1、2.7 函数模型和函数的综合应用高考文数 ( 课标专用 )自主命题 省 (区、市 )卷题组考点一 函数模型及其应用五年高考1.(2016四川 ,7,5分 )某公司为激励创新 ,计划逐年加大研发资金投入 .若该公司 2015年全年投入研发资金 130万元 ,在此基础上 ,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是 ( )(参考数据 :lg 1.12 0.05,lg 1.3 0.11,lg 2 0.30)A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年答案 B 设第 n(n N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元 .根
2、据题意得 130(1+12%)n-1200,则 lg130(1+12%)n-1lg 200, lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 0.11+(n-1)0.050.30,解得 n ,又 n N*, n 5, 该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是 2019年 .故选 B.2.(2015四川 ,8,5分 )某食品的保鲜时间 y(单位 :小时 )与储藏温度 x(单位 : )满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718 为自然对数的底数 ,k,b为常数 ).若该食品在 0 的保鲜时间是 192小时 ,在 22 的
3、保鲜时间是 48小时 ,则该食品在 33 的保鲜时间是 ( )A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时答案 C 由已知得 192=eb,48=e22k+b=e22keb,将 代入 得 e22k= ,则 e11k= ,当 x=33时 ,y=e33k+b=e33keb= 192=24,所以该食品在 33 的保鲜时间是 24小时 .故选 C.3.(2018浙江 ,11,6分 )我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题 :“今有鸡翁一 ,值钱五 ;鸡母一 ,值钱三 ;鸡雏三 ,值钱一 .凡百钱 ,买鸡百只 ,问鸡翁、母、雏各几何 ?”设鸡翁 ,鸡母 ,鸡雏个数分别为 x,y,z,则 当
4、z=81时 ,x= ,y= .答案 8;11解析 本小题考查二元一次方程组的实际应用 .把 z=81代入方程组 ,化简得 解得 x=8,y=11.考点二 函数的综合应用1.(2014山东 ,9,5分 )对于函数 f(x),若存在常数 a 0,使得 x取定义域内的每一个值 ,都有 f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数 .下列函数中是准偶函数的是 ( )A.f(x)= B.f(x)=x2C.f(x)=tan x D.f(x)=cos(x+1)答案 D 由 f(x)=f(2a-x),得函数 f(x)的图象关于直线 x=a对称 ,易知 A、 C错误 .又因为 a 0,而函数 f(x)=x
5、2图象的对称轴为直线 x=0,故 B错误 ,所以选 D.评析 本题以新定义的形式考查了函数图象的对称性 ,考查学生运用所学知识分析问题、解决问题以及知识迁移运用的能力 .本题易错点有 3处 : 误把 “准偶函数 ”当作 “偶函数 ”而错选 B; 忽视条件 a 0而错选 B; 不能从关系式 f(x)=f(2a-x)得出函数 f(x)的图象关于直线 x=a对称而致错 .2.(2017天津 ,8,5分 )已知函数 f(x)= 设 a R,若关于 x的不等式 f(x) 在 R上恒成立 ,则 a的取值范围是 ( )A.-2,2 B.-2 ,2 C.-2,2 D.-2 ,2 答案 A 令 g(x)= ,当
6、 a 0时 ,如图 1所示 ,若 f(x) g(x)恒成立 ,则 g(0) 2,得 a -2, -2 a 0;图 1当 a0,x 1时 ,如图 2所示 , f(x)=x+ ,则 f (x)=1- ,由 f (x)= ,得 x=2,此时 y=3,即点 B(2,3),则 g(2)= +a 3,得 a 2, 05时 ,|g(x)|max=a-4, f(x)max=a-4+a=5 a= (舍去 ). 综上 ,实数 a的取值范围为 .5.(2015四川 ,15,5分 )已知函数 f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中 a R).对于不相等的实数 x1,x2,设 m= ,n= .现有如下命题 : 对于
7、任意不相等的实数 x1,x2,都有 m0; 对于任意的 a及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n0; 对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; 对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n.其中的真命题有 (写出所有真命题的序号 ).答案 解析 f(x)=2x是增函数 , 对任意不相等的实数 x1,x2,都有 0,即 m0, 成立 . 由 g(x)=x2+ax的图象可知 ,当 x 时 ,g(x)是减函数 , 当不相等的实数 x1、 x2 时 , 2x+a,此时 h(x)在 R上是增函数 .若 h(x1)=h(x2),则 x1=x2, 不成立 . 若 m=-
8、n,则有 =- ,f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),令 (x)=f(x)+g(x),则 (x)=2x+x2+ax,(x)=2xln 2+2x+a.令 (x)=0,得 2xln 2+2x+a=0,即 2xln 2=-2x-a.由 y1=2xln 2与 y2=-2x-a的图象可知 ,对任意的 a,存在 x0,使 xx0时 y1y2,xx0时 ,(x)0,xx- ,令 f(x)=x- ,即 af(x)有解 ,则 af(x)min,又 y=f(x)在 (0,+ )上递增 ,所以 f(x)f(0)=-1,所以 a-1,选 D.解法二 :由 2x(x-a)-1时 ,存在正数 x使 y1-2,
9、a R)有最大值 ,则 f(x) B.其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号 )答案 解析 命题 正确 ,强调 f(x)的值域为 R即可 .命题 错误 ,如 y=sin x B,但它无最大值和最小值 .命题 正确 , f(x) A,g(x) B, f(x)+g(x)B.命题 正确 ,当 a=0时 , f(x)= .(i)当 x=0时 , f(x)=0;(ii)当 x 0时 , f(x)= = . 当 a=0时 , f(x) .若 a0,则当 x越来越大时 ,aln(x+2)+ ,此时 f(x)无最大值 ;若 abC.x0c答案 D f(x)= -log3x在 (0,+ )上是减函数 ,00, f(x)单调递增 ,当 80 x 180时 , f (x) 0, f(x)单调递减 ,所以当 x=80时 , f(x)有极大值 ,也是最大值 240 000.故选 C.
