2018年秋九年级数学上册 第4章 等可能条件下的概率同步练习（打包8套）（新版）苏科版.zip

14．1 等可能性知识点 等可能性的定义1．下列事件：①人睡觉时，不是仰卧就是侧卧；②老师从甲、乙、丙 3 人中任意指定 1 人当班长；③从一年的日历里随意翻开一页，翻出的是 5 月 1 日或 10 月 1 日．其中发生的结果是等可能的事件有( )A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个2．桌上倒扣着背面相同的 5 张扑克牌，其中 3 张黑桃、2 张红桃，从中随机抽取一张，则( )A．能够事先确定抽取的扑克牌的花色B．抽到黑桃的可能性更大C．抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大D．抽到红桃的可能性更大3．一个袋中有 1 个白球，1 个红球，1 个黄球(除颜色外无其他区别)，小明随机地摸出1 个球，共有________种不同的结果，摸到红球、白球、黄球的可能性________(填“相同”或“不同” )．4．老师想在 1 名男生、3 名女生(分别为女 1、女 2、女 3)中任选 1 名同学做值日工作，所有可能的结果是____________________，它们 ______(填“是”或“不是”)等可能的．5．一只不透明的袋子中有 2 个红球、3 个绿球和 5 个白球，每个球除颜色不同外其余都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．(1)会有哪些可能的结果？(2)你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？摸到哪种颜色的球的可能性最小？6．抛掷两枚质地均匀的硬币，记币值面为正面，另一面为反面，则这两枚硬币落地后可能性最大的是( )A．两个正面 B．两个反面C．一正一反 D．不确定7．有下列说法：(1)有一个装有除颜色以外都相同的红、白、蓝三支竹签的盒子，从中任意抽出一支竹签，抽到三种颜色签中任何一种的可能性相同；(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现六种点数中任何一种点数朝上的可能性相同；(3)抛掷一枚图钉，针尖朝上和针尖朝下具有等可能性．其中，正确的是________(填序号)．8．图 4－1－1 是一个分布均匀、可以自由转动的转盘，每个扇形的形状和大小也一样，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向 2 和 7 的可能性相同吗？指针指向奇数和偶数的可能性相同吗？为什么？2图 4－1－117．已知当 x＝2 时，二次三项式 x2－2 mx＋8 的值等于 4，那么当 x 为何值时，这个二次三项式的值是 9?9．有甲、乙两个抽屉和 3 个分别标有编号①，②，③的白色球，要求抽屉不能空着，那么共有多少种放法？它们是等可能的吗？3详解详析1． C2．B3．3 相同 [解析] 袋中共有 3 个不同颜色的球，故应有 3 种不同的结果，3 个球被摸到的可能性相同．4．男、女 1、女 2、女 3 是[解析] 3 名女生各不相同，本题实际上是从 4 个人中选 1 人做值日工作，故有 4 种可能的结果：男、女 1、女 2、女 3，每个结果出现的可能性相同．5．解：(1)从袋子中任意摸出一个球，可能是红球，也可能是绿球或白球．(2)∵白球最多，红球最少，∴摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小．6． C [解析] 有四种等可能的结果：正正、正反、反正、反反，其中有两个结果是一正一反．故选 C.7．(1)(2)8．解：指针指向 2 和 7 的可能性相同，指针指向奇数和偶数的可能性也相同．因为圆盘被均匀地分成 10 块形状和大小一样的扇形，转动转盘，指针指向每一个区域的可能性相同，所有可能的结果有 10 种，其中有 5 种结果是奇数，5 种结果是偶数．9．解：共有 6 种放法，即甲①、乙②③；甲②、乙①③；甲③、乙①②；甲①②、乙③；甲①③、乙②；甲②③、乙①.它们是等可能的．14．2 第 1 课时 直接列举法知识点 用直接列举法求概率1．教材练习 1 变式一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有 1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于 3 的概率是( )A. B. C. D.12 13 23 162. [2016·徐州二模] 五张标有 2，2，3，4，5 的卡片，除数字外，没有其他任何区别，现将它们背面朝上，从中任取一张，得到卡片上的数字为偶数的概率是( )A. B. C. D.15 25 35 453．[2017·贵阳] 某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池．小颖从这 6 张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是( )A. B. C. D.12 13 23 164．从一副扑克牌(去掉大、小王)中随意抽取一张．抽到红桃的概率是______；抽到 10 的概率是______；抽到梅花 4 的概率是______．5．[2017·通辽] 毛主席在《沁园春·雪》中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗．小红将这五位名人的简介分别写在五张完全相同的知识卡片上，小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是________．6．[2016·淮安二模] 一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球、4 个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是________．图 4－2－17．[2017·镇江] 如图 4－2－1，转盘中 6 个扇形的面积都相等．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是________．8．不透明的袋子中装有 3 个白球和 2 个红球．这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出 1 个球．(1)会出现几种等可能的结果？(2)摸出白球的概率是多少？(3)摸出红球的概率是多少？9．[2017·东营] 如图 4－2－2，共有 12 个大小相同的小正方形，其中阴影部分的 5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，2能构成这个正方体的表面展开图的概率是( )A. B. C. D.47 37 27 17图 4－2－2图 4－2－310．[2016·苏州二模] 如图 4－2－3，在 2×2 的正方形网格中有 9 个格点，已经取定点 A 和 B，在余下的 7 个格点中任取一点 C，使△ABC 不是直角三角形的概率是________．11．[2016·盐都一模] 在一个不透明的盒子中装有 12 个白球，若干个黄球，这些球除颜色外都相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是 ，则黄球有________个．1312．若正整数 n 使得在计算 n＋(n＋1)＋(n＋2)的过程中，各数位均不产生进位现象，则称 n 为“本位数” ．例如 2 和 30 是“本位数” ，而 5 和 91 不是“本位数” ．现从所有大于0 且小于 100 的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．3详解详析1．C2．C [解析] 卡片上的数字为偶数的有 3 张，所以得到卡片上的数字为偶数的概率是 .故35选 C.3．C4. [解析] 从一副扑克牌(去掉大、小王)中随意抽取一张，共有 52 种等可14 113 152能的结果，其中有 13 种结果是红桃，有 4 种结果是 10，有 1 种结果是梅花 4，所以抽到红桃的概率为 ＝ ，抽到 10 的概率为 ＝ ，抽到梅花 4 的概率为 .1352 14 452 113 1525.256. [解析] ∵不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球、4 个白球，37∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率为 .377. [解析] 指针指向转盘中 6 个扇形的可能性一样，其中有 4 个扇形里的数字是奇数，23所 P(指针指向奇数)＝ ＝ .46 238．解：分别给 3 个白球编上号码 1，2，3，给 2 个红球编上号码 4，5.(1)搅匀后从中任意摸出 1 个球，所有可能出现的结果为 1 号球、2 号球、3 号球、4 号球、5 号球，并且它们是等可能的，所以会出现 5 种等可能的结果．(2)由于摸出 1 号球、2 号球、3 号球这 3 种情形之一时， “摸出白球”这一事件发生，因此摸出白球的概率 P＝ .35(3)由于摸出 4 号球、5 号球这两种情形之一时， “摸出红球”这一事件发生，因此摸出红球的概率 P＝ .259．A [解析] 要从 7 个空白小正方形中选 1 个涂上阴影，共有 7 种等可能结果，其中符合要求的是最下面的一行中的每一个小正方形，即有 4 种符合要求的结果，所以能构成这个正方体的表面展开图的概率是 .故选 A.4710． 3711．24 [解析] 设黄球有 x 个．根据题意，得 ＝ ，解得 x＝24，1212＋ x 13经检验， x＝24 是原分式方程的解且符合题意，∴黄球有 24 个．12． 711[解析] 所有大于 0 且小于 100 的“本位数”有41，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，共有 11 个，其中有 7 个偶数、4 个奇数，所以 P(抽到偶数)＝ . 7111第 4 章 等可能条件下的概率4．2 第 2 课时 树状图法知识点 用画树状图法求概率1．在一个布袋中装着只有颜色不同，其他都相同的红、黄、黑三种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，两次摸球所有可能的结果如图4－2－4 所示，则摸出的两个球中，一个是红球，一个是黑球的概率是( )图 4－2－4A. B. C. D.19 29 13 492．[2017·大连] 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，落地后两枚硬币全部正面向上的概率为( )A. B. C. D.14 13 12 343．[2017·金华] 某校举行以“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛．决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学得前两名的概率是( )A. B. C. D.12 13 14 164．某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租 3 辆客车，分别编号为 1，2，3.李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐 2 号车的概率为( )A. B. C. D.19 16 13 125．教材例 3 变式李玲有红色、黄色、白色运动短袖上衣各 1 件，有白色、黄色运动短裤各 1 条．若任意组合穿着，则李玲穿着“衣裤同色”的概率是________．6．[2017·仙桃] 有 5 张看上去无差别的卡片，正面分别写着 1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取 2 张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是________．7．[2016·南通] 在一个不透明的袋子里装有红色、绿色小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到红色小球的概率．28．[2016·扬州梅岭中学一模] 如图 4－2－5，甲、乙用 4 张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回．甲、乙约定：当甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否则乙胜．请你用画树状图法说明甲、乙获胜的机会是否相同．图 4－2－59．某校园文化艺术节中，九年级(1)班有 1 名男生和 2 名女生获得美术奖，另 2 名男生和 2 名女生获得音乐奖．(1)从获得美术奖和音乐奖的 7 名学生中选取 1 名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；(2)分别从获得美术奖、音乐奖的学生中选取 1 名参加颁奖大会，用画树状图法求刚好是一名男生和一名女生的概率．10．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为 p，再随机摸出一个小球，其数字记为 q，则满足关于 x 的方程x2＋px＋q＝0 有实数根的概率是( )A. B. C. D.12 13 23 5611．[2017·张家界] 某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是( )A. B. C. D.14 13 12 34图 4－2－612．如图 4－2－6，开关 K1， K2和 K3处于断开状态，随机闭合开关 K1， K2和 K3中的两个，两盏灯同时发光的概率为________．13．[2016·扬州] 小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界游玩．(1)小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为________；(2)求他们三人在同一个半天去游玩的概率．314．活动 1：在一只不透明的口袋中装有标号为 1，2，3 的 3 个小球，这些球除标号不同外其余都相同，充分搅匀．甲、乙、丙三名同学按丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球(不放回)，摸到 1 号球者胜出．计算甲胜出的概率．(注：丙→甲→乙表示丙第一个摸球，甲第二个摸球，乙最后一个摸球．)活动 2：在一只不透明的口袋中装有标号为 1，2，3，4 的 4 个小球，这些球除标号不同外其余都相同，充分搅匀．请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：________→________→________，他们按这个顺序从袋中各摸出一个球(不放回)，摸到 1 号球者胜出．则第一个摸球的同学胜出的概率等于________，最后一个摸球的同学胜出的概率等于________．猜想：在一只不透明的口袋中装有标号为 1，2，3，…，n(n 为正整数)的 n 个小球，这些球除标号不同外其余都相同，充分搅匀．甲、乙、丙三名同学从袋中各摸出一个球(不放回)，摸到 1 号球者胜出．猜想：这三名同学每人胜出的概率大小关系．你还能得到什么活动经验？(写出一个即可)4详解详析1． B [解析] 由树状图可知共有 3×3＝9(种)等可能的结果，其中一个是红球，一个是黑球的情况有 2 种，所以概率是 .故选 B.292． A [解析] 依题意画树状图如下：可见共有 4 种等可能的情况出现，其中两枚硬币全部正面向上的情况有 1 种，所以两枚硬币全部正面向上的概率为 .故选 A.143． D [解析] 画树状图如下：由图可知，所有等可能出现的情况共有 12 种，其中甲、乙同学得前两名的情况有 2 种，所有甲、乙同学得前两名的概率是 ＝ .212 164． A5. 6.13 257．解：画出树状图如下： 由树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有 4 种，其中两次都摸到红色小球的结果有 1 种，故两次都摸到红色小球的概率为 .148．解：画树状图如下：∵共有 12 种等可能的情况，甲抽到的牌面数字比乙大的有 5 种情况，小于或等于乙的有 7 种情况，∴P(甲胜)＝ ，P(乙胜)＝ ，512 712∴甲、乙获胜的机会不相同．59．解：(1)从获得美术奖和音乐奖的 7 名学生中选取 1 名参加颁奖大会，刚好是男生的概率为 ＝ .33＋ 4 37(2)画树状图如下：共有 12 种等可能的结果，其中刚好是一名男生和一名女生的结果有 6 种，所以刚好是一名男生和一名女生的概率为 ＝ .612 1210． A [解析] 画树状图如下：∵x 2＋px＋q＝0 有实数根，∴b 2－4ac＝p 2－4q≥0.∵共有 6 种等可能的结果，其中满足关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 有实数根的有(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，共 3 种情况，∴满足关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 有实数根的概率是 ＝ .故选 A.36 1211． A [解析] 设四个班分别为甲、乙、丙、丁．画树状图如下：由图可知共有 16 种等可能的结果，其中小明和小红在同一个班的情况有 4 种，则小明和小红分在同一个班的机会是 ＝ .416 1412． 13[解析] 画树状图如下：∵共有 6 种等可能的结果，能让两盏灯同时发光的有 2 种情况，∴能让两盏灯同时发光的概率为 ＝ .26 1313．解：(1)根据题意，画树状图如图：6由树状图可知，三人随机选择本周日的上午或下午去游玩共有 8 种等可能的结果，其中小明和小刚都在本周日上午去游玩的结果有(上，上，上)，(上，上，下)2 种，∴小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为 ＝ .故答案为 .28 14 14(2)由(1)中树状图可知，他们三人在同一个半天去游玩的结果有(上，上，上)，(下，下，下)这 2 种，∴他们三人在同一个半天去游玩的概率为 ＝ .28 1414．解：活动 1：画树状图如下：∴共有 6 种等可能的结果，其中甲胜出的结果有 2 种，故 P(甲胜)＝ ＝ .26 13活动 2：答案不唯一，任意安排甲、乙、丙摸球顺序均可，第一个摸球的同学胜出的概率为 ，最后一个摸球的同学胜出的概率为 .14 14猜想：P(甲胜)＝P(乙胜)＝P(丙胜)＝ .1n活动经验合理即可，不唯一，如抽签是公平的，与抽签顺序无关． 1第 4 章 等可能条件下的概率4．2 第 3 课时 列表法知识点 用列表法求概率1．在一个不透明的袋子里，有 2 个白球和 2 个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子里随机摸出一个球记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为( )A. B. C. D.116 18 14 122．[2017·临沂] 小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是( )A. B. C. D.23 12 13 293．[2016·雅安] 一书架有上、下两层，其中上层有 2 本语文、1 本数学，下层有 2 本语文、2 本数学，现从上、下层各随机取 1 本，则抽到的 2 本都是数学书的概率为________．4．[2017·黄石] 甲、乙两名同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为 a，b，则 a＋b＝9 的概率为________．5．在一个不透明的口袋中有 3 个完全相同的小球，它们的标号分别是 2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为 5的概率是________．6．[2017·无锡] 甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的即为游戏搭档．现甲、乙两人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭档的概率．(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)7．[2016·长春] 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字 0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字．用画树状图或列表的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是 3 的概率．28．[2017·沈阳] 把 3，5，6 三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，放回后洗匀，再从中抽取一张卡片，记录下数字，请用列表法或画树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率．9．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4.随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于 4 的概率是( )A. B. C. D.16 516 13 12图 4－2－710．如图 4－2－7 所示，在平面直角坐标系中，点 A1，A 2在 x 轴上，点 B1，B 2在 y 轴上，其坐标分别为 A1(1，0)，A 2(2，0)，B 1(0，1)，B 2(0，2)，分别以 A1，A 2，B 1，B 2中的任意两点与点 O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是( )A. B. C. D.34 13 23 1211．已知 a，b 可以取－2，－1，1，2 中的任意一个值(a≠b)，则直线 y＝ax＋b 不经过第四象限的概率是________．12．四张小卡片上分别写有数字 1，2，3，4，它们除数字不同外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．(1)随机地从盒子里抽取一张，求抽到带有数字 3 的卡片的概率；(2)随机地从盒子里抽取一张，将数字记为 x，不放回再抽取第二张，将数字记为 y，请你用列表法表示所有等可能的结果，并求出点(x，y)在函数 y＝ 的图像上的概率．2x313．一个不透明的口袋中装有大小相同的 2 个红球和 2 个绿球．(1)先从袋中摸出 1 个球后放回，混合均匀后再摸出 1 个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率．(2)先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，则两次摸到的球中有 1 个绿球和 1个红球的概率是多少？请直接写出结果．14．[2016·内江] 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目： A.篮球； B.乒乓球； C.跳绳； D.踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图(如图 4－2－8)，请回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有________人；(2)请你将条形统计图补充完整；(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两名同学的概率．图 4－2－84详解详析1． C2． C3． .164. 195. 296．解：列表如下：乙甲 红 1 红 2 黑 1 黑 2红 1 (红 1，红 2) (红 1，黑 1) (红 1，黑 2)红 2 (红 2，红 1) (红 2，黑 1) (红 2，黑 2)黑 1 (黑 1，红 1) (黑 1，红 2) (黑 1，黑 2)黑 2 (黑 2，红 1) (黑 2，红 2) (黑 2，黑 1)∴共有 12 种等可能的结果，其中甲、乙两人拿到相同颜色(记为事件 A)的结果有 4 种，∴P(A)＝ .137．解：列表如下：和 第二次第一次 0 1 20 0 1 21 1 2 32 2 3 4P(和为 3)＝ .298．解：列表如下：第二次第一次 3 5 63 (3，3) (3，5) (3，6)5 (5，3) (5，5) (5，6)6 (6，3) (6，5) (6，6)总共有 9 种结果，每种结果出现的可能性相同，其中，两次抽取的卡片上的数字都是奇数(记为事件 B)的结果有 4 种：(3，3)，(3，5)，(5，3)，(5，5)，所以 P(B)＝ .499． C 10. D11. [解析] 列表如下：165ab －2 －1 1 2－2 (－1，－2) (1，－2) (2，－2)－1 (－2，－1) (1，－1) (2，－1)1 (－2，1) (－1，1) (2，1)2 (－2，2) (－1，2) (1，2)所有等可能的情况共有 12 种，其中直线 y＝ax＋b 不经过第四象限的情况有 2 种，则P(直线 y＝ax＋b 不经过第四象限)＝ .1612．解：(1)根据题意，可知随机地从盒子里抽取一张，抽到带有数字 3 的卡片的概率为 .14(2)列表如下：(x，y) xy 1 2 3 41 (2，1) (3，1) (4，1)2 (1，2) (3，2) (4，2)3 (1，3) (2，3) (4，3)4 (1，4) (2，4) (3，4)∵所有等可能的情况共有 12 种，其中点(x，y)在函数 y＝ 的图像上的情况有 2 种，∴2x点(x，y)在函数 y＝ 的图像上的概率为 ＝ .2x 212 1613．解：(1)设 2 个红球分别为 R1， R2，2 个绿球分别为 Y3， Y4.①列表如下：第一次第二次 R1 R2 Y3 Y4R1 (R1， R1) (R2， R1) (Y3， R1) (Y4， R1)R2 (R1， R2) (R2， R2) (Y3， R2) (Y4， R2)Y3 (R1， Y3) (R2， Y3) (Y3， Y3) (Y4， Y3)Y4 (R1， Y4) (R2， Y4) (Y3， Y4) (Y4， Y4)∵共有 16 种等可能的结果，第一次摸到绿球，第二次摸到红球的情况有 4 种，∴第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为 ＝ .416 14②∵两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的情况有 8 种，∴两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率为 ＝ .816 12(2)∵先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，共有等可能的结果数为4×3＝12(种)，且两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的情况有 8 种，∴两次摸到的球中有 1 个绿球和 1 个红球的概率是 ＝ .812 23614． (1)根据题意得这次被调查的学生共有 20÷ ＝200(人)．故答案为 200.36360(2)C 项目对应的人数为 200－20－80－40＝60.补全条形统计图如图：(3)列表如下：甲 乙 丙 丁甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲)乙 (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙)丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙)丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁)∵共有 12 种等可能的情况，恰好选中甲、乙两名同学的有 2 种情况，∴P(恰好选中甲、乙两名同学)＝ ＝ . 212 161第 4 章 等可能条件下的概率类型之一 等可能试验(一步)中事件发生的概率计算1．一个不透明的口袋里有 4 张形状完全相同的卡片，分别写有数字 1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字 2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，则以这张卡片与口袋外的两张卡片上的数为长度的三条线段能构成三角形的概率是( )A. B. C. D．114 12 34图 4－ X－12．[2016·无锡一模] 在边长为 1 的小正方形组成的网格中，有如图 4－ X－1 所示的A，B 两点，在格点上任意放置点 C，恰好能使得△ABC 的面积为 1 的概率为( )A. B. C. D.316 38 14 5163．将“定理”的英文单词“ theorem”中的 7 个字母分别写在 7 张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母“ e”的概率为________．4．在一个不透明的口袋中有颜色不同的红、白两种小球，其中红球 3 个，白球 n个．若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为 ，则 n＝________．34类型之二 等可能试验(两步)中事件发生的概率计算5．一个不透明的口袋里装有红、黑、绿三种颜色的乒乓球(除颜色不同外其余都相同)，其中红球有 2 个，黑球有 1 个，绿球有 3 个，第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，则两次摸到的都是红球的概率为( )A. B. C. D.118 19 215 1156. [2016·乐山] 现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字 1，2，3，4，5，6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为 9 的概率是( )A. B. 13 16C. D.19 1127．某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，则决赛前两名都是九年级同学的概率是________．8．[2017·泰州] 在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名同学以抽签的方式从 3 篇不同的文章中抽取一篇参加比赛．抽签规则是在 3 个相同的标签上分别标注字母 A， B， C，各代表 1 篇文章，一名同学随机抽取一个标签后放回，另一名同学再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙两名同学抽中同一篇文章的概率．29．一个不透明的布袋里装有 2 个白球，1 个黑球和若干个红球，它们除颜色不同外其余都相同，从中任意摸出 1 个球，是白球的概率为 .12(1)布袋里红球有多少个？(2)先从布袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，请用列表法或画树状图的方法求出两次摸到的球都是白球的概率．类型之三 等可能试验(两步以上)中事件发生的概率计算10．[2016·无锡市锡北片二模] 在某小学“演讲大赛”选拔赛初赛中，甲、乙、丙三位评委对小选手琪琪的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论．(1)请用树状图表示出三位评委给小选手琪琪的所有可能的结论；(2)对于小选手琪琪，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？(3)比赛规定，若三位评委中至少有两位给出“通过”的结论，则小选手琪琪可进入复赛，琪琪进入复赛的概率是多少？3类型之四 面积型概率的计算11．[2017·赤峰] 小明向如图 4－ X－2 所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖，E 是以 AB为直径的半圆与对角线 AC 的交点．如果小明投掷飞镖一次，那么飞镖落在阴影部分的概率为( )A. B. C. D.12 14 13 18图 4－ X－2图 4－ X－3.如图 4－ X－3 所示是一个飞镖游戏板，大圆的直径把一组同心圆分成四等份，假设飞镖击中圆面上每一个点都是等可能的，则飞镖落在黑色区域的概率是________．图 4－ X－413．如图 4－ X－4 所示的 3×3 网格形地面上，阴影部分是草地，其余部分是空地，一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为________．14．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘 A， B 分成 4 等份、3 等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字(如图 4－ X－5 所示)，指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为 3 的倍数，则甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为 4 的倍数，则乙胜．若指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．(1)试用列表格或画树状图的方法，求甲获胜的概率；(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．4图 4－ X－55详解详析1．C [解析] 共有 4 种等可能的结果，其中能构成三角形的有2，2，3；3，2，3；4，2，3，共 3 种情况，所以以这张卡片与口袋外的两张卡片上的数为长度的三条线段能构成三角形的概率是 .342．C [解析] 如图，可以找到 4 个恰好能使△ ABC 的面积为 1 的点 C，则概率为 ＝ .416 14故选 C.3. [解析] ∵英文单词“theorem”中，一共有 7 个字母，其中字母“e”有 2 个，27∴任取一张，取到字母“e”的概率为 .274．9 [解析] 根据题意，得 ＝ ，nn＋ 3 34解得 n＝9，经检验， n＝9 是原分式方程的解且符合题意．5．D 6.C 7.168．解：画树状图如下：则 P(甲、乙两名同学抽中同一篇文章)＝ ＝ .39 139．解：(1)设布袋里红球有 x 个．由题意，可得 ＝ ，22＋ 1＋ x 12解得 x＝1.经检验， x＝1 是分式方程的解且符合题意．答：布袋里红球有 1 个．(2)画树状图如下：∴ P(两次摸到的球都是白球)＝ ＝ .212 16610．解：(1)画树状图如下：(2)由(1)知共有 8 种等可能的结果，只有甲、乙两位评委给出相同结论的有 2 种可能，∴只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率为 ＝ .28 14(3)由(1)知共有 8 种等可能的结果，三位评委中至少有两位给出“通过”结论的有 4 种可能，∴琪琪进入复赛的概率为 ＝ .48 1211．B12. [解析] 观察发现：阴影部分的面积＝ 大圆的面积，12 12∴飞镖落在黑色区域的概率是 .1213. [解析] ∵阴影部分的面积为 2 个小正方形的面积，大正方形的面积为 9 个小正29方形的面积，∴阴影部分的面积占总面积的 ，29∴小鸟飞下来落在草地上的概率为 .2914．解：(1)画树状图如下：共有 12 种等可能的结果，其中两个区域的数字之和为 3 的倍数的有 4 种结果，∴ P(甲获胜)＝ .13(2)不公平．理由：∵两个区域的数字之和为 4 的倍数的有 3 种结果，∴ P(乙获胜)＝ ，14∴ P(乙获胜)≠ P(甲获胜)，∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．1第 4 章 等可能条件下的概率 1．[2017·南京建邺区一模] 不透明的布袋中有 2 个红球和 3 个白球，所有球除颜色外无其他差别．某同学从布袋里任意摸出一个球，则他摸出红球的概率是( )A. B. C. D.35 25 23 122．[2017·苏州姑苏区期末] 有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④圆；⑤菱形．将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是( )A. B. C. D.15 25 35 453．[2017·淮安] —枚质地均匀的骰子的 6 个面上分别刻有 1～6 的点数，抛掷这枚骰子 1 次，向上一面的点数是 4 的概率是________．4．[2017·徐州] 如图 4－ Y－1，转盘中 6 个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于 5 的概率为________．图 4－ Y－1图 4－ Y－2.[2017·盐城] 图 4－ Y－2 是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是________．图 4－ Y－36．[2017·宿迁] 如图 4－ Y－3，为测量平地上一块不规则区域(图中阴影部分)的面积，画一个边长为 2 m 的正方形，使不规则区域落在正方形内．现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)．经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数 0.25 附近，由此可估计不规则区域的面积是________ m2.7．[2017·南京] 全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划．假定生男生女的概率相同，回答下列问题：(1)甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则这个孩子是女孩的概率是________；2(2)乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个女孩的概率．8．[2017·徐州] 一个不透明的口袋中装有 4 张卡片，卡片上分别标有数字1，－3，－5，7，这些卡片除数字外都相同．小芳从口袋中随机抽取一张卡片，小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张．请你用画树状图或列表的方法，求两人抽到的数字符号相同的概率．9．[2017·连云港] 为落实“垃圾分类” ，环卫部门要求垃圾要按 A， B， C 三类分别装袋、投放，其中 A 类指废电池、过期药品等有毒垃圾， B 类指剩余食品等厨余垃圾， C 类指塑料、废纸等可回收垃圾．甲投放了一袋垃圾；乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是 A 类的概率；(2)求乙投放的垃圾中恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．10．[2016·淮安] 如图 4－ Y－4，转盘 A 的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘 B 的四个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，4.转动转盘 A， B 各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘(当指针落在扇形的交线上时，重新转动转盘)．(1)用画树状图或列表法列出所有可能出现的结果；(2)求两个数字的积为奇数的概率．图 4－ Y－4311．[2017·盐城] 为了弘扬祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会” ，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图 4－ Y－5 所示的九宫格中选取七个字组成一句古诗，其答案为“山重水复疑无路” ．(1)小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是________；(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷” 、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．图 4－ Y－512．[2016·苏州] 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字－1，0，2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．(1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字 2 的小球的概率为________；(2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的纵坐标．请用树状图或表格列出点 M 所有可能的坐标，并求出点 M 落在如图 4－ Y－6 所示的正方形网格内(包括边界)的概率．图 4－ Y－64详解详析1．B2．C3. [解析] 抛掷骰子 1 次，向上一面的点数可能是 1，2，3，4，5，6，一共有 6 种16等可能的结果，其中向上一面的点数是 4 的结果有 1 种，所以 P(向上一面的点数是 4)＝ .164. [解析] 转盘转动一次，出现 6 种等可能情况，其中小于 5 的情况共有 4 种，故指23针指向的数小于 5 的概率为 ＝ .46 235.136．1 [解析] 用样本估计总体，不规则区域的面积占正方形面积的 ，所以140.25×22＝1(m 2)．7．解：(1)12(2)乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，所有可能出现的结果为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共有 4 种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“至少有一个孩子是女孩”(记为事件 A)的结果有 3 种，∴ P(A)＝ .348．解：画树状图如下：所有等可能的结果有 12 种，抽到的数字符号相同的结果有 4 种，因此两人抽到的数字符号相同的概率为 ＝ .412 139．解：(1)甲投放的垃圾恰好是 A 类的概率是 .13(2)画树状图如图所示：5由图可知，共有 18 种等可能结果，其中乙投放的垃圾中恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有 12 种，所以 P(乙投放的垃圾中恰有一袋与甲投放的垃圾是同类)＝ ＝ .1218 2310．解：(1)画树状图如下：(2)由(1)知共有 12 种等可能的结果，其中两个数字的积为奇数的有 4 种情况，∴两个数字的积为奇数的概率为 ＝ .412 1311．解：(1)12(2)列表如下：第四个字第二个字 富 复重 (重，富) (重，复)穷 (穷，富) (穷，复)∵共有 4 种等可能的结果，其中只有 1 种结果是正确的，∴小丽回答正确的概率为 .1412．解：(1)随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字 2 的小球的概率为 .13(2)画树状图如下：共有 9 种等可能的结果，其中点 M 落在正方形网格内(包括边界)的结果有 6 种，所以点 M 落在如题图所示的正方形网格内(包括边界)的概率为 ＝ . 69 23