1、9.2 直线、圆的位置高考文数 ( 课标专用 )1.(2018课标全国 ,8,5分 )直线 x+y+2=0分别与 x轴 ,y轴交于 A,B两点 ,点 P在圆 (x-2)2+y2=2上 ,则 ABP面积的取值范围是 ( )A.2,6 B.4,8 C. ,3 D.2 ,3 A组 统一命题 课标卷题组五年高考答案 A 圆心 (2,0)到直线 x+y+2=0的距离为 =2 ,圆的半径为 ,设点 P到直线的距离为 d,则 dmin=2 - = ,dmax=2 + =3 ,又易知 A(-2,0),B(0,-2), |AB|=2 , (S ABP)min= |AB|dmin= 2 =2,(S ABP)max
2、= |AB|dmax= 2 3 =6. ABP面积的取值范围是 2,6.故选 A.解题关键 把求 ABP面积的取值范围转化为求圆上的点到直线的距离的最值 .2.(2016课标全国 ,6,5分 )圆 x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线 ax+y-1=0的距离为 1,则 a= ( )A.- B.- C. D.2答案 A 由圆的方程可知圆心为 (1,4).由点到直线的距离公式可得 =1,解得 a=- ,故选 A.易错警示 圆心的坐标容易误写成 (-1,-4)或 (2,8).3.(2014课标 ,12,5分 ,0.264)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1上存在点 N,使得 O
3、MN=45,则 x0的取值范围是 ( )A.-1,1 B. C.- , D. 答案 A 解法一 :过 M作圆 O的两条切线 MA、 MB,切点分别为 A、 B,若在圆 O上存在点 N,使 OMN=45,则 OMB OMN=45,所以 AMB 90,所以 -1 x0 1,故选 A.解法二 :过 O作 OP MN于 P,则 |OP|=|OM|sin 45 1, |OM| ,即 , 1,即 -1 x0 1,故选 A.思路分析 解法一 :过 M作出圆的两条切线 ,利用 OMB OMN得出答案 ;解法二 :判断出 O到直线 MN的距离小于等于半径 ,得到 |OM| ,进而求出 x0的范围 .4.(201
4、8课标全国 ,15,5分 )直线 y=x+1与圆 x2+y2+2y-3=0交于 A,B两点 ,则 |AB|= .答案 2 解析 将圆 x2+y2+2y-3=0化为标准方程为 x2+(y+1)2=4,则圆心坐标为 (0,-1),半径 r=2, 圆心到直线 x-y+1=0的距离 d= = , |AB|=2 =2 =2 .方法归纳 求解圆的弦长的常用方法 :(1)几何法 :l=2 (其中 l为圆的弦长 ,r为圆的半径 ,d为弦心距 );(2)代数法 :联立直线与圆的方程 ,结合根与系数的关系及弦长公式 |AB|= |x1-x2|= 或 |AB|= |y1-y2|= (k 0)求解 .5.(2016课
5、标全国 ,15,5分 )设直线 y=x+2a与圆 C:x2+y2-2ay-2=0相交于 A,B两点 ,若 |AB|=2 ,则圆 C的面积为 .答案 4解析 把圆 C的方程化为 x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为 (0,a),半径 r= .圆心到直线 x-y+2a=0的距离 d= .由 r2=d2+ ,得 a2+2= +3,解得 a2=2,则 r2=4,所以圆的面积 S=r2=4.解题关键 破解此类题的关键是过好三关 :一是借形关 ,即会画图与用图 ;二是方程关 ,利用直角三角形 (弦长的一半、弦心距、半径所构成的直角三角形 )寻找关于参数的方程 ;三是公式应用关 ,即利用圆的面积公式求解
6、.6.(2016课标全国 ,15,5分 )已知直线 l:x- y+6=0与圆 x2+y2=12交于 A,B两点 ,过 A,B分别作 l的垂线与 x轴交于 C,D两点 .则 |CD|= .答案 4解析 圆心 (0,0)到直线 x- y+6=0的距离 d= =3,|AB|=2 =2 ,过 C作 CE BD于 E,因为直线 l的倾斜角为 30,所以 |CD|= = = =4.一题多解 由 x- y+6=0与 x2+y2=12联立解得 A(-3, ),B(0,2 ), AC的方程为 y- =- (x+3),BD的方程为 y-2 =- x,可得 C(-2,0),D(2,0),所以 |CD|=4.7.(2
7、017课标全国 ,20,12分 )在直角坐标系 xOy中 ,曲线 y=x2+mx-2与 x轴交于 A,B两点 ,点 C的坐标为 (0,1).当 m变化时 ,解答下列问题 :(1)能否出现 AC BC的情况 ?说明理由 ;(2)证明过 A,B,C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值 .解析 (1)不能出现 AC BC的情况 ,理由如下 :设 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2满足 x2+mx-2=0,所以 x1x2=-2.又 C的坐标为 (0,1),故 AC的斜率与 BC的斜率之积为 =- ,所以不能出现 AC BC的情况 .(2)BC的中点坐标为 ,可得 BC的中垂线方程为 y- =
8、x2 .由 (1)可得 x1+x2=-m,所以 AB的中垂线方程为 x=- .联立 又 +mx2-2=0,可得 所以过 A,B,C三点的圆的圆心坐标为 ,半径 r= .故圆在 y轴上截得的弦长为 2 =3,即过 A,B,C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值 .8.(2015课标 ,20,12分 ,0.193)已知过点 A(0,1)且斜率为 k的直线 l与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1交于 M,N两点 .(1)求 k的取值范围 ;(2)若 =12,其中 O为坐标原点 ,求 |MN|.解析 (1)由题设 ,可知直线 l的方程为 y=kx+1.因为 l与 C交于两点 ,所以 0,则 C ,
9、圆 C的方程为 +(y-a)2= +a2,由 得 =(5-a,-2a) = +2a2-4a=0, a=3或 a=-1,又 a0, a=3, 点 A的横坐标为 3.一题多解 由题意易得 BAD=45.设直线 DB的倾斜角为 ,则 tan =- , tan ABO=-tan(-45)=3, kAB=-tan ABO=-3. AB的方程为 y=-3(x-5),由 得 xA=3.3.(2016天津 ,12,5分 )已知圆 C的圆心在 x轴的正半轴上 ,点 M(0, )在圆 C上 ,且圆心到直线 2x-y=0的距离为 ,则圆 C的方程为 .答案 (x-2)2+y2=9解析 设圆 C的方程为 (x-a)2
10、+y2=r2(a0),由题意可得 解得 所以圆 C的方程为 (x-2)2+y2=9.方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法 ,一般步骤为 设出圆的方程 ; 列出关于系数的方程组 ,并求出各系数的值 ; 检验各值是否符合题意 ,并写出满足题意的圆的方程 .有时也可利用圆的几何性质进行求解 .4.(2015湖南 ,13,5分 )若直线 3x-4y+5=0与圆 x2+y2=r2(r0)相交于 A,B两点 ,且 AOB=120(O为坐标原点 ),则 r= .答案 2解析 过 O作 OC AB于 C,则 OC= =1,在 Rt AOC中 , AOC=60,则 r=OA= =2.5.(2017江苏 ,
11、13,5分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,A(-12,0),B(0,6),点 P在圆 O:x2+y2=50上 .若 20,则点 P的横坐标的取值范围是 .答案 -5 ,1解析 解法一 :设 P(x,y),则由 20可得 ,(-12-x)(-x)+(-y)(6-y) 20,即 (x+6)2+(y-3)2 65,所以 P为圆 (x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点 .又点 P在圆 x2+y2=50上 ,联立得 解得 或 即 P为圆 x2+y2=50的劣弧 MN上的一点 (如图 ),易知 -5 x 1.解法二 :设 P(x,y),则由 20,可得 (-12-x)(-x)+(-y)(6-y)
12、 20,即 x2+12x+y2-6y 20,由于点 P在圆 x2+y2=50上 ,故 12x-6y+30 0,即 2x-y+5 0, 点 P为圆 x2+y2=50上且满足 2x-y+5 0的点 ,即 P为圆 x2+y2=50的劣弧 MN上的一点 (如图 ),同解法一 ,可得 N(1,7),M(-5,-5),易知 -5 x 1.C组 教师专用题组1.(2014安徽 ,6,5分 )过点 P(- ,-1)的直线 l与圆 x2+y2=1有公共点 ,则直线 l的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D. 答案 D 过 P点作圆的切线 PA、 PB,连接 OP,如图所示 .显然 ,直线 PA的倾斜角为
13、 0,又 OP= =2,PA= ,OA=1,因此 OPA= ,由对称性知 ,直线 PB的倾斜角为 .若直线 l与圆有公共点 ,由图形知其倾斜角的取值范围是 .故选 D.2.(2014北京 ,7,5分 )已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点 A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆 C上存在点 P,使得 APB=90,则 m的最大值为 ( )A.7 B.6 C.5 D.4答案 B 若 APB=90,则点 P的轨迹是以 AB为直径的圆 ,其方程为 x2+y2=m2.由题意知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆 O:x2+y2=m2有公共点 ,所以 |m-1| |OC| m+1,
14、易知 |OC|=5,所以 4 m 6,故 m的最大值为 6.选 B.3.(2014浙江 ,5,5分 )已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0截直线 x+y+2=0所得弦的长度为 4,则实数 a的值是 ( )A.-2 B.-4 C.-6 D.-8答案 B 将圆的方程化为标准方程为 (x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为 (-1,1),半径 r= ,圆心到直线 x+y+2=0的距离 d= = ,故 r2-d2=4,即 2-a-2=4,所以 a=-4,故选 B.4.(2011全国 ,11,5分 )设两圆 C1、 C2都和两坐标轴相切 ,且都过点 (4,1),则两圆心的距离 |C1C2|= (
15、 )A.4 B.4 C.8 D.8 答案 C 设与两坐标轴都相切的圆的方程为 (x-a)2+(y-a)2=a2,将点 (4,1)代入得 a2-10a+17=0,解得 a=52 ,设 C1(5-2 ,5-2 ),则 C2(5+2 ,5+2 ),则 |C1C2|= =8,故选 C.评析 本题考查了圆的方程的求法 ,注意数形结合思想的应用 ,找出圆心坐标和半径之间的关系是解题关键 .5.(2014重庆 ,14,5分 )已知直线 x-y+a=0与圆心为 C的圆 x2+y2+2x-4y-4=0相交于 A,B两点 ,且 ACBC,则实数 a的值为 .答案 0或 6解析 由 x2+y2+2x-4y-4=0,
16、得 (x+1)2+(y-2)2=9, 圆 C的圆心坐标为 (-1,2),半径为 3.由 AC BC,知 ABC为等腰直角三角形 ,所以 C到直线 AB的距离 d= ,即 = ,所以 |a-3|=3,即 a=0或 a=6.6.(2011课标 ,20,12分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,曲线 y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆 C上 .(1)求圆 C的方程 ;(2)若圆 C与直线 x-y+a=0交于 A,B两点 ,且 OA OB,求 a的值 .解析 (1)曲线 y=x2-6x+1与 y轴的交点为 (0,1),与 x轴的交点为 (3+2 ,0),(3-2 ,0).故可设 C的圆心为 (3,t
17、),则有 32+(t-1)2=(2 )2+t2,解得 t=1.则圆 C的半径为 =3.所以圆 C的方程为 (x-3)2+(y-1)2=9.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组 :消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得 ,判别式=56-16a-4a20.因此 x1,2= ,从而 x1+x2=4-a,x1x2= . 评析 本题考查圆的方程的求法 .曲线交点的求法 ,韦达定理或一元二次方程的求根公式等基础知识和基本方法 .对运算能力的要求较高 ,对数形结合思想、函数与方程的思想 ,化归与转化的思想的考查较为全面、深入 .难度较大 .由于
18、OA OB,可得 x1x2+y1y2=0.又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0. 由 , 得 a=-1,满足 0,故 a=-1.(时间 :25分钟 分值 :50分 )一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 )1.(2018山东淄博 3月模拟 ,6)已知直线 (a-1)x+(a+1)y-a-1=0(a R)过定点 A,线段 BC是圆 D:(x-2)2+(y-3)2=1的直径 ,则 = ( )A.5 B.6 C.7 D.8三年模拟A组 2016201 8年 高考模拟 基础题 组答案 C 直线 (a-1)x+(a+1)y-a-1=0(a R)可化为 a(
19、x+y-1)+(-x+y-1)=0,由 解得 即 A(0,1).易知点 A在圆 D外 ,连接 AD, 线段 BC是圆 D:(x-2)2+(y-3)2=1的直径 , =( + )( + )=| |2+ ( + )+ =8-1=7.故选 C.2.(2018上海虹口二模 ,15)直线 l:kx-y+k+1=0与圆 x2+y2=8交于 A,B两点 ,且 |AB|=4 ,过点 A,B分别作 l的垂线与 y轴交于点 M,N,则 |MN|等于 ( )A.2 B.4 C.4 D.8答案 D |AB|=4 等于圆的直径 ,所以直线 AB过圆心 (0,0),所以 k=-1,则直线 l的方程为 y=-x,所以过两条
20、垂线的斜率均为 1,倾斜角 45,结合图象易知 ,|MN|=2 2 =8,故选 D.3.(2018湖南十四校二联 ,8)已知直线 x-2y+a=0与圆 O:x2+y2=2相交于 A,B两点 (O为坐标原点 ),且 AOB为等腰直角三角形 ,则实数 a的值为 ( )A. 或 - B. 或 - C. D. 答案 B 因为直线 x-2y+a=0与圆 O:x2+y2=2相交于 A,B两点 (O为坐标原点 ),且 AOB为等腰直角三角形 ,所以 O到直线 AB的距离为 1,由点到直线的距离公式可得 =1,所以 a= ,故选 B.4.(2018广东佛山学情调研 ,8)已知圆 O1的方程为 x2+y2=1,
21、圆 O2的方程为 (x+a)2+y2=4,如果这两个圆有且只有一个公共点 ,那么 a的所有取值构成的集合是 ( )A.1,-1,3,-3 B.5,-5,3,-3C.1,-1 D.3,-3答案 A 由题意得两圆的圆心距 d=|a|=2+1=3或 d=|a|=2-1=1,解得 a=3或 a=-3或 a=1或 a=-1,所以 a的所有取值构成的集合是 1,-1,3,-3.故选 A.5.(2016山西太原五中月考 ,4)过点 (1,-2)作圆 (x-1)2+y2=1的两条切线 ,切点分别为 A、 B,则 AB所在直线的方程为 ( )A.y=- B.y=- C.y=- D.y=- 答案 B 圆 (x-1
22、)2+y2=1的圆心为 (1,0),半径为 1,以 (1,-2),(1,0)为直径两端点的圆的方程为 (x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得 AB所在直线的方程为 2y+1=0,即 y=- .故选 B.二、填空题 (每小题 5分 ,共 25分 )6.(2018安徽宣城二模 ,14)已知过点 P(2,2)的直线与圆 (x-1)2+y2=5相切 ,且与直线 x-ay+1=0平行 ,则 a= .答案 -2解析 因为点 P在圆 (x-1)2+y2=5上 ,所以过点 P(2,2)与圆 (x-1)2+y2=5相切的切线方程为 (2-1)(x-1)+2y=5,即 x+2y-6=0,由直线 x+2y-6=0与直线 x-ay+1=0平行 ,得 -a=2,a=-2.7.(2018天津河西一模 ,11)若 A为圆 C1:x2+y2=1上的动点 ,B为圆 C2:(x-3)2+(y+4)2=4上的动点 ,则线段 AB长度的最大值是 .答案 8解析 圆 C1:x2+y2=1的圆心为 C1(0,0),半径 r1=1,圆 C2:(x-3)2+(y+4)2=4的圆心为 C2(3,-4),半径 r2=2, |C1C2|=5.又 A为圆 C1上的动点 ,B为圆 C2上的动点 , 线段 AB长度的最大值是 |C1C2|+r1+r2=5+1+2=8.
