1、 学科：数学专题：相似三角形有关的综合问题 2金题精讲题一：题面：在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2+bx2 经过（2，1）和（6，5）两点（1）求此抛物线的解析式；（2）设此抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于 C 点，点 P 是在直线 x=4 右侧的抛物线上一点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，若以 A、 P、 M 为顶点的三角形与 OCB 相似，求点 P 的坐标满分冲刺题一：题面：如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=5， BC=10， BC 边上的高 AM=4， E 为 BC 边上的一个动点（不与 B、 C 重合
2、）过 E 作直线 AB 的垂线，垂足为 F FE 与 DC 的延长线相交于点G，连结 DE， DF（1）求证： BEF CEG；（2）当点 E 在线段 BC 上运动时， BEF 和 CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由题二：题面：如图，已知抛物线 y= x2 (b+1)x+ (b 是实数且 b2)与 x 轴的正半轴分别交于144点 A、 B(点 A 位于点 B 的左侧)，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）求点 B 的坐标，点 C 的坐标 (用含 b 的代数式表示)；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰
3、直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得 QCO， QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由课后练习详解金题精讲题一：答案：（1）抛物线的解析式为 y= x2+ x2；（2）点 P 的坐标为（8，14）或15（5，2）详解：（1）把（2，1）和（6，5）两点坐标代入得 4a+2b2=1，36 a+6b2=5，解这个方程组，得 a= ， b= ，125故抛物线的解析式为 y= x2+ x2；（2）令 y=0，得 x2+ x2=0，15解
4、这个方程，得 x1=1， x2=4 A（1，0）， B（4，0）令 x=0，得 y= 2 C（0，2） 设 P（ m， ），25 COB= AMP=90，当 时， OCB MAPOBMA ，2415m解这个方程，得 m1=8， m2=1（舍）点 P 的坐标为（8，14），当 时， OCB MPA，OCBMA ，2415m解这个方程，得 m1=5， m2=1（舍）点 P 的坐标为（5，2）综上，点 P 的坐标为（8，14）或（5，2）满分冲刺题一：答案：（1） BEF CEG；（2）24详解：（1）因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB DG，所以 B= GCE， G= BFE，所以 B
5、EF CEG（2） BEF 与 CEG 的周长之和为定值过点 C 作 FG 的平行线交直线 AB 于 H，因为 GF AB，所以四边形 FHCG 为矩形所以 FH=CG， FG=CH，因此， BEF 与 CEG 的周长之和等于 BC+CH+BH， B= B， AMB= BHC=90 ABM CBH， .AMCH由 BC=10， AB=5， AM=4，可得 CH=8， BH=6，所以 BC+CH+BH=24题二：答案：（1）（ b，0），（0， ）；（2） P 的坐标为（ ， ）；（3）存在点 Q（1，2+4b）或 Q（1，4），使得 QCO， QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似详解：
6、（1）令 y=0，即 y= x2 (b+1)x+ =0，14解得： x=1 或 b， b 是实数且 b2，点 A 位于点 B 的左侧，点 B 的坐标为（ b，0），令 x=0，解得： y= ，4点 C 的坐标为（0， ），4b故答案为：（ b，0），（0， ）；（2）存在，假设存在这样的点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形设点 P 的坐标为（ x， y），连接 OP则 S 四边形 POCB=S PCO+S POB= x+ by=2b，124 x+4y=16过 P 作 PD x 轴， PE y 轴，垂足分别为 D、 E， PEO= E
7、OD= ODP=90四边形 PEOD 是矩形 EPO=90 EPC= DPB PEC PDB， PE=PD，即 x=y由 解得416xy165xy由 PEC PDB 得 EC=DB，即 =b ，4解得 b= 2 符合题意P 的坐标为（ ， ）；（3）假设存在这样的点 Q，使得 QCO， QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似 QAB= AOQ+ AQO， QAB AOQ， QAB AQO要使 QOA 与 QAB 相似，只能 QAO= BAQ=90，即 QA x 轴 b2， AB OA， QOA ABQ只能 AOQ= AQB此时 OQB=90，由 QA x 轴知 QA y 轴 COQ= OQA要使 QOA 与 OQC 相似，只能 QCO=90或 OQC=90（I）当 OCQ=90时， CQO QOA AQ=CO= 4b由 AQ2=OAAB 得：( )2=b1解得： b=84 b2， b=8+4 点 Q 的坐标是（1，2+ ）（II）当 OQC=90时， QCO QOA， = ，即 OQ2=OCAQCOA又 OQ2=OAOB， OCAQ=OAOB即 AQ=1b4解得： AQ=4，此时 b=172 符合题意，点 Q 的坐标是（1，4）综上可知，存在点 Q（1，2+ ）或 Q（1，4），使得 QCO， QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似
