1、2.6 函数与方程高考文数 ( 课标专用 )1.(2017课标全国 ,12,5分 )已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点 ,则 a= ( )A.- B. C. D.1A组 统一命题 课标卷题组五年高考答案 C 由函数 f(x)有零点得 x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解 ,即 (x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解 ,令 t=x-1,则上式可化为 t2-1+a(et+e-t)=0,即 a= .令 h(t)= ,易得 h(t)为偶函数 ,又由 f(x)有唯一零点得函数 h(t)的图象与直线 y=a有唯一交点 ,则此交点的横坐标为 0,所以
2、 a= = ,故选 C.2.(2014课标 ,12,5分 ,0.248)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x00,则 a的取值范围是 ( )A.(2,+ ) B.(1,+ ) C.(- ,-2) D.(- ,-1)答案 C 解法一 : 若 a 0,则由于 f(0)=1,且当 x0.从而 f(x)在 ,(0,+ )上单调递减 ,在 上单调递增 .又 f(0)=1,当 x1时 , f(x)0等价于 f 0,即 a -3 +10.解得 a2(舍去 )或 a0.所以 g(x)在 (- ,-1),(1,+ )上单调递减 ,在 (-1,0),(0,1)上单调递增
3、 .又 g(-1)=-2,g(1)=2,从而可得函数 g(x)的大致图象 ,如图所示 .由于 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x00等价于直线 y=a与 y=g(x)图象存在唯一的交点 ,且此交点的横坐标为正 .由图象可得 a的取值范围是 (- ,-2).应选 C.解法三 :采用排除法 .取 a=3,则 f(x)=3x3-3x2+1.由于 f(0)=1, f(-1)0等价于函数 g(x)=ax3的图象与 h(x)=3x2-1的图象存在唯一公共点 ,且该点的横坐标大于零 .a=0时 ,g(x)=0,其图象与 h(x)的图象存在两个公共点 ;a0时 ,由图可知不合题意 ;a0, f(2)=3-l
4、og22=20, f(3)=2-log230, f(4)= -log24= -20, f(-x)=(-x)2-3(-x), -f(x)=x2+3x, f(x)=-x2-3x.令 g(x)=-x2-3x-x+3=0,得 x3=-2- ,x4=-2+ 0(舍 ), 函数 g(x)=f(x)-x+3的零点的集合是 -2- ,1,3,故选 D.评析 本题考查奇函数的性质、一元二次方程的根等知识 ,忽略 x的范围会导致出错 .3.(2018浙江 ,15,6分 )已知 R,函数 f(x)= 当 =2时 ,不等式 f(x)4. 两个零点为 1,4,由图可知 ,此时 10.故选 C.2.(2014重庆 ,10
5、,5分 )已知函数 f(x)= 且 g(x)=f(x)-mx-m在 (-1,1内有且仅有两个不同的零点 ,则实数 m的取值范围是 ( )A. B. C. D. 答案 A 令 g(x)=0,则 f(x)=m(x+1),故函数 g(x)在 (-1,1内有且仅有两个不同的零点等价于函数y=f(x)的图象与直线 y=m(x+1)有且仅有两个不同的交点 .函数 f(x)的图象如图中实线所示 .易求kAB= ,kAC=-2,过 A(-1,0)作曲线的切线 ,不妨设切线方程为 y=k(x+1),由 得 kx2+(2k+3)x+2+k=0,则 =(2k+3)2-4k(2+k)=0,解之得 k=- .故实数 m
6、的取值范围为 .评析 本题考查函数的零点、方程的根及函数图象的交点之间的关系 ,考查转化与化归思想和数形结合思想的应用 .本题的易错点是忽视过点 A的直线与 f(x)的图象有两个公共点 .3.(2014福建 ,15,4分 )函数 f(x)= 的零点个数是 .答案 2解析 当 x 0时 ,由 x2-2=0得 x=- ;当 x0时 , f(x)=2x-6+ln x在 (0,+ )上为增函数 ,且 f(2)=ln 2-20,所以 f(x)在 (0,+ )上有且只有一个零点 .综上可知 f(x)的零点个数为 2.4.(2014天津 ,14,5分 )已知函数 f(x)= 若函数 y=f(x)-a|x|恰
7、有 4个零点 ,则实数 a的取值范围为 .答案 (1,2)解析 函数 y=f(x)-a|x|恰有 4个零点等价于函数 y=f(x)和 y=a|x|的图象恰有 4个公共点 .在同一平面直角坐标系内画出函数 y=f(x)和 y=a|x|的图象可知 ,若满足条件 ,则 a0.当 a 2时 ,在 y轴右侧 ,两函数图象只有一个公共点 ,此时在 y轴左侧 ,射线 y=-ax(x 0)与抛物线 y=-x2-5x-4(-41.故 10, f(1)f(2)20.故计算 5次就可满足要求 ,所以将区间 (1,2)等分的次数为 5,第一次为 (1,1.5),第二次为 (1.25,1.5),所以将区间 (1.25,
8、1.5)等分的次数为 3.故选 B.4.(2017湖北武汉武昌调研 ,6)已知函数 f(x)=2ax-a+3,若 x0 (-1,1), f(x0)=0,则实数 a的取值范围是 ( )A.(- ,-3) (1,+ ) B.(- ,-3)C.(-3,1) D.(1,+ )答案 A 当 a=0时 ,显然不成立 ,当 a 0时 ,由题意知 f(-1)f(1)1.故选 A.5.(2017湖南衡阳八中、长郡中学等十三校一模 ,4)已知 x表示不超过实数 x的最大整数 ,g(x)=x为取整函数 ,x0是函数 f(x)=ln x- 的零点 ,则 g(x0)等于 ( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B f
9、(2)=ln 2-10,故 x0 (2,3), g(x0)=x0=2.故选 B.6.(2018河北邯郸第一次模拟 ,16)若曲线 y=log2(2x-m)(x2)上至少存在一点与直线 y=x+1上的一点关于原点对称 ,则 m的取值范围为 .答案 (2,4解析 直线 y=x+1关于原点对称的直线为 y=x-1, 方程 log2(2x-m)=x-1,即 m=2x-1在 (2,+ )上有解 , m2, 2x-m0恒成立 , m (2x)min, m 22=4, m (2,4.B组 20162018 年高考模拟 综合题组(时间 :35分钟 分值 :55分 )一、选择题 (每小题 5分 ,共 30分 )
10、1.(2018湖南永州第三次模拟 ,10)已知函数 f(x)=a+log2(x2+a)(a0)的最小值为 8,则 ( )A.a (5,6) B.a (7,8)C.a (8,9) D.a (9,10)答案 A 由题意得 f(x)在 (- ,0)上单调递减 ,在 (0,+ )上单调递增 ,所以 f(x)min=f(0)=a+log2a=8,将问题转化为 a+log2a=8有解 ,求 a的范围 .令 g(a)=a+log2a-8,a0,则 g(a)在 (0,+ )上单调递增 ,又 g(5)=5+log25-80,所以根据零点存在性定理知 a (5,6).故选 A.解题点拨 根据复合函数的单调性 ,得
11、到 f(x)min=f(0);将问题转化为 a+log2a=8有解 ,求 a的范围 .令 g(a)=a+log2a-8,a0,则 g(a)在 (0,+ )上单调递增 ,根据零点存在性定理 ,得到答案 .2.(2018安徽安庆二模 ,12)定义在 R上的函数 f(x),满足 f(x)= 且 f(x+1)=f(x-1),若g(x)=3-log2x,则函数 F(x)=f(x)-g(x)在 (0,+ )内的零点有 ( )A.3个 B.2个 C.1个 D.0个答案 B 由 f(x+1)=f(x-1)得 f(x)的周期为 2,在同一平面直角坐标系中作出函数 y=f(x),y=g(x)的图象 ,由图可知有两
12、个交点 ,即函数 F(x)=f(x)-g(x)在 (0,+ )内的零点有 2个 ,所以选 B.方法总结 对于方程解的个数 (或函数零点个数 )问题 ,可转化为求两个函数图象的交点个数问题 .3.(2018山东济南第一次模拟 ,12)设 x1,x2分别是函数 f(x)=x-a-x和 g(x)=xlogax-1的零点 (其中 a1),则x1+4x2的取值范围是 ( )A.4,+ ) B.(4,+ ) C.5,+ ) D.(5,+ )答案 D f(x)=x-a-x(a1)的零点 x1是方程 x=a-x,即 =ax的解 ,g(x)=xlogax-1(a1)的零点 x2是方程xlogax-1=0,即 =
13、logax的解 ,即 x1,x2是 y=ax(a1),y=logax(a1)与 y= 图象交点 A,B的横坐标 (作出图象 ,图略 ),可得 01, y=ax(a1)的图象与 y=logax(a1)的图象关于直线 y=x对称 ,y= 的图象也关于直线 y=x对称 , A,B两点关于直线 y=x对称 ,设 A ,B , 点 A关于直线 y=x的对称点 A 与点 B重合 ,则 =x1,则 x1+4x2= +4x2,令 y= +4x,x1,则 y=4- ,易知 y0,所以 y= +4x在 (1,+ )上单调递增 ,所以 +4x25,即 x1+4x2的取值范围是 (5,+ ).故选 D.4.(2018河南郑州毕业班第二次质量预测 ,12)已知 M=|f()=0,N=|g()=0,若存在 M,N,使得 |-| ,所以 h(x) ,所以由数形结合可得 a .选 B.解题关键 要学会分析题中隐含的条件和信息 ,如本题先观察出 f(x)的零点及单调性是解题的关键 ,进一步转化为函数 g(x)=x2-aex在区间 (1,3)上存在零点 ,再进行参变量分离 ,最后应用导数解决 .
