2018版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数I试题 理（打包9套）.zip

1第二章 函数与基本初等函数 I第 1 讲 函数及其表示一、选择题1．下列函数中，与函数 y＝ 定义域相同的函数为 ( )．13xA． y＝ B． y＝1sin x ln xxC． y＝ xex D． y＝sin xx解析 函数 y＝ 的定义域为{ x|x≠0， x∈R}与函数 y＝ 的定义域相同，故选 D.13x sin xx答案 D2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数” ，则函数解析式为 y＝ x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )．A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个解析 由 x2＋1＝1，得 x＝0.由 x2＋1＝3，得 x＝± ，所以函数的定义域可以是{0，2}， {0，－ }，{0， ，－ }，故值域为{1,3}的同族函数共有 3 个．2 2 2 2答案 C3．若函数 y＝ f(x)的定义域为 M＝{ x|－2≤ x≤2}，值域为 N＝{ y|0≤ y≤2}，则函数y＝ f(x)的图象可能是( )．解析 根据函数的定义，观察得出选项 B.答案 B4．已知函数 f(x)＝Error!若 a， b， c 互不相等，且 f(a)＝ f(b)＝ f(c)，则 abc 的取值范围是 ( )．A．(1,10) B．(5,6)C．(10,12) D．(20,24)解析 a， b， c 互不相等，不妨设 a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数的图象为（ ）3解析 注意本题中选择项的横坐标为小王从出发到返回原地所用的时间，纵坐标是经过的路程，故选 D.答案 D二、填空题7．已知函数 f(x)， g(x)分别由下表给出，x 1 2 3f(x) 1 3 1x 1 2 3g(x) 3 2 1则 f[g(1)]的值为________，满足 f[g(x)]g[f(x)]的 x 的值是________．解析 ∵ g(1)＝3，∴ f[g(1)]＝ f(3)＝1，由表格可以发现 g(2)＝2， f(2)＝3，∴ f(g(2))＝3， g(f(2))＝1.答案 1 28．已知函数 f(x)＝Error!则满足不等式 f(1－ x2)f(2x)的 x 的取值范围是________．解析 由题意有Error!或Error!解得－11 时，函数 g(x)是[1,3]上的减函数，此时 g(x)min＝ g(3)＝2－3 a， g(x)max＝ g(1)＝1－ a，所以 h(a)＝2 a－1；当 0≤ a≤1 时，若 x∈[1,2]，则 g(x)＝1－ ax，有 g(2)≤ g(x)≤ g(1)；5若 x∈(2,3]，则 g(x)＝(1－ a)x－1，有 g(2)2 x＋ m，即 x2－3 x＋1 m，对 x∈[－1,1]恒成立．令 g(x)＝ x2－3 x＋1，则问题可转化为 g(x)minm，又因为 g(x)在[－1,1]上递减， 所以 g(x)min＝ g(1)＝－1，故 m－1.1第 2讲 函数的单调性与最值一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是( )．A． y＝ x2 B． y＝| x|＋1C． y＝－lg| x| D． y＝2 |x|解析 对于 C中函数，当 x0时， y＝－lg x，故为(0，＋∞)上的减函数，且 y＝－lg |x|为偶函数．答案 C2．已知函数 f(x)为 R上的减函数，则满足 f(|x|)＜ f(1)的实数 x的取值范围是( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 ∵ f(x)在 R上为减函数且 f(|x|)＜ f(1)，∴| x|＞1，解得 x＞1 或 x＜－1.答案 D3．若函数 y＝ ax与 y＝－ 在(0，＋∞)上都是减函数，则 y＝ ax2＋ bx在(0，＋∞)上是( )bxA．增函数 B．减函数C．先增后减 D．先减后增解析 ∵ y＝ ax与 y＝－ 在(0，＋∞)上都是减函数，bx∴ a0)．对于下列命题：①函数 f(x)的最小值是－1；②函数 f(x)在 R上是单调函数；③若 f(x)0在 上恒成立，则 a的取值范围是 a1；[12， ＋ ∞ )④对任意的 x10在 上恒成立，则 2a× －10， a1，故③正确；[12， ＋ ∞ ) 12由图象可知在(－∞，0)上对任意的 x10且 a≠1)的单调区间．解 当 a1时，函数 y＝ a1－ x2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；当 0x1≥2，则 f(x1)－ f(x2)＝ x ＋ － x － ＝ [x1x2(x1＋ x2)－ a]，21ax1 2 ax2 x1－ x2x1x2由 x2x1≥2，得 x1x2(x1＋ x2)16， x1－ x20.要使 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需 f(x1)－ f(x2)0恒成立，则 a≤16.13．已知函数 f(x)＝ a·2x＋ b·3x，其中常数 a， b满足 ab≠0.(1)若 ab0，判断函数 f(x)的单调性；(2)若 ab f(x)时的 x的取值范围．解 (1)当 a0， b0时，因为 a·2x， b·3x都单调递增，所以函数 f(x)单调递增；当a0.(i)当 a0时， x－ ，(32) a2b解得 xlog ；32(－ a2b)(ii)当 a0， b0时， f(x)1.(1)求证： f(x)是 R上的增函数；(2)若 f(4)＝5，解不等式 f(3m2－ m－2)0，∴ f(x2－ x1)1.f(x2)－ f(x1)＝ f[(x2－ x1)＋ x1]－ f(x1)＝ f(x2－ x1)＋ f(x1)－1－ f(x1)＝ f(x2－ x1)－10.∴ f(x2)f(x1)．即 f(x)是 R上的增函数．(2) ∵ f(4)＝ f(2＋2)＝ f(2)＋ f(2)－1＝5，∴ f(2)＝3，∴原不等式可化为 f(3m2－ m－2) f(2)，∵ f(x)是 R上的增函数，∴3 m2－ m－22，5解得－1 m ，故解集为 .43 (－ 1， 43)1第 3 讲 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设 f(x)为定义在 R 上的奇函数．当 x≥0 时， f(x)＝2 x＋2 x＋ b(b 为常数)，则 f(－1)等于( )．A．3 B．1 C．－1 D．－3解析 由 f(－0)＝－ f(0)，即 f(0)＝0.则 b＝－1，f(x)＝2 x＋2 x－1， f(－1)＝－ f(1)＝－3.答案 D2．已知定义在 R 上的奇函数， f(x)满足 f(x＋2)＝－ f(x)，则 f(6)的值为 ( )．A．－1 B．0 C．1 D．2解析 (构造法)构造函数 f(x)＝sin x，则有 f(x＋2)＝sin ＝－sin π 2 [π 2 x＋ 2 ]x＝－ f(x)，所以 f(x)＝sin x 是一个满足条件的函数，所以 f(6)＝sin 3π＝0，π 2 π 2故选 B.答案 B3．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝ f(x＋2)，当 x∈[3,5]时， f(x)＝2－| x－4|，则下列不等式一定成立的是 ( )．A． f f B． f(sin 1)f(sin 2)(sin π 6) (cos π 6)解析 当 x∈[－1,1]时， x＋4∈[3,5]，由 f(x)＝ f(x＋2)＝ f(x＋4)＝2－| x＋4－4|＝2－| x|，显然当 x∈[－1,0]时， f(x)为增函数；当 x∈[0,1]时， f(x)为减函数，cos ＝－ ，sin ＝ ，又 f ＝ f f ，所以 f f .2π3 12 2π3 32 12 (－ 12) (12) (32) (cos 2π3) (sin 2π3)答案 A4．已知函数 f(x)＝Error!则该函数是 ( )．A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减解析 当 x0 时， f(－ x)＝2 － x－1＝－ f(x)；当 x0 时是单调函数，则满足 f(2x)＝ f 的所有 x 之和为(x＋ 1x＋ 4)________．解析 ∵ f(x)是偶函数， f(2x)＝ f ，(x＋ 1x＋ 4)∴ f(|2x|)＝ f ，(|x＋ 1x＋ 4|)又∵ f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2 x|＝ ，|x＋ 1x＋ 4|即 2x＝ 或 2x＝－ ，x＋ 1x＋ 4 x＋ 1x＋ 4整理得 2x2＋7 x－1＝0 或 2x2＋9 x＋1＝0，设方程 2x2＋7 x－1＝0 的两根为 x1， x2，方程 2x2＋9 x＋1＝0 的两根为 x3， x4.则( x1＋ x2)＋( x3＋ x4)＝－ ＋ ＝－8.72 (－ 92)答案 －8三、解答题11．已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对任意 x， y， f(x)都满足 f(xy)＝ yf(x)＋ xf(y)．(1)求 f(1)， f(－1)的值；(2)判断函数 f(x)的奇偶性．解 (1)因为对定义域内任意 x， y， f(x)满足 f(xy)＝ yf(x)＋ xf(y)，所以令x＝ y＝1，得 f(1)＝0，令 x＝ y＝－1，得 f(－1)＝0.(2)令 y＝－1，有 f(－ x)＝－ f(x)＋ xf(－1)，代入 f(－1)＝0 得 f(－ x)＝－ f(x)，所以 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．12．已知函数 f(x)对任意 x， y∈R，都有 f(x＋ y)＝ f(x)＋ f(y)，且 x＞0 时， f(x)＜0， f(1)＝－2.(1)求证 f(x)是奇函数；(2)求 f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明 令 x＝ y＝0，知 f(0)＝0；再令 y＝－ x，4则 f(0)＝ f(x)＋ f(－ x)＝0，所以 f(x)为奇函数．(2)解 任取 x1＜ x2，则 x2－ x1＞0，所以 f(x2－ x1)＝ f[x2＋(－ x1)]＝ f(x2)＋ f(－ x1)＝ f(x2)－ f(x1)＜0，所以 f(x)为减函数．而 f(3)＝ f(2＋1)＝ f(2)＋ f(1)＝3 f(1)＝－6， f(－3)＝－ f(3)＝6.所以 f(x)max＝ f(－3)＝6， f(x)min＝ f(3)＝－6.13.已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且 f(x)的图象关于 x＝1 对称，当 x∈[0,1]时，f(x)＝2 x－1，(1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x∈[1,2]时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)＋ f(1)＋ f(2)＋…＋ f(2013)的值．解析 (1)证明 函数 f(x)为奇函数，则 f(－ x)＝－ f(x)，函数 f(x)的图象关于 x＝1对称，则 f(2＋ x)＝ f(－ x)＝－ f(x)，所以 f(4＋ x)＝ f[(2＋ x)＋2]＝－ f(2＋ x)＝ f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数．(2) 当 x∈[1,2]时，2－ x∈[0,1]，又 f(x)的图象关于 x＝1 对称，则 f(x)＝ f(2－ x)＝2 2－ x－1， x∈[1,2]．(3) ∵ f(0)＝0， f(1)＝1， f(2)＝0，f(3)＝ f(－1)＝－ f(1)＝－1又 f(x)是以 4 为周期的周期函数．∴ f(0)＋ f(1)＋ f(2)＋…＋ f(2013)＝ f(2 012)＋ f(2 013)＝ f(0)＋ f(1)＝1.14．已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x＋2)＝－ f(x)．(1)求证： f(x)是周期函数；(2)若 f(x)为奇函数，且当 0≤ x≤1 时， f(x)＝ x，求使 f(x)＝－ 在[0,2 014]上的所12 12有 x 的个数．(1)证明 ∵ f(x＋2)＝－ f(x)，∴ f(x＋4)＝－ f(x＋2)＝－[－ f(x)]＝ f(x)，∴ f(x)是以 4 为周期的周期函数．(2)解 当 0≤ x≤1 时， f(x)＝ x，12设－1≤ x≤0，则 0≤－ x≤1，5∴ f(－ x)＝ (－ x)＝－ x.12 12∵ f(x)是奇函数，∴ f(－ x)＝－ f(x)，∴－ f(x)＝－ x，即 f(x)＝ x.12 12故 f(x)＝ x(－1≤ x≤1)．12又设 1x3，则－1 x－21，∴ f(x－2)＝ (x－2)．12又∵ f(x)是以 4 为周期的周期函数∴ f(x－2)＝ f(x＋2)＝－ f(x)，∴－ f(x)＝ (x－2)，12∴ f(x)＝－ (x－2)(1 x3)．12∴ f(x)＝Error!由 f(x)＝－ ，解得 x＝－1.12∵ f(x)是以 4 为周期的周期函数，∴ f(x)＝－ 的所有 x＝4 n－1( n∈Z)．12令 0≤4 n－1≤2 014，则 ≤ n≤ .14 2 0154又∵ n∈Z，∴1≤ n≤503( n∈Z)，∴在[0,2 014]上共有 503 个 x 使 f(x)＝－ .121第 4 讲 指数与指数函数一、选择题1．函数 y＝ a|x|(a1)的图像是( )解析 y＝ a|x|＝Error! 当 x≥0 时，与指数函数 y＝ ax(a1)的图像相同；当 x1， b0，且 ab＋ a－ b＝2 ，则 ab－ a－ b的值为( )2A. B．2 或－26C．－2 D．2解析 ( ab＋ a－ b)2＝8⇒ a2b＋ a－2 b＝6，∴( ab－ a－ b)2＝ a2b＋ a－2 b－2＝4.又 aba－ b(a1， b0)，∴ ab－ a－ b＝2.答案 D6．若函数 f(x)＝( k－1) ax－ a－ x(a0 且 a≠1)在 R 上既是奇函数，又是减函数，则 g(x)＝log a(x＋ k)的图象是下图中的 ( )．解析 函数 f(x)＝( k－1) ax－ a－ x为奇函数，则 f(0)＝0，即( k－1) a0－ a0＝0，解得k＝2，所以 f(x)＝ ax－ a－ x，又 f(x)＝ ax－ a－ x为减函数，故 00，且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是________．3解析 令 ax－ x－ a＝0 即 ax＝ x＋ a，若 01， y＝ ax与 y＝ x＋ a 的图象如图所示．答案 (1，＋∞)10．已知 f(x)＝ x2， g(x)＝ x－ m，若对∀ x1∈[－1,3]，∃ x2∈[0,2]， f(x1)≥ g(x2)，则(12)实数 m 的取值范围是________．解析 x1∈[－1,3]时， f(x1)∈[0,9]， x2∈[0,2]时， g(x2)∈ ，即[(12)2－ m， (12)0－ m]g(x2)∈ ，要使∀ x1∈[－1,3]，∃ x2∈[0,2]， f(x1)≥ g(x2)，只需 f(x)[14－ m， 1－ m]min≥ g(x)min，即 0≥ － m，故 m≥ .14 14答案 [14， ＋ ∞ )三、解答题11．已知函数 f(x)＝ .2x－ 12x＋ 1(1)判断函数 f(x)的奇偶性；(2)求证 f(x)在 R 上为增函数．(1)解 因为函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)＝ ＝1－ ，所以 f(－ x)＋ f(x)2x－ 12x＋ 1 22x＋ 1＝ ＋ ＝2－ ＝2－ ＝2－(1－22－ x＋ 1) (1－ 22x＋ 1) ( 22x＋ 1＋ 22－ x＋ 1) ( 22x＋ 1＋ 2·2x2x＋ 1)＝2－2＝0，即 f(－ x)＝－ f(x)，所以 f(x)是奇函数．2 2x＋ 12x＋ 1(2)证明 设 x1， x2∈R，且 x10,2 x2＋10，∴ f(x1)0， a≠1)的图象经过点 A(1,6)，4B(3,24)．(1)求 f(x)；(2)若不等式( )x＋( )x－ m≥0 在 x∈(－∞，1]时恒成立，求实数 m 的取值范围．1a 1b解析 (1)把 A(1,6)， B(3,24)代入 f(x)＝ b·ax，得Error!结合 a0 且 a≠1，解得Error!∴ f(x)＝3·2 x.(2)要使( )x＋( )x≥ m 在(－∞，1]上恒成立，12 13只需保证函数 y＝( )x＋( )x在(－∞，1]上的最小值不小于 m 即可．12 13∵函数 y＝( )x＋( )x在(－∞，1]上为减函数，12 13∴当 x＝1 时， y＝( )x＋( )x有最小值 .12 13 56∴只需 m≤ 即可．56∴ m 的取值范围(－∞， ]5613．已知函数 f(x)＝ ax2－4 x＋3.(13)(1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值．解析 (1)当 a＝－1 时， f(x)＝ － x2－4 x＋3，(13)令 t＝－ x2－4 x＋3，由于 t(x)在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而 y＝ t在 R 上单调递减，(13)所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数 f(x)的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令 h(x)＝ ax2－4 x＋3， f(x)＝ h(x)，(13)由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值－1，因此必有Error!解得 a＝1.即当 f(x)有最大值 3 时， a 的值等于 1.14．已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2 x－ .12|x|(1)若 f(x)＝ ，求 x 的值；32(2)若 2tf(2t)＋ mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立，求实数 m 的取值范围．5解 (1)当 x0，∴ x＝1.(2)当 t∈[1,2]时，2 t ＋ m ≥0，(22t－122t) (2t－ 12t)即 m(22t－1)≥－(2 4t－1)，∵2 2t－10，∴ m≥－(2 2t＋1)，∵ t∈[1,2]，∴－(2 2t＋1)∈[－17，－5]，故 m 的取值范围是[－5，＋∞)．1第 5 讲 对数与对数函数一、选择题1．已知实数 a＝log 45， b＝ 0， c＝log 30.4，则 a， b， c 的大小关系为( )(12)A． b1， b＝ 0＝1， c＝log 30.41，且 0，得 10 且 a≠1)满足对任意的 x1， x2，当 x10，则实数 a 的取值范围为 ( )．A．(0,1)∪(1,3) B．(1,3)C．(0,1)∪(1,2 ) D．(1,2 )3 3解析 “对任意的 x1， x2，当 x10”实质上就是“函数单调递a2减”的“伪装” ，同时还隐含了“ f(x)有意义” ．事实上由于 g(x)＝ x2－ ax＋3 在 x≤时递减，从而Error!由此得 a 的取值范围为(1,2 )．故选 D.a2 3答案 D6．已知函数 f(x)＝|lg x|，若 03.故选 C.2a答案 C二、填空题7．对任意非零实数 a， b，若 a⊗b 的运算原理如图所示，则(log 8)⊗ －2 ＝________.12 (13)解析 框图的实质是分段函数，log 8＝－3， －2 ＝9，由框图可以看出输出 ＝－3.12 (13) 9－ 3答案 －3.8．设 g(x)＝Error!则 g ＝________.[g(12)]解析 g ＝ln ＜0，(12) 12∴ g ＝ g ＝e ln ＝ .[g(12)] (ln12) 12 12答案 1239．已知集合 A＝{ x|log2x≤2}， B＝(－∞， a)，若 A⊆B，则实数 a 的取值范围是( c，＋∞)，其中 c＝________.解析 ∵log 2x≤2，∴0＜ x≤4.又∵ A⊆B，∴ a＞4，∴ c＝4.答案 410．对于任意实数 x，符号[ x]表示 x 的整数部分，即[ x]是不超过 x 的最大整数．在实数轴 R(箭头向右)上[ x]是在点 x 左侧的第一个整数点，当 x 是整数时[ x]就是 x.这个函数[x]叫做“取整函数” ，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝________.解析 当 1≤ n≤2 时，[log 3n]＝0，当 3≤ n1，解得 a2.所以 a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．12．若函数 y＝lg(3－4 x＋ x2)的定义域为 M.当 x∈ M 时，求 f(x)＝2 x＋2 －3×4 x的最值及相应的 x 的值．解 y＝lg(3－4 x＋ x2)，∴3－4 x＋ x2＞0，解得 x＜1 或 x＞3，∴ M＝{ x|x＜1，或 x＞3}，f(x)＝2 x＋2 －3×4 x＝4×2 x－3×(2 x)2.4令 2x＝ t，∵ x＜1 或 x＞3，∴ t＞8 或 0＜ t＜2.∴ f(t)＝4 t－3 t2＝－3 2＋ (t＞8 或 0＜ t＜2)．(t－23) 43由二次函数性质可知：当 0＜ t＜2 时， f(t)∈ ，(0，43]当 t＞8 时， f(t)∈(－∞，－160)，当 2x＝ t＝ ，即 x＝log 2 时， f(x)max＝ .23 23 43综上可知：当 x＝log 2 时， f(x)取到最大值为 ，无最小值．23 4313．已知函数 f(x)＝log a (a＞0， b＞0， a≠1)．x＋ bx－ b(1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的奇偶性；(3)讨论 f(x)的单调性；解 (1)令 ＞0，x＋ bx－ b解得 f(x)的定义域为(－∞，－ b)∪( b，＋∞)．(2)因 f(－ x)＝log a ＝log a －1－ x＋ b－ x－ b (x＋ bx－ b)＝－log a ＝－ f(x)，x＋ bx－ b故 f(x)是奇函数．(3)令 u(x)＝ ，则函数 u(x)＝1＋ 在(－∞，－ b)和( b，＋∞)上是减函数，所x＋ bx－ b 2bx－ b以当 0＜ a＜1 时， f(x)在(－∞，－ b)和( b，＋∞)上是增函数；当 a＞1 时， f(x)在(－∞，－ b)和( b，＋∞)上是减函数．14．已知函数 f(x)＝log a ，( a0，且 a≠1)．x＋ 1x－ 1(1)求函数的定义域，并证明： f(x)＝log a 在定义域上是奇函数；x＋ 1x－ 1(2)对于 x∈[2,4]， f(x)＝log a loga 恒成立，求 m 的取值范x＋ 1x－ 1 m x－ 1 2 7－ x围．解 (1)由 0，解得 x1，x＋ 1x－ 1∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5当 x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f(－ x)＝log a ＝log a ＝log a －1 ＝－log a ＝－ f(x)，－ x＋ 1－ x－ 1 x－ 1x＋ 1 (x＋ 1x－ 1) x＋ 1x－ 1∴ f(x)＝log a 在定义域上是奇函数．x＋ 1x－ 1(2)由 x∈[2,4]时， f(x)＝log a loga 恒成立，x＋ 1x－ 1 m x－ 1 2 7－ x①当 a1 时，∴ 0 对 x∈[2,4]恒成立．x＋ 1x－ 1 m x－ 1 2 7－ x∴00.∴ y＝ g(x)在区间[2,4]上是增函数， g(x)min＝ g(2)＝15.∴0loga 恒成立，x＋ 1x－ 1 m x－ 1 2 7－ x∴ (x＋1)( x－1)(7－ x)在 x∈[2,4]恒成立．设 g(x)＝( x＋1)( x－1)(7－ x)， x∈[2,4]，由①可知 y＝ g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)max＝ g(4)＝45，∴ m45.∴ m 的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).1第 6 讲 幂函数与二次函数一、选择题1．已知幂函数 y＝ f(x)的图像经过点 ，则 f(2)＝( )(4，12)A. B．414C. D.22 2解析 设 f(x)＝ xα ，因为图像过点 ，代入解析式得： α ＝－ ，∴ f(2)＝2－ ＝(4，12) 12 12.22答案 C2．若函数 f(x)是幂函数，且满足 ＝3，则 f( )的值为( )f 4f 2 12A．－3 B．－13C．3 D.13解析 设 f(x)＝ xα ，则由 ＝3，得 ＝3.f 4f 2 4α2α∴2 α ＝3，∴ f( )＝( )α ＝ ＝ .12 12 12α 13答案 D3．已知函数 f(x)＝e x－1， g(x)＝－ x2＋4 x－3，若有 f(a)＝ g(b)，则 b 的取值范围为( )．A．[2－ ，2＋ ] B．(2－ ，2＋ )2 2 2 2C．[1,3] D．(1,3)解析 f(a)＝ g(b)⇔ea－1＝－ b2＋4 b－3⇔e a＝－ b2＋4 b－2 成立，故－ b2＋4 b－20，解得 2－ 0， a(a－4)0， a4，由b2a 12于 a 为正整数，即 a 的最小值为 5.答案 C二、填空题7．对于函数 y＝ x2， y＝ x12有下列说法： ①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线 y＝ x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案 ①②⑤⑥8．若二次函数 f(x)＝ ax2－4 x＋ c 的值域为[0，＋∞)，则 a， c 满足的条件是________．解析 由已知得Error!⇒Error!答案 a0， ac＝49．方程 x2－ mx＋1＝0 的两根为 α 、 β ，且 α ＞0,1＜ β ＜2，则实数 m 的取值范围是________．解析 ∵Error!∴ m＝ β ＋ .1β3∵ β ∈(1,2)且函数 m＝ β ＋ 在(1,2)上是增函数，1β∴1＋1＜ m＜2＋ ，即 m∈ .12 (2， 52)答案 (2，52)10．已知 f(x)＝ m(x－2 m)(x＋ m＋3)， g(x)＝2 x－2.若同时满足条件：①∀ x∈R， f(x)1 时， g(x)0，当x＝1 时， g(x)＝0， m＝0 不符合要求；当 m0 时，根据函数 f(x)和函数 g(x)的单调性，一定存在区间[a，＋∞)使 f(x)≥0 且 g(x)≥0，故 m0 时不符合第①条的要求；当 m0，求实数 a 的取值范围．解 不等式 ax2－2 x＋20 等价于 a ，2x－ 2x2设 g(x)＝ ， x∈(1,4)，则2x－ 2x2g′( x)＝2x2－  2x－ 2 2xx4＝ ＝ ，－ 2x2＋ 4xx4 － 2x x－ 2x4当 10，当 2 ，12因此实数 a 的取值范围是 .(12， ＋ ∞ )14．已知函数 f(x)＝ x－ k2＋ k＋2( k∈Z)满足 f(2)0，使函数 g(x)＝1－ qf(x)＋(2 q－1) x 在区间[－1,2]上的值域为 ？若存在，求出 q；若不存在，请说明[－ 4，178]理由．解 (1)∵ f(2)0，解得－10 满足题设，由(1)知5g(x)＝－ qx2＋(2 q－1) x＋1， x∈[－1,2]．∵ g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1， g(－1))和顶点 处取(2q－ 12q ， 4q2＋ 14q )得．而 － g(－1)＝ －(2－3 q)＝ ≥0，∴ g(x)max＝ ＝ ，4q2＋ 14q 4q2＋ 14q  4q－ 1 24q 4q2＋ 14q 178g(x)min＝ g(－1)＝2－3 q＝－4.解得 q＝2，∴存在 q＝2 满足题意．1第 7 讲 函数图象一、选择题1．函数 y＝| x|与 y＝ 在同一坐标系上的图像为( )x2＋ 1解析 因为| x|≤ ，所以函数 y＝| x|的图像在函数 y＝ 图像的下方，排除x2＋ 1 x2＋ 1C、D，当 x→＋∞时， →| x|，排除 B，故选 A.x2＋ 1答案 A2．函数 y＝ 的图象与函数 y＝2sin π x(－2≤ x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于11－ x( )．A．2 B．4 C．6 D．8解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共 8 个公共点，每两个对应交点横坐标之和为 2，故所有交点的横坐标之和为 8.答案 D3．已知函数 f(x)＝ x－tan x ，若实数 x0是函数 y＝ f(x)的零点，且(1e) (－ π 20，则 f(t)0，故选 B.答案 B4．如图，正方形 ABCD 的顶点 A ， B ，顶点 C、 D 位于第一象限，直线(0，22) (22， 0)l： x＝ t(0≤ t≤ )将正方形 ABCD 分成两部分，记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为2f(t)，则函数 S＝ f(t)的图象大致是 ( )．解析 当直线 l 从原点平移到点 B 时，面积增加得越来越快；当直线 l 从点 B 平移到点C 时，面积增加得越来越慢．故选 C.答案 C5．给出四个函数，分别满足① f(x＋ y)＝ f(x)＋ f(y)，② g(x＋ y)＝ g(x)·g(y)，③ h(x·y)＝ h(x)＋ h(y)，④ m(x·y)＝ m(x)·m(y)．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A．①甲，②乙，③丙，④丁 B．①乙，②丙，③甲，④丁C．①丙，②甲，③乙，④丁 D．①丁，②甲，③乙，④丙解析 图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是 y＝ x 的图象，满足①.答案 D6．如右图，已知正四棱锥 S－ ABCD 所有棱长都为 1，点 E 是侧3棱 SC 上一动点，过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝ x(01 时，如图，要使在(1,2)上， f1(x)＝( x－1) 2的图象在 f2(x)＝log ax 的下方，只需 f1(2)≤ f2(2)，即(2－1) 2≤log a2，log a2≥1，∴1＜ a≤2.∴ a 的取值范围是(1,2]14．已知函数 f(x)＝ x|m－ x|(x∈R)，且 f(4)＝0.(1)求实数 m 的值；(2)作出函数 f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式 f(x)0 的解集；(5)求集合 M＝{ m|使方程 f(x)＝ m 有三个不相等的实根}．解 (1)∵ f(4)＝0，∴4| m－4|＝0，即 m＝4.7(2)∵ f(x)＝ x|m－ x|＝ x|4－ x|＝Error!∴函数 f(x)的图象如图：由图象知 f(x)有两个零点．(3)从图象上观察可知： f(x)的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式 f(x)0 的解集为：{ x|04}．(5)由图象可知若 y＝ f(x)与 y＝ m 的图象有三个不同的交点，则 0m4，∴集合M＝{ m|0m4}．1第 8 讲 函数与方程一、选择题1． “a0， f(2)＝3＋2 a0，解得 a3 或 a0 可得其中一个零点 x0∈______，第二次应计算________．3解析 ∵ f(x)＝ x3＋3 x－1 是 R 上的连续函数，且 f(0)0，则 f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号．答案 (0,0.5) f(0.25)8．函数 f(x)＝Error!则函数 y＝ f[f(x)]＋1 的所有零点所构成的集合为________．解析 本题即求方程 f[f(x)]＝－1 的所有根的集合，先解方程 f(t)＝－1，即Error!或Error!得 t＝－2 或 t＝ .再解方程 f(x)＝－2 和 f(x)＝ .12 12即Error! 或Error!和Error!或Error!得 x＝－3 或 x＝ 和 x＝－ 或 x＝ .14 12 2答案 {－ 3， －12， 14， 2}9．已知函数 f(x)＝e x－2 x＋ a 有零点，则 a 的取值范围是________．解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程 ex－2 x＋ a＝0 有解问题，即方程a＝2 x－e x有解．令函数 g(x)＝2 x－e x，则 g′( x)＝2－e x，令 g′( x)＝0，得 x＝ln 2，所以 g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以 g(x)的最大值为： g(ln 2)＝2ln 2－2.因此， a 的取值范围就是函数 g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln 2－2]．答案 (－∞，2ln 2－2]10．若直角坐标平面内两点 P， Q 满足条件：① P、 Q 都在函数 f(x)的图象上；② P、 Q 关于原点对称，则称点对( P、 Q)是函数 f(x)的一个“友好点对”(点对( P、 Q)与点对( Q， P)看作同一个“友好点对”)．已知函数 f(x)＝Error!则 f(x)的“友好点对”的个数是________．解析 设 P(x， y)、 Q(－ x，－ y)(x0)为函数 f(x)的“友好点对” ，则 y＝ ，－ y＝2(－ x)2＋4(－ x)2ex＋1＝2 x2－4 x＋1，∴ ＋2 x2－4 x＋1＝0，在同一坐标系中作2ex函数 y1＝ 、 y2＝－2 x2＋4 x－1 的图象， y1、 y2的图象有两个交点，所以 f(x)有 2 个2ex“友好点对” ，故填 2.答案 2三、解答题11．设函数 f(x)＝ (x0)．|1－1x|(1)作出函数 f(x)的图象；4(2)当 00)．e2x(1)若 g(x)＝ m 有零点，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)－ f(x)＝0 有两个相异实根．解 (1)法一：∵ g(x)＝ x＋ ≥2 ＝2e，e2x e2等号成立的条件是 x＝e，故 g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需 m≥2e，则 g(x)＝ m 就有零点．法二：作出 g(x)＝ x＋ (x0)的大致图象如图：e2x可知若使 g(x)＝ m 有零点，则只需 m≥2e.法三：由 g(x)＝ m 得x2－ mx＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故Error! 等价于Error! ，故 m≥2e.(2)若 g(x)－ f(x)＝0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x) 的图象有两个不同的交点，作出 g(x)＝ x＋ (x0)的大致图象．e2x∵ f(x)＝－ x2＋2e x＋ m－1＝－( x－e) 2＋ m－1＋e 2.其图象的对称轴为 x＝e，开口向下，最大值为 m－1＋e 2.6故当 m－1＋e 22e，即 m－e 2＋2e＋1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)－ f(x)＝0 有两个相异实根．∴ m 的取值范围是(－e 2＋2e＋1，＋∞)1第 9 讲 函数的应用一、选择题1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预测经过 x年可能增长到原来的 y 倍，则函数 y＝ f(x)的图象大致为( )．解析 由题意可得 y＝(1＋10.4%) x.答案 D2．甲、乙两人沿同一方向去 地，途中都使用两种不同的速度 ．甲一半路B12,()v程使用速度 ，另一半路程使用速度 ，乙一半时间使用速度 ，另一半时间使用速1v2v度 ，甲、乙两人从 地到 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中 个不2A 4同的图示分析（其中横轴 表示时间，纵轴 表示路程） ，其中正确的图示分析为（ tS） ．A．(1) B．(3) C．(1)或(4) D. (1)或(2) （1） （2） （3） （4）解析 根据题目描述分析图像可知 D 正确答案 D3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L1＝5.06 x－0.15 x2和L2＝2 x，其中 x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得最大利润为 ( )．t2t1CBAS t2t1CBAS ABCt1 t2t2t1CBAS2A．45.606 万元 B．45.6 万元C．45.56 万元 D．45.51 万元解析 依题意可设甲销售 x 辆，则乙销售(15－ x)辆，总利润 S＝ L1＋ L2，则总利润S＝5.06 x－0.15 x2＋2(15－ x)＝－0.15 x2＋3.06 x＋30＝－0.15( x－10.2)2＋0.15×10.2 2＋30( x≥0)，∴当 x＝10 时， Smax＝45.6(万元)．答案 B4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位：10 万元)与营运年数x(x∈N *)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )．A．3 B．4 C．5 D．6解析 由题图可得营运总利润 y＝－( x－6) 2＋11，则营运的年平均利润 ＝－ x－ ＋12，yx 25x∵ x∈N *，∴ ≤－2 ＋12＝2，yx x·25x当且仅当 x＝ ，即 x＝5 时取“＝” ．25x∴ x＝5 时营运的年平均利润最大．答案 C5．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为 x， y 剪去部分的面积为 20，若2≤ x≤10，记 y＝ f(x)，则 y＝ f(x)的图象是( )．解析 由题意得 2xy＝20，即 y＝ ，当 x＝2 时， y＝5，当 x＝10 时， y＝1 时，排除10xC，D，又 2≤ x≤10，排除 B.答案 A6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些3边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x、 y 应为( )．A． x＝15， y＝12 B． x＝12， y＝15C． x＝14， y＝10 D． x＝10， y＝14解析 由三角形相似得 ＝ ，24－ y24－ 8 x20得 x＝ (24－ y)，54∴ S＝ xy＝－ (y－12) 2＋180，54∴当 y＝12 时， S 有最大值，此时 x＝15.答案 A二、填空题7．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文 密文 密文 明文― ― →加 密 ― ― →发 送 ― ― →解 密 已知加密为 y＝ ax－2( x 为明文， y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3” ，若接受方接到密文为“14” ，则原发的明文是________．解析 依题意 y＝ ax－2 中，当 x＝3 时， y＝6，故 6＝ a3－2，解得 a＝2.所以加密为y＝2 x－2，因此，当 y＝14 时，由 14＝2 x－2，解得 x＝4.答案 48．某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件，根据市场预测，销售价为每件 100元时可全部售完，定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析 设售价提高 x 元，则依题意y＝(1 000－5 x)×(20＋ x)＝－5 x2＋900 x＋20 000＝－5( x－90) 2＋60 500.故当 x＝90 时， ymax＝60 500，此时售价为每件 190 元．答案 190 元9．现有含盐 7%的食盐水为 200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐 5 %以上且在 6%以下4(不含 5%和 6%)的食盐水，设需要加入 4%的食盐水 x g，则 x 的取值范围是__________．解析 根据已知条件：设 y＝ ，令 5%＜ y＜6%，即(200＋ x)200×7%＋ x4%200＋ x5%＜200×7%＋ x·4%＜(200＋ x)6%，解得 100＜ x＜400.答案 (100,400)10．某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元．现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了________km.解析 由已知条件 y＝Error!由 y＝22.6 解得 x＝9.答案 9三、解答题11．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费 y(元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费 y1， y2与通话时间 x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设 y1＝ k1x＋29， y2＝ k2x，把点 B(30,35)， C(30,15)分别代入 y1， y2得 k1＝ ， k2＝ .15 12∴ y1＝ x＋29， y2＝ x.15 12(2)令 y1＝ y2，即 x＋29＝ x，则 x＝96 .15 12 23当 x＝96 时， y1＝ y2，两种卡收费一致；23当 xy2，即使用“便民卡”便宜；235当 x96 时， y10)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%.(a－3x500)(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1 000－ x)(1＋0.2 x%)≥10×1 000，即 x2－500 x≤0，又 x0，所以 00，所以 018 时，车费 y＝25＋2( x－18)＝2 x－11.(2)付出 22 元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于 3 km，且小于 18 km，前 3 km 付费 10 元，余下的 12 元乘车行驶了 12 km，故此人乘车行驶了 15 km.14．某学校要建造一个面积为 10 000 平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以AD、 BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元，草皮每平方米造价为 30 元．(1)设半圆的半径 OA＝ r(米)，设建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S(r)；(2)由于条件限制 r∈[30,40]，问当 r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)解 (1)塑胶跑道面积S＝π[ r2－( r－8) 2]＋8× ×210 000－ π r22r＝ ＋8π r－64π.∵π r2＜10 000，∴0＜ r＜ .80 000r 100π(2)设运动场的造价为 y 元，y＝150× ＋30×Error!(80 000r ＋ 8π r－ 64π )Error!＝ 300 000＋120× －7 680π.(80 000r ＋ 8π r)令 f(r)＝ ＋8π r，∵ f′( r)＝8π－ ，80 000r 80 000r2当 r∈[30,40]时， f′( r)＜0，∴函数 y＝300 000＋120× －7 680π 在[30,40]上为减函数．∴当(80 000r ＋ 8π r)r＝40 时， ymin≈636 510，即运动场的造价最低为 636 510 元.