1、7.3 基本不等式及不等式的应用高考文数 ( 课标专用 )自主命题 省 (区、市 )卷题组考点 基本不等式及其应用1.(2015湖南 ,7,5分 )若实数 a,b满足 + = ,则 ab的最小值为 ( )A. B.2 C.2 D.4答案 C 依题意知 a0,b0,则 + 2 = ,当且仅当 = ,即 b=2a时 ,“=”成立 .因为+ = ,所以 ,即 ab 2 ,所以 ab的最小值为 2 ,故选 C.2.(2014福建 ,9,5分 )要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m的无盖长方体容器 .已知该容器的底面造价是每平方米 20元 ,侧面造价是每平方米 10元 ,则该容器的最低总造价是 (
2、)A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元答案 C 设底面矩形的长和宽分别为 a m、 b m,则 ab=4.容器的总造价为 20ab+2(a+b)10=80+20(a+b) 元 ,80+20(a+b) 80+40 =160(当且仅当 a=b时等号成立 ).故选 C.3.(2014重庆 ,9,5分 )若 log4(3a+4b)=log2 ,则 a+b的最小值是 ( )A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4 答案 D 由 log4(3a+4b)=log2 ,得 3a+4b=ab,且 a0,b0, a= ,由 a0,得 b3. a+b=b+ =b+ =(b-3)+ +7
3、 2 +7=4 +7,即 a+b的最小值为 7+4 .4.(2018天津 ,13,5分 )已知 a,b R,且 a-3b+6=0,则 2a+ 的最小值为 .答案 解析 本题主要考查运用基本不等式求最值 . a-3b+6=0, a-3b=-6, 2a+ =2a+2-3b 2 =2 =2 = .当且仅当 2a=2-3b,即 a=-3,b=1时 ,2a+ 取得最小值 ,为 .易错警示 利用基本不等式求最值应注意的问题 :(1)利用基本不等式求最值的前提是 “一正、二定、三相等 ”,这三个条件缺一不可 .(2)在运用基本不等式时 ,要特别注意 “拆 ”“拼 ”“凑 ”等技巧 ,使其满足基本不等式中“正
4、 ”“定 ”“等 ”的条件 .5.(2018江苏 ,13,5分 )在 ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c, ABC=120, ABC的平分线交AC于点 D,且 BD=1,则 4a+c的最小值为 .答案 9解析 本题考查基本不等式及其应用 .依题意画出图形 ,如图所示 .易知 S ABD+S BCD=S ABC,即 csin 60+ asin 60= acsin 120, a+c=ac, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即 a= ,c=3时取 “=”.一题多解 1 作 DE CB交 AB于 E, BD为 ABC的平分线 , = = , DE
5、CB, = = = , = , = . = + . = , 1= + +2 | | | , 1= , ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即 a= ,c=3时取 “=”.一题多解 2 以 B为原点 ,BD所在直线为 x轴建立如图所示的平面直角坐标系 ,则 D(1,0). AB=c,BC=a, A ,C . A,D,C三点共线 , , + c =0, ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即 a= ,c=3时取 “=”.6.(2017山东 ,12,5分 )若直线 + =1(a0,b0)过点 (1,2),
6、则 2a+b的最小值为 .答案 8解析 由题设可得 + =1, a0,b0, 2a+b=(2a+b) =2+ + +2 4+2 =8 .故 2a+b的最小值为 8.7.(2017江苏 ,10,5分 )某公司一年购买某种货物 600 吨 ,每次购买 x 吨 ,运费为 6 万元 /次 ,一年的总存储费用为 4x 万元 .要使一年的总运费与总存储费用之和最小 ,则 x的值是 .答案 30解析 设总费用为 y 万元 ,则 y= 6+4x=4 240.当且仅当 x= ,即 x=30时 ,等号成立 .易错警示 1.a+b 2 (a0,b0)中 “=”成立的条件是 a=b.2.本题是求取最值时变量 x的值
7、,不要混同于求最值 .8.(2015山东 ,14,5分 )定义运算 “”:xy= (x,y R,xy 0).当 x0,y0时 ,xy+(2y)x的最小值为 .答案 解析 xy+(2y)x= + = = = + , x0,y0, + 2 = ,当且仅当 = ,即 x= y时等号成立 ,故所求最小值为 .9.(2015重庆 ,14,5分 )设 a,b0,a+b=5,则 + 的最大值为 .答案 3 解析 解法一 :令 t= + ,则 t2=( + )2=a+1+b+3+2 9+a+1+b+3=18,当且仅当 = ,即 a= ,b= 时 ,等号成立 .即 t的最大值为 3 .解法二 :设 =m, =n
8、,则 m,n均大于零 ,因为 m2+n2 2mn,所以 2(m2+n2) (m+n)2,所以 m+n ,所以 + =3 ,当且仅当 = ,即 a= ,b= 时 ,“=”成立 ,所以所求最大值为 3 .1.(2014浙江 ,16,4分 )已知实数 a,b,c满足 a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则 a的最大值是 .教师专用题组答案 解析 b2+c2 2bc,即 2(b2+c2) b2+c2+2bc=(b+c)2, b2+c2 ,由 a+b+c=0,得 b+c=-a,由 a2+b2+c2=1,得 1-a2=b2+c2 = , a2 , - a ,故 a的最大值为 .2.(2014辽宁 ,16
9、,5分 )对于 c0,当非零实数 a,b满足 4a2-2ab+b2-c=0且使 |2a+b|最大时 , + + 的最小值为 .答案 -1解析 由题意得 c=4a2+b2-2ab=(2a+b)2-6ab. 2ab ,当且仅当 2a=b时取 “=”, -6ab -3 , c=(2a+b)2-6ab (2a+b)2-3 ,即 c , |2a+b| 2 , 当且仅当 2a=b时 ,|2a+b|有最大值 2 ,此时 |2a+2a|=2 , c=4a2, + + = + + = + = -1 -1, + + 的最小值为 -1.评析 本题考查基本不等式及函数思想的应用 ,考查了分析问题、解决问题的能力和运算
10、求解能力 .灵活运用基本不等式是求解的关键 .3.(2014湖北 ,16,5分 )某项研究表明 :在考虑行车安全的情况下 ,某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数 ,单位 :辆 /小时 )与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v行驶 ,单位 :米 /秒 )、平均车长 l(单位 :米 )的值有关 ,其公式为 F= .(1)如果不限定车型 ,l=6.05,则最大车流量为 辆 /小时 ;(2)如果限定车型 ,l=5,则最大车流量比 (1)中的最大车流量增加 辆 /小时 .答案 (1)1 900 (2)100解析 (1)当 l=6.05时 ,F= , F= = =1 900,当且仅当 v= ,即
11、 v=11时取 “=”. 最大车流量 F为 1 900 辆 /小时 .(2)当 l=5时 ,F= = , F =2 000,当且仅当 v= ,即 v=10时取 “=”. 最大车流量比 (1)中的最大车流量增加 2 000-1 900=100 辆 /小时 .评析 本题考查了函数最值的求法及均值不等式的应用 .考点 基本不等式及其应用1.(2018山西第一次模拟 ,5)若 P为圆 x2+y2=1上的一个动点 ,且 A(-1,0),B(1,0),则 |PA|+|PB|的最大值为 ( )A.2 B.2 C.4 D.4 三年模拟A组 2016201 8年 高考模拟 基础题 组答案 B 由题意知 APB=
12、90, |PA|2+|PB|2=4, =2(当且仅当 |PA|=|PB|时取等号 ), |PA|+|PB| 2 , |PA|+|PB|的最大值为 2 .故选 B.2.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学 4月联考 ,5)已知正项等比数列 an的公比为3,若 aman=9 ,则 + 的最小值等于 ( )A.1 B. C. D. 答案 C 正项等比数列 an的公比为 3,且 aman=9 , a23m-2a23n-2= 3m+n-4=9 =32 , m+n=6,又 m,n N*, + = (m+n) = = ,当且仅当 m=2n,即 m=4,n=2时取等号 .故选 C.3.(2018山东
13、高三天成第二次联考 ,7)若 a0,b0且 2a+b=4,则 的最小值为 ( )A.2 B. C.4 D. 答案 B 因为 a0,b0,故 2a+b 2 (当且仅当 2a=b时取等号 ).又因为 2a+b=4, 2 4 00时取等号 .故选 C.5.(2017河南平顶山一模 ,6)若对于任意的 x0,不等式 a恒成立 ,则实数 a的取值范围为 ( )A.a B.a C.a0,得 = = ,当且仅当 x=1时 ,等号成立 .则 a ,故选A.6.(2017广东广雅中学、江西南昌二中联考 ,10)已知 x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则 + 的最小值是 ( )A.2 B.2 C.4
14、D.2 答案 C lg 2x+lg 8y=lg 2, lg(2x8y)=lg 2, 2x+3y=2, x+3y=1. x0,y0, + =(x+3y) =2+ + 2+2 =4,当且仅当 x=3y= 时取等号 ,所以 + 的最小值为 4.故选 C.7.(2016安徽安庆二模 ,6)已知 a0,b0,a+b= + ,则 + 的最小值为 ( )A.4 B.2 C.8 D.16答案 B 由 a0,b0,a+b= + = ,得 ab=1,则 + 2 =2 .当且仅当 = ,即 a= ,b= 时等号成立 .故选 B.思路分析 由已知等式通分变形可得 ab=1,然后直接利用基本不等式求最值即可 .8.(2
15、018山东聊城一模 ,15)已知 a0,b0,3a+b=2ab,则 a+b的最小值为 .答案 2+ 解析 由 a0,b0,3a+b=2ab,得 + =1,所以 a+b=(a+b) =2+ + 2+ ,当且仅当 b= a时等号成立 ,则 a+b的最小值为 2+.B组 20162018 年高考模拟 综合题组(时间 :30分钟 分值 :50分 )一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 )1.(2018江西师范大学附属中学 4月月考 ,11)若向量 m=(a-1,2),n=(4,b),且 m n,a0,b0,则 lo a+log3 有 ( )A.最大值 log3 B.最小值 log32C.最大值 -
16、lo D.最小值 0答案 B 由 m n,得 mn=0,即 4(a-1)+2b=0, 2a+b=2, 2 2 , ab (当且仅当 2a=b时 ,等号成立 ),而 lo a+log3 =lo a+lo b=lo ab lo =log32,即 lo a+log3 有最小值 log32,故选 B.2.(2018河南普通高中毕业班 4月高考适应性考试 ,12)定义域为 a,b的函数 y=f(x)的图象的两个端点分别为 A(a, f(a),B(b, f(b),M(x,y)是 f(x)图象上任意一点 ,其中 x=a+(1-)b(00, x+ 2 =2 ,当且仅当 x= 时取等号 .但 x N*,故 x=
17、5或 x=6时 , f(x)取最小值 ,当 x=5时 , f(x)= ,当 x=6时 , f(x)= ,故 f(x)在定义域上的最小值为 .故选 B.4.(2017河南许昌二模 ,8)已知 x,y均为正实数 ,且 + = ,则 x+y的最小值为 ( )A.24 B.32 C.20 D.28答案 C x,y均为正实数 ,且 + = ,则 x+y=(x+2+y+2)-4=6 (x+2+y+2)-4=6 -4 6 -4=20,当且仅当 x=y=10时取等号 . x+y的最小值为 20.故选 C.方法总结 本题根据条件构造 x+y=(x+2+y+2)-4,然后乘 “6”变形 ,即可形成所需应用基本不等
18、式的条件 .5.(2017河北衡水中学第三次调研 ,9)已知 ab,二次三项式 ax2+2x+b 0对于一切实数 x恒成立 ,又 x0 R,a +2x0+b=0成立 ,则 的最小值为 ( )A.1 B. C.2 D.2 答案 D 因为二次三项式 ax2+2x+b 0对于一切实数 x恒成立 ,所以 又 x0 R,a +2x0+b=0成立 ,所以 4-4ab 0,故 4-4ab=0,即 ab=1,又因为 a0,ab,所以 =a-b+ =a-b+ 2 (当且仅当 a-b= 时等号成立 ),故选 D.二、填空题 (每小题 5分 ,共 25分 )6.(2018天津十二所重点中学毕业班联考 ,13)已知
19、a,b R,且 a是 2-b与 -3b的等差中项 ,则的最大值为 .答案 解析 a是 2-b与 -3b的等差中项 , 2a=2-b-3b,可得 a+2b=1,当 ab0时 , 0,所以要使 有最大值 ,则 ab0,不妨设 a0,b0(a0,b0时一样 ),则 = = = = = ,当且仅当 = 时 ,等号成立 ,即 的最大值为 ,故答案为 .7.(2018河南八校第一次测评 ,15)已知等差数列 an中 ,a3=7,a9=19,Sn为数列 an的前 n项和 ,则的最小值为 .答案 3解析 a3=7,a9=19, d= = =2, an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1, Sn=
20、=n(n+2),因此 = = 2 =3,当且仅当 n=2时取等号 .故 的最小值为 3.8.(2018天津滨海新区七所重点学校联考 ,13)若正实数 x,y满足 x+2y=5,则 + 的最大值是 .答案 解析 x,y为正实数 , + = +2y- =x+1-2+2y- =x+2y-1- (x+1+2y)=4- 4- (4+2 )= ,当且仅当 x+1=2y,即 x=2,y= 时 ,取等号 ,则 + 的最大值是 .解题关键 将题中的式子进行整理 ,将 x+1看作一个整体 ,然后应用基本不等式求最值 ,解决该题的关键是需要对式子进行化简、转化 ,利用整体思想 ,同时满足 “一正 ,二定 ,三相等
21、”.9.(2017湖北新联考四模 ,15)已知函数 f(x)= 若 f(a)=f(b)(0ab),则 + 取得最小值时 , f(a+b)= .答案 1-2lg 2解析 由 f(a)=f(b)及 0ab可得 lg b=-lg a,即 lg(ab)=0,即 ab=1,则 + = =4a+b 2 =4,当且仅当 b=4a时 , + 取得最小值 ,由 可得 a= ,b=2, f(a+b)=f =lg =1-2lg 2.关键点拨 根据函数的性质可得 ab=1,再根据基本不等式得到 + 取得最小值时 a,b的值 ,再代值计算即可 .10.(2017江西南昌二模 ,16)网店和实体店各有利弊 ,两者的结合将
22、在未来一段时期内 ,成为商业的一个主要发展方向 .某品牌行车记录仪支架销售公司从 2017年 1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式 .根据几个月运营发现 ,产品的月销量 x万件与投入实体店体验安装的费用 t万元之间满足函数关系式 x=3- .已知网店每月固定的各种费用支出为 3万元 ,产品每 1万件进货价格为 32万元 ,若每件产品的售价定为 “进货价的 150%”与 “平均每件产品的实体店体验安装费用的一半 ”之和 ,则该公司最大月利润是 万元 .答案 37.5解析 由题意知 t= -1(1x3),设该公司的月利润为 y万元 ,则 y= x-32x-3-t=16x- -3=16x- + -3=45.5- 45.5-2 =37.5,当且仅当 x= 时取等号 ,即最大月利润为 37.5万元 .
