P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )A. B. +1 C. D. -12+12 2 5-12 5答案 B解析 过 P
7、 作准线的垂线,垂足为 N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|, |PA|=m|PB|, |PA|=m|PN|, .1=|设 PA 的倾斜角为 ,则 sin = ,当 m 取得最大值时,sin 最小,此时直线 PA 与抛物线相1切.设直线 PA 的方程为 y=kx-1,代入 x2=4y,可得 x2=4(kx-1),即 x2-4kx+4=0, =16k2-16=0, k=1, P(2,1), 双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2( -1),2 双曲线的离心率为 +1.故选 B.22( 2-1)=28.(2017 天津,理 5)已知双曲线 =1(a0,b0)的左焦点为 F,离心率为 ,若经过
8、 F 和22222P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 ( )A. =1 B. =12424 2828C. =1 D. =12428 2824答案 B解析 设双曲线半焦距为 c(c0),则双曲线 =1(a0,b0)的左焦点 F 的坐标为(-c,0), 渐近线方程为 y= x.2a222 点 P 的坐标为(0,4), 直线 PF 的斜率为 k= .4由题意得 . 4= 双曲线的离心率为 , . 2=2在双曲线中,a 2+b2=c2, 联立 解得 a=b=2 ,c=4.2 所求双曲线的方程为 =1.故选 B.28289.(2017 全国 ,理 10)已知 F 为抛物线
9、C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线l1 与 C 交于 A,B 两点,直线 l2 与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )导学号 16804224A.16 B.14 C.12 D.10答案 A解析 方法一:由题意,易知直线 l1,l2 斜率不存在时,不合题意.设直线 l1 方程为 y=k1(x-1),联立抛物线方程,得 2=4,=1(-1),消去 y,得 x2-2 x-4x+ =0,所以 x1+x2= .21 21 21221+421同理,直线 l2 与抛物线的交点满足 x3+x4= .222+422由抛物线定义可知|AB|+|DE|=
10、x 1+x2+x3+x4+2p= +4= +82221+421 +222+422 421+422+8=16,162122当且仅当 k1=-k2=1(或-1) 时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得 F(1,0),设 AB 倾斜角为 .作 AK1 垂直准线,AK 2 垂直 x 轴,结(不妨令 (0,2)合图形,根据抛物线的定义,可得 |+|=|1|,|1|=|,|=2, 所以|AF| cos +2=|AF|,即|AF|= .21-同理可得|BF|= ,所以 |AB|= .21+ 41-2= 42又 DE 与 AB 垂直,即 DE 的倾斜角为 +,则|DE|= ,2 42(2+)= 42所以|
11、AB|+|DE|= 16,当 = 时取42+ 42= 422= 41422= 1622 4等号,即|AB|+|DE|最小值为 16,故选 A.二、填空题(共 3 小题,满分 15 分)10.(2017 河北邯郸一模,理 16)已知点 A(a,0),点 P 是双曲线 C: -y2=1 右支上任意一点,若24|PA|的最小值为 3,则 a= . 答案 -1 或 2 5解析 设 P(x,y)(x2),则|PA| 2=(x-a)2+y2= a2-1,54(-45)2+15当 a0 时,x= a,|PA|的最小值为 a2-1=3,45 15解得 a=2 ;5当 a13三、解答题(共 3 个题,分别满分为
12、 13 分,13 分,14 分)13.(2017 河北保定二模,理 20)已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),D(-22+22 12a,0),ABD 的面积为 2 .3(1)求椭圆 C 的方程;(2)如图,设 P(x0,y0)是椭圆 C 在第二象限的部分上的一点,且直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线PB 与 x 轴交于点 N,求四边形 ABNM 的面积.解 (1)由题意得 解得 a=2,b= .=12,12(2)=23,2=2+2, 3故椭圆 C 的方程为 =1.24+23(2)由(1)知,A(2,0), B(0, ),3由题意可得 S 四边形 ABNM
13、= |AN|BM|,12 P(x0,y0),-20)的焦点,直线 l:y=kx+ 交抛物线2E 于 A,B 两点.(1)当 k=1,|AB|=8 时,求抛物线 E 的方程;(2)过点 A,B 作抛物线 E 的切线 l1,l2,且 l1,l2 交点为 P,若直线 PF 与直线 l 斜率之和为- ,求直32线 l 的斜率.解 (1)联立 消去 x 得 y2-3py+ =0,=+2,2=2, 24由题设得|AB|=y A+ +yB+ =yA+yB+p=4p=8,2 p2 p=2,故抛物线 E 的方程为 x2=4y.(2)设 A ,B ,(1,1221) (2,1222)联立 消去 y 得 x2-2p
14、kx-p2=0,=+2,2=2, x1+x2=2pk,x1x2=-p2,由 y= x2 得 y= x,12 1 直线 l1,l2 的方程分别为 y= x- ,y= x- ,1 1221 2 1222联立 得点 P 的坐标为 ,=1- 1221,=2- 1222 (,-2) kPF=- , - +k=- . k=-2 或 ,1 1 32 12 直线 l 的斜率为 k=-2 或 k= .1215.(2017 天津,理 19)设椭圆 =1(ab0)的左焦点为 F,右顶点为 A,离心率为 ,已知 A22+22 12是抛物线 y2=2px(p0)的焦点 ,F 到抛物线的准线 l 的距离为 .12(1)求
15、椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设 l 上两点 P,Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B(B 异于点 A),直线 BQ 与 x 轴相交于点 D.若APD 的面积为 ,求直线 AP 的方程.62解 (1)设 F 的坐标为(-c,0).依题意, =a,a-c= ,解得 a=1,c= ,p=2,于是 b2=a2-c2= .=12,2 12 12 34所以,椭圆的方程为 x2+ =1,抛物线的方程为 y2=4x.423(2)设直线 AP 的方程为 x=my+1(m0),与直线 l 的方程 x=-1 联立,可得点 P ,故(-1,-2)Q .(-1,2)将 x=my+1 与 x2+ =1 联立 ,消去 x,整理得(3 m2+4)y2+6my=0,解得 y=0 或 y= .423 -632+4导学号 16804226
