1、2.2 函数的基本性质高考文数 ( 课标专用 )A组 统一命题 课标卷题组考点一 函数的单调性及最值1.(2017课标全国 ,9,5分 )已知函数 f(x)=ln x+ln(2-x),则 ( )A. f(x)在 (0,2)单调递增B. f(x)在 (0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线 x=1对称D.y=f(x)的图象关于点 (1,0)对称五年高考答案 C 解法一 : f(x)的定义域为 (0,2).由于 f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(2x-x2),从而对 f(x)的研究可转化为对二次函数 g(x)=2x-x2(x (0,2)的研究 .因为 g(x)=2x-x2=-(x-
2、1)2+2,所以 g(x)在 (0,1)上单调递增 ,在 (1,2)上单调递减 ,直线 x=1是 y=g(x)的图象的对称轴 .从而排除 A,B,D,故选 C.解法二 :由于 f(2-x)=ln(2-x)+ln x,即 f(x)=f(2-x),故可得 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 ,故选 C.解法三 :由于 f(1)=0, f =ln 0可得 x4或 xf(2x-1)成立的 x的取值范围是 ( )A. B. (1,+ )C. D. 答案 A 解法一 :易知 y=ln(1+|x|),y=- 是偶函数 ,所以 f(x)是偶函数 .当 x0时 ,y=ln(1+|x|)单调递增 ,y=- 单
3、调递增 ,所以 f(x)=ln(1+|x|)- 在 x (0,+ )上单调递增 .求使得 f(x)f(2x-1)成立的 x的取值范围等价于解绝对值不等式 |x|2x-1|,即 x2(2x-1)2,化简为 (3x-1)(x-1)2时 ,- -1, f(x)= 得 f(x)的最小值为 f ,因此 - +1=3,解得 a=-4,符合题意 .故选 D.评析 本题考查分段函数的性质 ,同时考查分类讨论的思想、数形结合的思想 ,难度较大 .4.(2014天津 ,12,5分 )函数 f(x)=lg x2的单调递减区间是 .答案 (- ,0)解析 f(x)的定义域为 (- ,0) (0,+ ),y=lg u在
4、 (0,+ )上为增函数 ,u=x2在 (- ,0)上递减 ,在 (0,+ )上递增 ,故 f(x)在 (- ,0)上单调递减 .5.(2016北京 ,10,5分 )函数 f(x)= (x 2)的最大值为 .答案 2解析 解法一 : f (x)= , x 2时 , f (x)f(- ),则 a的取值范围是 ( )A. B. C. D. 答案 C f(x)是偶函数且在 (- ,0)上单调递增 , f(x)在 (0,+ )上单调递减 ,且 f(- )=f( ), 原不等式可化为 f(2|a-1|)f( ).故有 2|a-1|f( )转化为 2|a-1|log24.1220.8,且 y=f(x)在
5、R上为增函数 , f(log25)f(log24.1)f(20.8),即 abc,故选 C.方法总结 比较函数值的大小 ,往往利用函数的奇偶性将自变量转化到同一单调区间上来进行比较 .6.(2014湖南 ,15,5分 )若 f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数 ,则 a= .答案 - 解析 f(-x)=ln(e-3x+1)-ax=ln -ax=ln(1+e3x)-3x-ax,依题意得 ,对任意 x R,都有 f(-x)=f(x),即 ln(1+e3x)-3x-ax=ln(1+e3x)+ax,化简得 2ax+3x=0(x R),因此 2a+3=0,解得 a=- .评析 本题考查函数的奇偶性
6、 ,解题的关键是计算 f(-x)时的变形手段 .另外 ,选择题、填空题还可用特值法求解 .考点三 函数的周期性1.(2016山东 ,9,5分 )已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x时 , f =f ,则 f(6)= ( )A.-2 B.-1 C.0 D.2答案 D 当 x 时 ,由 f =f 可得 f(x)=f(x+1),所以 f(6)=f(1),又由题意知 f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以 f(6)=2,故选 D.评析 本题主要考查函数的奇偶性、周期性及化归与转化思想 .属于中等难度题 .2.(2016四川 ,14,5分 )若函数 f(x)是定义在 R上的
7、周期为 2的奇函数 ,当 00时 , f(x)的图象如图所示 :(i)当 a 2时 , 1,此时 f(x)在 0,1上为增函数 ,g(a)=f(1)=a-1;(ii)当 1f(1),g(a)= ;当 a0时 f(x)的图象关于 y轴对称 ,所以求 a0时的最值即可 .g(a)= 其图象如图所示 : 当 a=2 -2时 ,g(a)的值最小 .考点二 函数的奇偶性1.(2015福建 ,3,5分 )下列函数为奇函数的是 ( )A.y= B.y=ex C.y=cos x D.y=ex-e-x 答案 D A、 B项中的函数为非奇非偶函数 ;C项中的函数为偶函数 ;D项中的函数为奇函数 ,故选 D.2.(
8、2014广东 ,5,5分 )下列函数为奇函数的是 ( )A.y=2x- B.y=x3sin xC.y=2cos x+1 D.y=x2+2x 答案 A 由函数奇偶性的定义知 ,B、 C中的函数为偶函数 ,D中的函数为非奇非偶函数 ,只有A中的函数为奇函数 ,故选 A.考点三 函数的周期性1.(2014大纲全国 ,12,5分 )奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数 ,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)= ( )A.-2 B.-1 C.0 D.1答案 D 由 f(x+2)是偶函数可得 f(-x+2)=f(x+2),又由 f(x)是奇函数得 f(-x+2)=-f(x-2),所以 f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故 f(x)是以 8为周期的周期函数 ,所以 f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又 f(x)是定义在 R上的奇函数 ,所以 f(0)=0,所以 f(8)=f(0)=0,故 f(8)+f(9)=1,故选 D.
