2019届高考数学一轮复习 第十一篇 复数、算法、推理与证明训练（打包4套）理 新人教版.zip

1第 1 节 数系的扩充与复数的引入【选题明细表】知识点、方法 题号复数的有关概念、复数代数形式的运算 1,2,4,7,9,12,13,14复数的几何意义 3,11复数的综合应用 5,6,8,10基础巩固(时间:30 分钟)1.(2017·渭南市一模)已知复数 z= ,则等于( B )(A)-2i (B)-i(C)2i (D)i解析:z= = = =i,则=-i.故选 B.2.(2017·张掖市三模)复数 的虚部是( B )(A) (B)-(C) i (D)- i解析:因为 = =-i,所以复数 的虚部是-.故选 B.3.(2017·菏泽市一模)若复数 z 满足 z-1= (i 为虚数单位),则 z 在复平面内对应的点位于( D )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:z-1= = = =-2i,所以 z=1-2i,z 在复平面内对应的点(1,-2)位于第四象限.故选 D.4.(2017·天津和平区四模)设 a 为实数,i 是虚数单位,若 + 是实数,则 a 等于( B )(A)-1 (B)1(C) 2 (D)-3解析:因为 a 为实数,i 是虚数单位,且 + = + = + =+ 是实数,所以 1-a=0,所以 a=1.故选 B.5.定义:若 z2=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则称复数 z 是复数 a+bi 的平方根.根据定义,则2复数-3+4i 的平方根是( B )(A)1-2i 或-1+2i (B)1+2i 或-1-2i(C)-7-24i (D)7+24i解析:设(x+yi) 2=-3+4i,则解得 或 故选 B.6.(2017·丹东市、鞍山市、营口市一模)复数 =A+Bi,(m,A,B∈R),且 A+B=0,则 m 的值是( C )(A) (B) (C)- (D)2解析:因为 =A+Bi,所以 2-mi=(A+Bi)(1+2i),可得 A-2B=2,2A+B=-m , 解得 5(A+B)=-3m-2=0,所以 m=-.故选 C.7.(2017·成都市一诊)设复数 z 满足-iz=(3+2i)(1-i)(其中 i 为虚数单位),则 z= .解析:复数 z 满足-iz=(3+2i)(1-i)(其中 i 为虚数单位),所以-iz=5-i,所以-i·iz=(5-i)i,化为 z=5i+1.答案:1+5i8.已知复数 z=x+yi,且|z-2|= ,则的最大值为 . 解析:因为|z-2|= = ,所以(x-2) 2+y2=3. 由图可知() max= = .答案:能力提升(时间:15 分钟)9.(2017·龙岩市一模)已知纯虚数 z 满足(1-2i)z=1+ai,则实数 a 等于( A )(A) (B)-(C)-2 (D)2解析:因为(1-2i)z=1+ai,所以(1+2i)(1-2i)z=(1+2i)(1+ai),所以 5z=1-2a+(2+a)i,即 z= + i.因为 z 为纯虚数,所以 =0, ≠0,解得 a=.故选 A.10.若 z=sin θ-+(cos θ-)i 是纯虚数,则 tan (θ-)等于( B )(A)- (B)-7 (C)- (D)-13解析:依题意所以 sin θ=,cos θ=-,所以 tan θ= =-,所以 tan(θ-)= = =-7.故选 B.11.(2017·开封市 5 月模拟)已知复数 z 满足 z(1+i)3=1-i,则复数 z 对应的点在( C )(A)直线 y=-x 上 (B)直线 y=x 上(C)直线 x=-上 (D)直线 y=-上解析:由 z(1+i)3=1-i,得 z= = = = =-=-,所以复数 z 对应的点在直线 x=-上.故选 C.12.(2017·惠州市三调)若复数 z 满足 z·i=1+i(i 是虚数单位),则 z 的共轭复数是 .解析:由 z·i=1+i,得 z= = =1-i,所以=1+i.答案:1+i13.已知 m∈R,复数 -的实部和虚部相等,则 m= . 解析: - = -= -= ,由已知得 m=1-m,则 m=.答案:14.(2017·厦门市一模)复数 z 满足 z(1+i)=2-i(i 为虚数单位),则 z 的模为 . 解析:因为 z(1+i)=2-i(i 为虚数单位),所以 z(1+i)(1-i)=(2-i)(1-i),所以 2z=1-3i,则 z=-i,所以|z|= = .4答案:1第 2 节 算法初步【选题明细表】知识点、方法 题号顺序结构、条件结构 2,5,12循环结构 1,3,4,6,7,8,10,13基本算法语句 11程序框图的补充及综合 9,14基础巩固(时间:30 分钟)1.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 S 的值为( B )(A)15 (B)105(C)245 (D)945解析:逐次计算的结果是 T=3,S=3,i=2;T=5,S=15,i=3;T=7,S=105,i=4,此时输出的结果为S=105.故选 B.2.执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s∈( A )(A)[-3,4] (B)[-5,2] (C)[-4,3] (D)[-2,5]解析:当-1≤tb,b=4;满足条件 a≠b,满足条件 ab,a=10;满足条件 a≠b,满足条件 ab,a=6;满足条件 a≠b,满足条件 ab,a=2;满足条件 a≠b,不满足条件 ab,b=2;不满足条件 a≠b,输出 a 的值为 2.故选 B.6.如图是一个程序框图,则输出的 n 的值是( A )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:由程序框图知,第一次循环 p=20,q=1,n=2,第二次循环 p=10,q=4,n=3,第三次循环 p=,q=9,n=4,符合 4p6? (B)i≤6?(C)i5? (D)i5.故选 C.10.执行如图所示的程序框图,如果输入 a=2,b=2,那么输出的 a 值为( C )5(A)4 (B)16(C)256 (D)log316解析:log 324 不成立, 执行第一次循环,a=2 2=4;log344 不成立,执行第二次循环,a=4 2=16;log3164=log334=log381 不成立,执行第三次循环,a=16 2=256;log32564=log381 成立,跳出循环体,输出 a 的值为 256.故选 C.11.(2017·龙岩质检)如图所示的程序,若最终输出的结果为 ,则在程序中横线处应填入的语句为( B )S=0n=2i=1DOS=S+1/nn=2 *ni=i+1LOOP UNTIL ? PRINT SEND(A)i=8 (B)i=7 (C)i=7.故选 B.12.关于函数 f(x)= 的程序框图如图所示 ,现输入区间[a,b],则输出的区间是 . 6解析:由程序框图的第一个判断条件为 f(x)0,当 f(x)=cos x,x∈[-1,1]时满足.然后进入第二个判断框,需要解不等式 f′(x)=-sin x≤0,即0≤x≤1.故输出区间为 [0,1].答案:[0,1]13.(2017·揭阳市一模)如图所示的流程图,输入正实数 x 后,若输出 i=4,那么输入的 x 的取值范围是 . 解析:设输出的 x=a,当 i=0 时,应满足进行循环的条件,i=1,j=10+a;当 i=1 时,应满足进行循环的条件,i=2,j=10+2a;当 i=2 时,应满足进行循环的条件,i=3,j=10+3a;当 i=3 时,应满足进行循环的条件,i=4,j=10+4a;当 i=4 时,应不满足进行循环的条件,故 10+3a19,且 10+4a≥19,解得≤x3.答案:[,3]14.导学号 38486219(2017·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各 10 名同学,测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图(1),在样本的 20 人中,记身高在[150,160),[160,170),[170,180),[180,190]的人数依次为 A1,A2,A3,A4.如图(2)是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图.若图中输出的 S=18,则判断框应填 . 解析:由于 i 从 2 开始,也就是统计大于或等于 160 的所有人数,于是就要计算 A2+A3+A4,因此,判断框应填 i5?或 i≤4?.答案:i5?(或 i≤4?)1第 3节 合情推理与演绎推理【选题明细表】知识点、方法 题号归纳推理 3,5,8,10类比推理 2,4,7,9,12,13,14演绎推理 1,6,11基础巩固(时间:30 分钟)1.命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( C )(A)使用了归纳推理(B)使用了类比推理(C)使用了“三段论”,但大前提错误(D)使用了“三段论”,但小前提错误解析:由题目可知满足“三段论”形式,但是大前提表述不正确而使结论错误.故选 C.2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;④“t≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;⑥“ =”类比得到“ =”.以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①②正确,③④⑤⑥错误.故选 B.3.(2017·重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,第 1年到第 5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第 10年树的分枝数为( D )(A)21 (B)34 (C)52 (D)55解析:因为 2=1+1,3=2+1,5=3+2,即从第三项起每一项都等于前两项的和,所以第 10年树的分枝数为 21+34=55.故选 D.4.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则 =,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 P-ABC的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,则2等于( D )(A) (B) (C) (D)解析:正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = .故选 D.5.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( A )(A)设数列{a n}的前 n项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=12,S2=22,S3=32,…,推断:S n=n2(B)由 f(x)=xcos x满足 f(-x)=-f(x)对∀x∈R 都成立,推断 :f(x)=xcos x为奇函数(C)由圆 x2+y2=r2的面积 S=πr 2,推断:椭圆 + =1(ab0)的面积 S=πab(D)由(1+1) 221,(2+1)222,(3+1)223,…,推断:对一切 n∈N *,(n+1)22n解析:选项 A由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{a n}是等差数列,其前 n项和等于 Sn= =n2,选项 D中的推理属于归纳推理,但结论不正确.故选 A.6.导学号 38486223 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为 a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为 h0a0a1a2h1,其中 h0=a0⊕a 1,h1=h0⊕a 2,⊕运算规则为 0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息为 111,则传输信息为 01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( C )(A)11010 (B)01100(C)10111 (D)00011解析:对于选项 C,传输信息是 10111,对应的原信息是 011,由题目中运算规则知 h0=0⊕1=1,而 h1=h0⊕a 2=1⊕1=0,故传输信息应是 10110.故选 C.7.在圆中有结论:如图所示,“AB 是圆 O的直径,直线 AC,BD是圆 O过 A,B的切线,P 是圆 O上任意一点,CD 是过 P的切线,则有 PO2=PC·PD”.类比到椭圆:“AB 是椭圆的长轴,直线AC,BD是椭圆过 A,B的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过 P的切线,则有 .” 解析:椭圆中的焦半径类比圆中的半径.答案:PF 1·PF2=PC·PD8.(2017·潍坊市一模)观察式子 1+ ,1+ + ,1+ + + ,…,则可归纳出31+ + +…+ . 解析:根据题意,每个不等式的右边的分母是 n+1.不等号右边的分子是 2n+1,所以 1+ + +…+ (n≥1).答案: (n≥1)能力提升(时间:15 分钟)9.若数列{a n}是等差数列,则数列{b n}{bn= }也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n}是等比数列,且{d n}也是等比数列,则 dn的表达式应为( D )(A)dn= (B)dn=(C)dn= (D)dn=解析:若{a n}是等差数列,则a1+a2+…+an=na1+ d,所以 bn=a1+ d=n+a1-,即{b n}为等差数列;若{c n}是等比数列,则 c1·c2·…·cn= ·q1+2+…+(n-1)= · ,所以 dn= =c1· ,即{d n}为等比数列.故选 D.10.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第 60个“整数对”是( B )(A)(7,5) (B)(5,7)(C)(2,10) (D)(10,1)解析:依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第 n组中每个“整数对”的和均为 n+1,且第 n组共有 n个“整数对”,这样的前 n组一共有 个“整数对”,注意到60 ,因此第 60个“整数对”处于第 11组(每个“整数对”的和为 12的组)的第 5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为 12的组中的各对数依次为(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第 60个“整数对”是(5,7).故选 B.11.(2017·湖北八校二联)有 6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:4 号或 5号选手得第一名;观众乙猜测:3 号选手不可能得第一名;观众丙猜测:1,2,6 号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6 号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只4有 1人猜对比赛结果,此人是( D )(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁解析:根据题意,6 名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表:1号 2号 3号 4号 5号 6号甲 不可能 不可能 不可能 可能 可能 不可能乙 可能 可能 不可能 可能 可能 可能丙 可能 可能 不可能 不可能 不可能 可能丁 可能 可能 可能 不可能 不可能 不可能由表知,只有丁猜对了比赛结果.故选 D.12.(2017·日照市一模)在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第 k项:k(k+1)= [k(k+1)(k+2)-(k-1) k(k+1)]由此得1×2= (1×2×3-0×1×2),2×3= (2×3×4-1×2×3),…n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],相加,得 1×2+2×3+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果为 .解析:因为 n(n+1)(n+2)= [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],所以 1×2×3= (1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4= (2×3×4×5-1×2×3×4),…n (n+1)(n+2)= [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)·n(n+1)( n+2)],所以 1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)= [(1×2×3×4-0×1×2×3)+(2×3×4×5-1×2×3×4)+…+n·(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]= n(n+1)(n+2)(n+3).答案: n(n+1)(n+2)(n+3)13.已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,其面积为 S,则△ABC 的内切圆的半径 r= .这是一道平面几何题,其证明方法是“等面积法”.请用类比推理的方法猜测对空间四面体ABCD存在的类似结论为 . 解析:已知四面体 ABCD的四个表面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,其体积为 V,则四面体 ABCD的内切球的半径 r= .由题意可得,题目要求写出类似的结论,则在保证该结论正确的前提下,尽量在语言表达上与前面的结论一致.本题体现了平面几何与立体几何在如下词语上的对应:“△ABC”与“四面体 ABCD”,“边长”与“表面面积”,“面积”与“体积”,“内切圆”与“内切球”,这是结构上的类比.再者,本题也体现了方法上的类比,即等面积法推理到等体积法,同样是将整体分割成几个小的部分,然后利用体积不变得出结论,即 V=S1r+S2r+S3r+S4r,从而 r= .5答案:已知空间四面体 ABCD的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,其体积为 V,则四面体的内切球的半径 r=14.导学号 38486224 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年)一书中,用如图 1所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到 1623年以后,法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655 年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle),17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图 2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式: + = ,其中n是行数,r∈N.请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 .解析:类比观察得,将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数 ,而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,所以类比式子 + = ,有 = + .答案: = +1第 4 节 直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法 题号综合法与分析法 1,3,4,5,7,8,9,13反证法 2数学归纳法 6,10,15推理与证明的综合应用 11,12,14基础巩固(时间:30 分钟)1.命题“如果数列{a n}的前 n 项和 Sn=2n2-3n,那么数列{a n}一定是等差数列”是否成立( B )(A)不成立 (B)成立(C)不能断定 (D)与 n 取值有关解析:因为 Sn=2n2-3n,所以 n=1 时 a1=S1=-1,当 n≥2 时,a n=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,n=1 时适合 an,且 an-an-1=4,故{a n}为等差数列,即命题成立.故选 B.2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个是偶数”正确的反设为( B )(A)a,b,c 中至少有两个偶数(B)a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数(C)a,b,c 都是奇数(D)a,b,c 都是偶数解析:a,b,c 恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数.其否定有 a,b,c 均为奇数或 a,b,c至少有两个偶数.故选 B.3.设 a= - ,b= - ,c= - ,则 a,b,c 的大小顺序是 ( A )(A)abc (B)bca(C)cab (D)acb解析:因为 a= - = ,b= - = ,c= - = ,又因为 + + + 0,所以 abc.故选 A.4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 abc,且 a+b+c=0,求证 0 (B)a-c0(C)(a-b)(a-c)0 (D)(a-b)(a-c)0⇔(a-c)(2a+c)0⇔(a-c)(a-b)0.故选 C.5.设 00,b0,a,b 为常数, + 的最小值是( C )(A)4ab (B)2(a2+b2)(C)(a+b)2 (D)(a-b)2解析:( + )(x+1-x)=a2+ + +b2≥a 2+b2+2ab=(a+b)2.当且仅当 x= 时,等号成立.故选 C.6.用数学归纳法证明“n 3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N *)能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n=k+1 时的情况,只需展开( A )(A)(k+3)3 (B)(k+2)3(C)(k+1)3 (D)(k+1)3+(k+2)3解析:假设当 n=k 时,原式能被 9 整除,即 k3+(k+1)3+(k+2)3能被 9 整除.当 n=k+1 时,(k+1) 3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3) 3展开,让其出现k3即可.故选 A.7.(2016·兰州调研)已知 a,b 是不相等的正数,x= ,y= ,则 x,y 的大小关系是 .解析:因为 (a≠b)⇒a+b2 ⇒2(a+b)a+b+2 ⇒a+b ⇒ ,即 x0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,则( A )(A)PQ (B)P0,所以 P2;3又(sin x+cos x) 2=1+sin 2x,而 sin 2x≤1,所以 Q≤2.于是 PQ.故选 A.10.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为( C )(A)n+1 (B)2n(C) (D)n2+n+1解析:1 条直线将平面分成 1+1 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区域;3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域;…;n 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3+…+n)=1+ = 个区域 .故选 C.11.(2017·邯郸模拟)设 a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b1;②a+b=2;③a+b2;④a 2+b22;⑤ab1.其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是 .(填序号) 解析:若 a=,b=,则 a+b1,但 a2,故④推不出;若 a=-2,b=-3,则 ab1,故⑤推不出;对于③,反证法:假设 a≤1 且 b≤1,则 a+b≤2 与 a+b2 矛盾,因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个大于 1.答案:③12.若二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点 c,使 f(c)0,则实数 p 的取值范围是 . 解析:法一 (补集法)令解得 p≤-3 或 p≥,故满足条件的 p 的范围为(-3,).法二 (直接法)依题意有 f(-1)0 或 f(1)0,即 2p2-p-1bcd0 且 a+d=b+c,求证: + 0),则 F′(x)= -1= 0).函数 F(x)为(0,+∞)上的减函数,所以 F(x)0),从而 ln(1+ ) ,1- 1-ln(1+ ),an=1- 1-ln(n+2)+ln(n+1), 所以 Sn(1-ln 3+ln 2)+(1-ln 4+ln 3)+…+[1-ln(n+2)+ln(n+1)],所以 Snn-ln( ).