1、, 学生用书单独成册)A.基础达标1如图，为了测量隧道两口 A、B 之间的长度，对给出的四组数据， 计算时要求最简便，测量时要求最容易，应当采用的一组是( )Aa，b， Ba，b， Ca，b， D ， ，a解析：选 A.根据实际情况， 都是不易测量的数据，在ABC 中，a， b 可以测得，角 也可 测 得，根据余弦定理能直接求出 AB 的长2一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68 海里的M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为( )A. 海里/小时 B34 海里/ 小时1762 6C. 海里 /小时 D34 海里/ 小时
2、1722 2解析：选 A.如图所示，在PMN 中， ，PMsin 45 MNsin 120所以 MN 34 ，6832 6所以 v (海里/小时 )MN4 172 63如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 A，B 两点，从 A，B 两点分别测得树尖的仰角为30，45，且 A，B 两点间的距离为 60 m，则树的高度为( )A(3030 )m B(30 15 )m3 3C(1530 )m D(1515 )m3 3解析：选 A.在PAB 中，PAB30 ，APB15，AB 60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 ，由正弦定理得22 32 22 12
3、6 24 ，所以 PB 30( )，所以 树的高度为 PBsin 4530( )PBsin 30 ABsin 1512606 24 6 2 6 2 (3030 ) m.22 34渡轮以 15 km/h 的速度沿与水流方向成 120角的方向行驶，水流速度为 4 km/h，则渡轮实际航行的速度约为( 精确到 0.1 km/h)( )A14.5 km/h B15.6 km/hC13.5 km/h D11.3 km/h解析：选 C.由物理学知识，画出示意图，AB15，AD4，BAD120.在ABCD 中，D60，在ADC 中，由余弦定理得AC AD2 CD2 2ADCDcos D 16 225 415
4、 18113.5.5.如图，从气球 A 测得正前方的济南全运会东荷、西柳两个场馆 B、C 的俯角分别为、，此时气球的高度为 h，则两个场馆 B、C 间的距离为 ( )A. B.hsin sin sin（ ） hsin（ ）sin sin C. D.hsin sin sin（ ） hsin sin sin（ ）解析：选 B.在 RtADC 中，AC ，在 ABC 中，由正弦定理得 BC sin( )hsin ACsin .hsin（ ）sin sin 6海上的 A、B 两个小岛相距 10 km，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角，那么 B
5、岛和 C 岛间的距离是 _km.解析：如图所示，则 C180 (60 75)45.在ABC 中，由正弦定理 ，得ABsin C BCsin ABC 5 (km)ABsin Asin C 10sin 60sin 45 6答案：5 67要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲观测点连线及甲、乙两观测点连线所成的角为 120，甲、乙两观测点相距 500 m，则电视塔在这次测量中的高度是_解析：由题意画出示意图，设高 ABh，在 RtABC 中，由已知 BCh，在 RtABD 中，由已知 BD h，
6、在3BCD 中，由余弦定理 BD2BC 2CD 22BC CDcosBCD 得，3h 2h 2500 2h500 ，解得h500 m( 负值舍去)答案：500 m8一蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转 105，爬行 10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转 135爬行回它的出发点，那么 x_解析：如图所示，设蜘蛛原来在 O 点，先爬行到 A 点，再爬行到 B 点，易知在AOB 中， AB10 cm，OAB75 ，ABO45，则AOB60，由正弦定理知：x .ABsinABOsinAOB 10sin 45sin 60 1063答案：10639如图，某军舰艇位于岛屿 A 的
7、正西方 C 处，且与岛屿 A 相距 120 海里经过侦察发现，国际海盗船以 100 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿北偏东 30方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东 90 的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用 2 小时追上(1)求该军舰艇的速度(2)求 sin 的值解：(1)依题意知， CAB120 ，AB1002200，AC 120，ACB ，在ABC 中， 由余弦定理，得BC2AB 2AC 22AB ACcosCAB200 2120 22200120cos 12078 400，解得 BC280.所以该军舰艇的速度为 140 海里/ 小时BC2(2)在ABC 中，由正弦定理，得 ，即A
8、Bsin BCsin 120sin .ABsin 120BC 20032280 531410为了测量两山顶 M、N 间的距离，飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量，A、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内，如图，飞机能测量的数据有俯角和 A、B 间的距离，请设计一个方案；包括：(1)指出需要测量的数据( 用字母表示，并在图中标出)；(2)用文字和公式写出计算 M、N 间的距离的步骤解：(1)需要测量的数据有 A 到 M、N 的俯角 1、1，B 到 M、N 的俯角 2、2，A、B 的距离 d(如 图所示)(2)方案一：第一步：计算 AM，由正弦定理得 AM ；dsin 2sin（1 2）第二步：
9、计算 AN，由正弦定理得 AN ；dsin 2sin（2 1）第三步：计算 MN，由余弦定理得MN .AM2 AN2 2AMANcos（1 1）方案二：第一步：计算 BM，由正弦定理得 BM ；dsin 1sin（1 2）第二步：计算 BN，由正弦定理得 BN ；dsin 1sin（2 1）第三步：计算 MN，由余弦定理得MN .BM2 BN2 2BMBNcos（2 2）B.能力提升1江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得两船俯角分别为 45和30，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距( )A10 m B100 m3 3C20 m D30 m30解析：选 D.设炮
10、台顶部为 A，两条船分别为 B、C，炮台底部为 D，可知 BAD45 ，CAD60，BDC30，AD30.分别在 RtADB，RtADC 中，求得 DB30，DC30 .3在DBC 中，由余弦定理得BC2DB 2DC 22DBDCcos 30，解得 BC30.2在船 A 上测得它的南偏东 30的海面上有一灯塔，船以每小时 30 海里的速度向东南方向航行半个小时后，于 B 处看得灯塔在船的正西方向，则这时船和灯塔相距(sin 15 )( )6 24A. 海里 B. 海里15（6 2）2 152 562C. 海里 D. 海里15（6 2）4 152 564解析：选 B.如图所示，设灯塔为 C，由题
11、意可知，在 ABC 中，BAC15，B45，C120 ，AB300.515(海里)，所以由正弦定理，可求得 BC sin 15 15sin 120 1532 (海里)6 24 152 5623如图，在山底测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000 m 至 S 点，又测得山顶仰角DSB75，则山高 BC 为_m.解析：如图，SAB 45 30 15，又SBD15，所以ABS30.AS1 000，由正弦定理知 ，BSsin 15 1 000sin 30所以 BS2 000sin 15.所以 BDBS sin 752 000sin 15cos 151 000sin 30500，且
12、DCST1 000sin 30500 ，从而 BCDCDB1 000 m.答案：1 0004已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80处，且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km，B 船在灯塔C 北偏西 40处，A，B 两船间的距离为 3 km，则 B 船到灯塔 C 的距离为_km.解析：由题意，知ACB8040 120， AC2，AB 3，设 B 船到灯塔 C 的距离为x km，即 BCx ，由余弦定理，可知 AB2AC 2BC 22ACBCcos 120，即94x 22 2x( )，整理得 x22x 50，解得 x 1 (舍去) 或 x1 .12 6 6答案： 165要航测某座山的海拔高度，如图
13、，飞机的航线与山顶 M 在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔 10 000 m，速度为 900 km/h，航测员先测得对山顶的俯角为 30，经过 40 s(已飞过 M 点)后又测得对山顶的俯角为 45，求山顶的海拔高度( 精确到 1 m，可能要用到的数据： 1.414 ， 1.732， 2.450) 2 3 6解：900 km/h250 m/s，AB2504010 000(m)，在ABM 中，由正弦定理得 ，BM .BMsin 30 ABsin 105 ABsin 30sin 105作 MD AB 于 D，则 MD BMsin 45 sin 45ABsin 30sin 10510 000
14、122222 12 22 32 5 000( 1)3 660，10 0003 1 3M 的海拔高度为 10 0003 660 6 340 (m)即山顶的海拔高度为 6 340 m.6某海上养殖基地 A 接到气象部门预报，位于基地南偏东 60距离 20( 1)海里的3海面上有一台风中心，影响半径为 20 海里，正以每小时 10 海里的速度沿某一方向匀速2直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且( 1)小时后开始影响基地并持续 2 小3时求台风移动的方向解：如图所示，设预报时台风中心 为 B，开始影响基地 时台风中心为 C，影响结束时台风中心为 D，则 B，C，D 在同一直线上，且 AD20 海里，AC20 海里由题意知，AB 20( 1) 海里，3DC210 20 海里， BC( 1) 10 海里2 2 3 2在ADC 中，因为 DC2AD 2AC 2，所以DAC90，ADC45 .在ABC 中，由余弦定理的变形公式得cosBAC ，AC2 AB2 BC22ACAB 32所以BAC30，又因为 B 位于 A 的南偏东 60，且 60 3090180，所以 D 位于 A 的正北方向，又因为ADC45，所以台风移动的方向为 的方向，即北偏西 45方向CD 所以台风向北偏西 45方向移动
