1、章末分层突破自我校对分类加法计数原理分步乘法计数原理排列排列数公式组合数公式组合数二项展开式的通项对称性增减性两个计数原理的应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本部分内容的基础，对应用题的考查，经常要对问题进行分类或者分步，进而分析求解(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情 “分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后
2、一步采取什么方法. 王华同学有课外参考书若干本，其中有 5 本不同的外语书，4 本不同的数学书，3 本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读(1)若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选 2 本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？【精彩点拨】 解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法使这件事是否完成，从而区分加法原理和乘法原理【规范解答】 (1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为
3、54312(种)(2)完成的事情是带 3 本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选 1 本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为 54360(种)(3)选 1 本外语书和选 1 本数学书应用分步乘法计数原理，有 5420 种选法；同样，选外语书、物理书各 1 本，有 5315 种选法；选数学书、物理书各 1 本，有 4312种选法即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为 20151247(种)应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：1 要做什么事；2如何去做这件事；3 怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.再练一题1.如图 11
4、为电路图，从 A 到 B 共有_条不同的线路可通电图 11【解析】 先分三类第一类，经过支路有 3 种方法；第二类，经过支路有 1 种方法；第三类，经过支路有 224(种)方法，所以总的线路条数 N3148.【答案】 8排列、组合的应用排列、组合应用题是高考的重点内容，常与实际问题结合命题，要认真审题，明确问题本质，利用排列、组合的知识解决(1)某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？(2)在高三一班元旦晚会上，有 6 个演唱节目，4 个舞蹈节目当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目
5、安排顺序？当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板 2 个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？【精彩点拨】 按照“特殊元素先排法”分步进行，先特殊后一般【规范解答】 (1)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案 A 种；48若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安排其余学生有 A 种方法，所以38共有 3A 种方法；38若乙参加而甲不参加同理也有 3A 种；38若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安
6、排其余学生到另两个城市有A 种，共有 7A 种方法28 28所以共有不同的派遣方法总数为 A 3A 3A 7A 4 088 种48 38 38 28(2)第一步，先将 4 个舞蹈节目捆绑起来，看成 1 个节目，与 6 个演唱节目一起排，有 A 5 040 种方法；第二步，再松绑，给 4 个节目排序，有 A 24 种方法7 4根据分步乘法计数原理，一共有 5 04024120 960 种第一步，将 6 个演唱节目排成一列(如下图中的“”)，一共有 A 720 种方法6第二步，再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“”的位置)，这样相当于 7 个“”选 4 个来排，一共有 A 76
7、54840 种47根据分步乘法计数原理，一共有 720840604 800 种若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 A 种排法，但原来的节目已定好顺序，12需要消除，所以节目演出的方式有 A 132 种排法A12A10 21解排列、组合应用题的解题策略1特殊元素优先安排的策略2合理分类和准确分步的策略3排列、组合混合问题先选后排的策略4正难则反、等价转化的策略5相邻问题捆绑处理的策略6不相邻问题插空处理的策略7定序问题除序处理的策略8分排问题直排处理的策略9 “小集团”排列问题中先整体后局部的策略10构造模型的策略简单记成：合理分类，准确分步；特殊优先，一般在后；先取后排，间接排除；集团捆绑
8、，间隔插空；抽象问题，构造模型；均分除序，定序除序再练一题2(1)一次考试中，要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行答题，要求至少包含前 5 个题目中的 3 个，则考生答题的不同选法的种数是( )A40 B74C84 D200(2)(2016山西质检)A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A60 种 B48 种C30 种 D24 种【解析】 (1)分三类：第一类，前 5 个题目的 3 个，后 4 个题目的 3 个；第二类，前 5 个题目的 4 个，后
9、 4 个题目的 2 个；第三类，前 5 个题目的 5 个，后 4 个题目的 1 个由分类加法计数原理得C C C C C C 74.3534 4524 514(2)由题意知，不同的座次有 A A 48 种，故选 B.24【答案】 (1)B (2)B二项式定理问题的处理方法和技巧对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题(1)(2014湖北高考)若二项式 7的展开式中 的系数是 84，则实数(2xax) 1x3a( )A2 B.54C1 D.24(2)(2016沈阳高二检测)已知(1xx 2) n(nN )的展开式中没有
10、常数项，且(x1x3)2n8，则 n_.(3)设(3x1) 6a 6x6a 5x5a 4x4a 3x3a 2x2a 1xa 0，则 a6a 4a 2a 0的值为_【精彩点拨】 (1)、(2)利用二项式定理的通项求待定项；(3)通过赋值法求系数和【规范解答】 (1)二项式 7的展开式的通项公式为 Tr1 C (2x)(2xax) r77r rC 27 rarx72r ，令 72r3，得 r5.故展开式中 的系数是 C 22a584，解得(ax) r7 1x3 57a1.(2) n展开式的通项是 Tr1 C xnr rC xn4r ，r0,1,2，n，(x1x3) rn (1x3) rn由于(1x
11、x 2) n的展开式中没有常数项，所以 C xn4r ，xC xn4r (x1x3) rn rnC xn4r1 和 x2C xn4r C xn4r2 都不是常数，则rn rn rnn4r0，n4r10，n4r20，又因为 2n8，所以 n2,3,4,6,7,8，故取n5.(3)令 x1，得 a6a 5a 4a 3a 2a 1a 02 664.令 x1，得 a6a 5a 4a 3a 2a 1a 0(4) 64 096.两式相加，得 2(a6a 4a 2a 0)4 160，所以 a6a 4a 2a 02 080.【答案】 (1)C (2)5 (3)2 0801解决与二项展开式的项有关的问题时，通常
12、利用通项公式2解决二项展开式项的系数(或和)问题常用赋值法再练一题3(1)(2014浙江高考)在(1x) 6(1y) 4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m，n)，则 f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)( )A45 B60C120 D210(2)设 aZ，且 0a13，若 512 016a 能被 13 整除，则 a( )A0 B1C11 D12【解析】 (1)因为 f(m，n)C C ，m6n4所以 f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)C C C C C C C C 120.3604 2614 1624 0634(2)512 016a (1341) 2 016a
13、，被 13 整除余 1a，结合选项可得 a12 时，51 2 016a 能被 13 整除【答案】 (1)C (2)D排列、组合中的分组与分配问题n 个不同元素按照条件分配给 k 个不同的对象称为分配问题，分定向分配与不定向分配两种问题；将 n 个不同元素按照某种条件分成 k 组，称为分组问题，分组问题有不平均分组、平均分组、部分平均分组三种情况分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使 2 组元素个数相同，但因所属对象不同，仍然是可区分的对于后者必须先分组再排列按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1 份 1 本，1
14、份 2 本，1 份 3 本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；(3)平均分成三份，每份 2 本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；(7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本【精彩点拨】 这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏【规范解答】 (1)无序不均匀分组问题先选 1 本有 C 种选法，再从余下的 5 本中16选 2 本有 C 种选法，最后余下 3 本全选有
15、 C 种选法故共有 C C C 60(种)25 3 16253(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有 C C C A 360(种)162533(3)无序均匀分组问题先分三步，则应是 C C C 种方法，但是这里出现了重复不26242妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C C C 种分法中还有(AB，EF，CD)，(AB，CD，EF)，26242(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共 A 种情
16、况，而这 A 种3 3情况仅是 AB，CD，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有 15(种)C26C24C2A3(4)有序均匀分组问题在第(3)问基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 A C C C 90(种)C26C24C2A3 3 26242(5)无序部分均匀分组问题共有 15(种)C46C12C1A2(6)有序部分均匀分组问题在第(5)问基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 A 90(种)C46C12C1A2 3(7)直接分配问题甲选 1 本有 C 种方法，乙从余下 5 本中选 1 本有 C 种方法，余下16 154 本留给丙有 C 种方法共有 C C C 30(种)
17、4 16154均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.再练一题4将 6 本不同的书，分配给甲、乙、丙三人，问如下分配的分配方法各有多少种？(1)甲一本，乙两本，丙三本？(2)其中有一人一本，有一人两本，有一人三本？(3)甲、乙、丙每人两本？(4)分成三堆，每堆两本？【解】 (1)甲一本，有 C 种取法；乙从剩余的 5 本中任取 2 本，有 C 种取法；丙有16 25C 种取法，故有 C C C 60 种
18、取法3 16 25 3(2)有一人一本，有一人两本，有一人三本，没指定哪个人几本，故在(1)的情况下，甲、乙、丙手中的书可以任意交换，故有 C C C A 360 种分配法16 25 3 3(3)同(1)一样，甲、乙、丙依次去取书，共有 C C C 90 种分配方法26 24 2(4)分成三堆，每堆两本，注意与(3)中的情况不同，假如在(3)中甲选 AB，乙选 CD，丙选 EF，这是一种分法，将 AB，CD，EF 任意交换得到甲、乙、丙不同的分法如甲 CD，乙 AB，丙 EF 或甲 EF，乙 AB，丙 CD，而分成三堆都属于同一种分法故应有15 种分配方法C26C24C2A31(2015湖北高
19、考)已知(1x) n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A2 9 B2 10 C2 11 D2 12【解析】 由 C C ，得 n10，故奇数项的二项式系数和为 29.3n 7n【答案】 A2(2016全国卷)如图 12，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图 12A24 B18 C12 D9【解析】 从 E 到 G 需要分两步完成：先从 E 到 F，再从 F 到 G.从 F 到 G 的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即
20、可确定，故从 F 到 G 的最短路径共有 3 条如图，从 E 到 F 的最短路径有两类：先从 E 到 A，再从 A 到 F，或先从 E 到 B，再从 B 到 F.因为从 A 到 F 或从 B 到 F 都与从 F 到 G 的路径形状相同，所以从 A 到 F，从 B到 F 最短路径的条数都是 3，所以从 E 到 F 的最短路径有 336(条)所以小明到老年公寓的最短路径条数为 6318.【答案】 B3(2016全国卷)定义“规范 01 数列”a n如下：a n共有 2m 项，其中 m 项为0，m 项为 1，且对任意 k2m，a 1，a 2，a k中 0 的个数不少于 1 的个数若 m4，则不同的“
21、规范 01 数列”共有( )A18 个 B16 个C14 个 D12 个【解析】 由题意知：当 m4 时， “规范 01 数列”共含有 8 项，其中 4 项为 0,4 项为1，且必有 a10，a 81.不考虑限制条件“对任意 k2m，a 1，a 2，a k中 0 的个数不少于 1 的个数” ，则中间 6 个数的情况共有 C 20(种)，其中存在 k2m，a 1，a 2，a k中360 的个数少于 1 的个数的情况有：若 a2a 31，则有 C 4(种)；若 a21，a 30，14则 a41，a 51，只有 1 种；若 a20，则 a3a 4a 51，只有 1 种综上，不同的“规范 01 数列”
22、共有 20614(种)故共有 14 个故选 C.【答案】 C4(2016四川高考)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A24 B48 C60 D72【解析】 第一步，先排个位，有 C 种选择；13第二步，排前 4 位，有 A 种选择4由分步乘法计数原理，知有 C A 72(个)13 4【答案】 D5(2016全国卷)(2x )5的展开式中，x 3的系数是_(用数字填写答案)x【解析】 (2x )5展开式的通项为 Tr1 C (2x)5r ( )r2 5r C .x r5 x r5令 5 3，得 r4.r2故 x3的系数为 254 C 2C 10.45 45【答案】 10
