1、2 超几何分布1理解超几何分布及其推导过程(重点)2能用超几何分布解决一些简单的实际问题(难点)基础初探教材整理 超几何分布阅读教材 P38P 40部分，完成下列问题1超几何分布的概念一般地，设有 N 件产品，其中有 M(MN)件次品从中任取 n(nN)件产品，用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数，那么 P(Xk)_(其中 k 为非负整数)如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布2超几何分布的表格形式Xk 0 1 2 k P(Xk) _ _ _ _ 【答案】 1. 2. CkMCn kN MCnN C0MCn 0N MCnN C1MCn 1N M
2、CnN C2MCn 2N MCnN CkMCn kN MCnN1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样( )(2)在超几何分布中，随机变量 X 取值的最大值是 M.( )(3)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名，其中女演员的人数 X 服从超几何分布( )(4)在超几何分布中，只要知道 N，M 和 n，就可以根据公式，求出 X 取不同值 m 时的概率 P(Xm)( )【答案】 (1) (2) (3) (4)2设袋中有 80 个红球，20 个白球，若从袋中任取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的概率为( )A. B. C380C610C10
3、 C680C410C10C. D.C480C620C10 C680C420C10【解析】 设 X 表示任取 10 个球中红球的个数，则 X 服从参数为N100，M80，n10 的超几何分布，取到的 10 个球中恰有 6 个红球，即 X6，P(X6) .C680C420C10【答案】 D质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型超几何分布的概念盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同(1)若用随机变量 X 表示任选 4 个球中红球的个数，则 X 服从超几何分
4、布，其参数为( )AN9，M4，n4 BN9，M5，n5CN13，M4，n4 DN14，M5，n5(2)若用随机变量 Y 表示任选 3 个球中红球的个数，则 Y 的可能取值为_(3)若用随机变量 Z 表示任选 5 个球中白球的个数，则 P(Z2)_.【精彩点拨】 着眼点：(1)超几何分布的概念；(2)参数的意义；(3)古典概型概率的计算公式【自主解答】 (1)根据超几何分布的定义知，N9，M4，n4.(2)由于只选取了 3 个球，因此随机变量 Y 的所有可能取值为 0,1,2,3.(3)由古典概型概率计算公式知，P(Z2) .C2C37C59 518【答案】 (1)A (2)0,1,2, 3
5、(3)518对于超几何分布要注意以下两点：1 超几何分布是不放回抽样；2 公式 PX k 中各参数的意义.CkMCn kN MCnN再练一题1若将例 1 第(1)小题中改为“随机变量 X 表示不是红球的个数” ，则参数N_，M_，n_.【解析】 根据超几何分布的定义知，N9，M5，n4.【答案】 9 5 4求超几何分布的分布列袋中有 8 个球，其中 5 个黑球，3 个红球，从袋中任取 3 个球，求取出的红球数 X 的分布列，并求至少有一个红球的概率【精彩点拨】 先写出 X 所有可能的取值，求出每一个 X 所对应的概率，然后写出分布列，求出概率【自主解答】 X0,1,2,3，X0 表示取出的 3
6、 个球全是黑球，P(X0) ，C35C38 1056 528同理 P(X1) ，C13C25C38 3056 1528P(X2) ，C23C15C38 1556P(X3) .C3C38 156X 的分布列为X 0 1 2 3P528 1528 1556 156至少有一个红球的概率为 P(X1)1 .528 2328超几何分布的求解步骤1辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生” ， “正品、次品” ， “优劣”等，或可转化为明显的两部分具有该特征的概率模型为超几何分布模型2算概率：可以直接借助公式 P(Xk) 求解，也可以利用排列组合及概率CkMCn k
7、N MCnN的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数 M，N，n，k 的含义3列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来再练一题2从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中，不放回地任取 3 件，求取得次品数为 的分布列【解】 设随机变量 表示取出次品的件数，则 服从超几何分布，其中N15，M2，n3. 的可能的取值为 0,1,2，相应的概率依次为P(0) ，P(1) ，P(2) .C02C31C315 2235 C12C213C315 1235 C2C13C315 135所以 的分布列为 0 1 2P 2235 1235 135探究共研型超几何分布的应用探究 1 袋中有 4 个红球，3 个
8、黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得 2 分，取到一个黑球得 1 分，从袋中任取 4 个球试求得分 X 的分布列【提示】 从袋中随机摸 4 个球的情况为 1 红 3 黑，2 红 2 黑，3 红 1 黑，4 红四种情况，分别得分为 5 分，6 分，7 分，8 分，故 X 的可能取值为 5,6,7,8.P(X5) ，P(X6) ，C14C3C47 435 C24C23C47 1835P(X7) ，P(X8) .C34C13C47 1235 C4C03C47 135故所求的分布列为X 5 6 7 8P 435 1835 1235 135探究 2 在上述问题中，求得分大于 6 分的概率【提示】 根据
9、随机变量 X 的分布列，可以得到得分大于 6 分的概率为 P(X6)P(X7)P(X8) .1235 135 1335交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通指数为 T，其范围为0,10，分别有五个级别：T0,2)畅通；T2,4)基本畅通；T4,6)轻度拥堵；T6,8)中度拥堵；T8,10严重拥堵晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区 20 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图 221 所示：图 221(1)这 20 个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这 20 个路段中随机抽出 3 个路段，用 X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的
10、分布列【精彩点拨】 (1)求这 20 个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数，即求交通指数分别为4,6)和6,8)时的频数根据频率分布直方图的性质求解(2)先根据超几何分布的概率公式求解 X 取各个值时的概率，再列出分布列【自主解答】 (1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.10.2)1206；中度拥堵的路段个数是(0.30.2)12010.(2)X 的可能取值为 0,1,2,3.则 P(X0) ；P(X1) ；C01C310C320 219 C10C210C320 1538P(X2) ；P(X3) .C210C10C320 1538 C310C01C320 219所以 X 的分布列为X 0 1
11、 2 3P 219 1538 1538 2191超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题在其分布列的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同2在超几何分布中，随机变量 X 取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键再练一题3某人有 5 把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为 ，试求 的分布列，并求他至多试开 3 次的概率【解】 的所有可能取值为 1,2
12、,3,4,5，且 P(1) ，P(2) ，C1C15 15 C14C1C15C14 15P(3) ，P(4) ，C14C13C1C15C14C13 15 C14C13C12C1C15C14C13C12 15P(5) .C14C13C12C1C1C15C14C13C12C1 15因此 的分布列为 1 2 3 4 5P 15 15 15 15 15由分布列知 P(3)P(1)P(2)P(3) .15 15 15 35构建体系1盒中有 4 个白球，5 个红球，从中任取 3 个球，则取出 1 个白球和 2 个红球的概率是( )A. B.3742 1742C. D.1021 1721【解析】 根据题意知
13、，该问题为古典概型，P .C14C25C39 1021【答案】 C2某 10 人组成兴趣小组，其中有 5 名团员，从这 10 人中任选 4 人参加某种活动，用X 表示 4 人中的团员人数，则 P(X3)( ) 【导学号：62690031】A. B.421 921C. D.621 521【解析】 P(X3) .C35C15C410 521【答案】 D3从 3 台甲型彩电和 2 台乙型彩电中任取 2 台，若设 X 表示所取的 2 台彩电中甲型彩电的台数，则 P(X1)_.【解析】 X1 表示的结果是抽取的 2 台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X1) .C13C12C25 35【答案】
14、354在某次国际会议中，需要从 4 个日本人，5 个英国人和 6 个美国人中，任选 4 人负责新闻发布会，则恰好含有 3 个英国人的概率为_(用式子表示)【解析】 设选取的 4 人中英国人有 X 个，由题意知 X 服从参数为N15，M5，n4 的超几何分布，其中 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，且P(Xk) (k0,1,2,3,4)Ck5C4 k10C415P(X3) .C35C10C415【答案】 C35C10C4155一个袋中装有 3 个白球和 2 个黑球，它们大小相同，采用无放回地方式从袋中任取3 个球，取到黑球的数目用 X 表示，求随机变量 X 的分布列【解】 X 可能取的值
15、为 0,1,2.由题意知，X 服从超几何分布，所以 P(X0) ；C02C3C35 110P(X1) ；C12C23C35 35P(X2) .C2C13C35 310所以 X 的分布列为：Xk 0 1 2P(Xk) 110 35 310我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1从一副不含大、小王的 52 张扑克牌中任意抽出 5 张，则至少有 3 张是 A 的概率为( )A.C34C248C52B.C348C24C52C1C148C4C52D.C34C248 C4C148C52【解析】 从 52 张扑克牌中任意抽出
16、5 张，至少有 3 张 A 的结果数是C C C C ，故所求概率为 .34248 4148C34C248 C4C148C52【答案】 D2一个盒子里装有相同大小的黑球 10 个，红球 12 个，白球 4 个，从中任取 2 个，其中白球的个数记为 X，则 P(X1)等于( )A. B.C122C14 C2C26 C12C14 C24C26C. D.C10C14 C2C26 C10C14 C24C26【解析】 由已知得，X 的可能取值为 0,1,2.P(X0) ；P(X1) ；P(X2) ，C2C26 C122C14C26 C24C26P(X1)P(X0)P(X1) .C122C14 C2C26
17、【答案】 A3盒中有 10 只螺丝钉，其中有 3 只是坏的，现从盒中随机地抽取 4 个，那么 等于( )310A恰有 1 只是坏的的概率B恰有两只是好的的概率C4 只全是好的的概率D至多有两只是坏的的概率【解析】 恰好两只是好的概率为 P .C23C27C410 310【答案】 B4某 12 人的兴趣小组中，有 5 名“特困生” ，现从中任意选 6 人参加竞赛，用 表示这 6 人中“特困生”的人数，则下列概率中等于 的是( )C35C37C612AP(2) BP(3)CP(2) DP(3)【解析】 6 人中“特困生”的人数为 ，则其选法数为 C C ，当 3 时， 5 6 7选法数为 C C
18、，故 P(3) .3537C35C37C612【答案】 B5一个盒子里装有相同大小的红球、白球共 30 个，其中白球 4 个从中任取两个，则概率为 的事件是( ) 【导学号：62690032】C126C14 C24C230A没有白球 B至少有一个白球C至少有一个红球 D至多有一个白球【解析】 表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球C126C14 C24C230 C126C14C230 C24C230的概率，即至少有一个白球的概率【答案】 B二、填空题6一批产品共 50 件，其中 5 件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为_【解析】 设抽取的两件产品中次品的
19、件数为 X，则 P(Xk) (k0,1,2)Ck5C2 k45C250P(X0)P(X1)P(X2) .C15C145C250 C25C250 47245【答案】 472457在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1瓶已过了保质期饮料的概率为_(结果用最简分数表示)【解析】 从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，设至少取到 1 瓶已过了保质期饮料为事件 A，则 P(A) .C127C13C230 C23C230 28145【答案】 281458(2016铜川高二检测)袋中有 3 个黑球，4 个红球，除颜色外，其他均相同，从袋中任取 3 个球，则至少
20、有一个红球的概率为_【解析】 令 X 表示取出的黑球个数，则 X0,1,2,3，P(X0) ，故至少有一个红球的概率为 P(X1)1 .C3C37 135 135 3435【答案】 3435三、解答题9现有 10 张奖券，其中 8 张 1 元，2 张 5 元，从中同时任取 3 张，求所得金额的分布列【解】 设所得金额为 X，X 的可能取值为 3,7,11.P(X3) ，P(X7) ，C38C310 715 C28C12C310 715P(X11) .C18C2C310 115故 X 的分布列为X 3 7 11P 715 715 11510.老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背诵，规定
21、至少要背出其中 2 篇才能及格某同学只能背诵其中的 6 篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为 X，则 P(Xk) (k0,1,2,3)P(X0) ，P(X1) ，Ck6C3 k4C310 C06C34C310 130 C16C24C310 310P(X2) ，P(X3) .C26C14C310 12 C36C04C310 16所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 130 310 12 16(2)他能及格的概率为 P(X2)P(X2)P(X3) .12 16 23能力提升1一个袋中有 6 个同样大小的黑球，编号为 1
22、,2,3,4,5,6，还有 4 个同样大小的白球，编号为 7,8,9,10.现从中任取 4 个球，有如下几种变量：X 表示取出的最大号码；X 表示取出的最小号码；取出一个黑球记 2 分，取出一个白球记 1 分，X 表示取出的 4 个球的总得分；X 表示取出的黑球个数这四种变量中服从超几何分布的是( )A BC D【解析】 由超几何分布的概念知符合，故选 B.【答案】 B2现有语文、数学课本共 7 本(其中语文课本不少于 2 本)，从中任取 2 本，至多有 1本语文课本的概率是 ，则语文课本的本数为( ) 【导学号：62690033】57A2 B3C4 D5【解析】 设语文课本有 m 本，任取
23、2 本书中的语文课本数为 X，则 X 服从参数为N7，Mm，n2 的超几何分布，其中 X 的所有可能取值为 0,1,2，且 P(Xk) (k0,1,2)CkmC2 k7 mC27由题意，得P(X1)P(X0)P(X1) C0mC27 mC27 C1mC17 mC27 .12 7 m 6 m21 m 7 m21 57m 2m120，解得 m4 或 m3(舍去)即 7 本书中语文课本有 4 本【答案】 C3口袋内装有 10 个大小相同的球，其中 5 个球标有数字 0,5 个球标有数字 1，若从口袋中摸出 5 个球，那么摸出的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是_(用数字作答)【解析
24、】 设摸出标有数字 1 的球的个数为 X，则所求的概率为：1P(X2)P(X3)1 1 .C25C35C510 C35C25C510 5063 1363【答案】 13634盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球规定取出1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得1 分现从盒内任取 3 个球(1)求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；(3)设 为取出的 3 个球中白色球的个数，求 的分布列【解】 (1)P1 .C37C39 712(2)记“取出 1 个红色球，2 个白色球”为事件 B， “取出 2 个红色球，1 个黑色球”为事件 C，则 P(BC)P(B)P(C) .C12C23C39 C2C14C39 542(3) 可能的取值为 0,1,2,3， 服从超几何分布，且 P(k) ，k0,1,2,3.Ck3C3 k6C39故 P(0) ，C36C39 521P(1) ，C13C26C39 1528P(2) ，C23C16C39 314P(3) ，C3C39 184 的分布列为 0 1 2 3P 521 1528 314 184
