四川省成都市金堂县又新镇永乐场八年级数学下册 1 三角形的证明学案（无答案）（打包11套）（新版）北师大版.zip

1第一章 三角形的证明第一节 等腰三角形（一）【学习目标】1、理解证明基础的几条公理的内容，用这些公理证明等腰三角形的性质定理；2、熟悉证明的基本步骤和书写格式；【学习方法】自主探究与合作交流相 结合。【学习重难点】重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。学习准备复习三角形全等的判定方法及全等三角形的性质。1、两边及其________对应相等的两个三角形全等（SAS） ；2、两角及其________对应相等的两个三角形全等（ASA） ；3、________对应相等的两个三角形全等（SSS） ；4、 ________及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS） ；5、全等三角形的对应边________,对应角________。周长 ，面积 。自主学习阅读教材 ：第 1 节《等腰三角形 》 ，p2—3,思考下列问题：1、 什么叫做等腰三角形？等腰三角形的腰、底、顶角、底角？2、 什么叫做等边三角形？3、 等腰三角形有哪些性质？交流展示1、有__________的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做____，两腰的夹角叫做_____，腰与底边的夹角叫做________，____________________________的三角形叫做等边三角形。22、已知：△ABC 是等腰三角形，AB=AC求证：∠B=∠C (提示：利用三角形全等证明。你能想到哪些方法？)归纳点拨：1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角” ）推理格式：∵AB=AC，∴_________（等边对等角） 2、推论（三 线合一）： ；推理格式：① ∵AB=AC,AD⊥BC, ②∵AB=AC, BD=DC, ③∵AB=AC,___平分____,∴BD=DC,AD 平分_____, ∴___⊥___,___平分_____, ∴______________,训练反馈: 1、等腰三角形的顶角为 50°，则它的底角为 _______ 。2、等腰三角形的一个角为 40°，则另两个角为 _ 。3、等腰三角形的一个角为 100°，则另两个角为 _ 。4、等腰三角形的两边分别是 7 cm 和 3 cm，则周长为 ____ 。5、如图在△ABC 中，AB = AC，AD⊥AC，∠BAC = 100°。 求：∠1、∠B 的度数。CＱＱ3ＱＱＱＱ CＱ36、如图，已知∠D =∠C，∠A = ∠B，且 AE = BF。求证：AD = BC。7、如图，在△ABC 中，D 为 AC 上一点，并且 AB = AD，DB = DC，若∠C = 29°求∠A。小结反思1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角” ） ；2、推论（三线合一）： ；课后作业课本 p4-5 习题 1.1：1—6 题A BCDE FＱＱＱA1第一节 等腰三角形（三）【学习目标】1、 能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。2、 运用等腰三角形的判定定理解决一些实际问题。3、 了解反证法及其证明过程。【学习方法】自主探究与合作交流相结合。【学习重难点】重点：等腰三角形的判定定理。难点：灵活运用等腰三角形的判定定理和性质解决实际问题。【学习过程】模块一 预习反馈一、学习准备1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角” ） ；2、推论（三线合一）： ；3、证明三角形全等的方法：SAS、_______、_______、_____.二、自主学习 4、阅读教材：第 1 节《等腰三角形》p8-9,思考下列问题：（1） 、如何判定一个三角形是等腰三角形？（2） 、什么是反证法？反证法证明问题的一般步骤是什么？三、交流展示1、已知：如图，在△ABC 中， ∠B=∠C,求证：AB=AC （提 示：构造两个全等三角形证明）四、归纳点拨：1、有两个角相等的三角形是______三角形。 （简称“等角对等边” ）推理格式：∵∠B=∠C,∴___________(等角对等边)2、反证法证明问题的一般步骤：Cａａ2从结论的 _ 出发，先假设命题的结论 __ ，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相 __ 的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为 ____ 。例：用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°。五、训练反馈1、.如左下图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AC，则∠C=（ ）°;CE∶EA=__________.2、如右上图，已知 AD 是△ABC 的外角平分线，且 AD∥BC，则∠1__________∠B，∠2__________∠C，△ABC 是__________三角形.3、如左下图，在△ABC 中，AB=AC，∠ C=2∠A，BD 是∠ABC 的平分线，则图中共有等腰三角 形A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4、如右上图，已知△ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于 D，又 DE∥BC，交 AC 于 E，若 DE=4 cm，AE=5 cm，则AC 等于A.5 cm B.4 cm C.9 cm D.1 cm5、已知，如下图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F，AE=6，求四边形 AFDE 的周长.3ABNC6、如图，一艘船从 A 处出发，以 18 节的速度向正北航行，经过 10 时到达 B处。分别从 A、B 望灯塔 C，测得∠NAC=42°，∠NBC= 84°。求 B 处到灯塔 C 的距离。7、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。六、 小结反思1、等腰三角形的判定定理： （简称“等角对等边” ） ；2、反证法： __________七、课后作业课本 p9—10 习题 1.3 1---4 题1EAB CD第一节 等腰三角形（二）【学习目标】1． 经历“探索—发现—猜想—证明”过程，用三角形全等证明等腰三角形的一些线段相等。2． 借助等腰三 角形的三线合一推论解决实际问题。【学习方法】自主探究与合作交流相结合。 【学习重难点】重点 ：证明等腰三角形的 一些线段相等。难点：能够用综合法证明等腰三角形的有关性质和定理。【学习过程】自主学习1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角” ） ；2、推论（三线合一）： ；3、阅读教材：第 1 节《等腰三角形》p5---6,思考下列问题：（1）等腰三角形的两底角的角平分线有什么关系？两腰上的中线、高线呢？（2）等边三角形的三个内角都_______，并且每个内角都等于___交流展示1、证明：等腰三角形的两底角的角平分线相等已知：如图，△ABC 中，AB=AC，BD、CE 是△ABC 的角平分线，求证：BD=CE证明：∵AB=AC（ ）∴________________（等边对等角）又∵BD、CE 是△ABC 的角平分线,∴∠DBC= ∠ABC,∠ECB=________,∴∠DBC=∠ECB∴在△BCE 与△CBD 中，212㍅㍅㍅ C㍅2、推理论证：等腰三角形两腰上的中线(高)相等；（ 画图、写出已知、求证、证明过程）已知：如图，求证 ：证明：3、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=BC,求证：∠A=∠B=∠C归纳点拨 ：1、等腰三角形两腰上的中线（高线） 、两底角的平分线 _____ 。2、等边三角形的三个内角都_______，并且每个内角都等于____°。训练反馈1、如图， 中，BD⊥AC 于 D，CE ⊥AB 于 E，BD = CE。求证： 是等腰三角形。ABC ABCC㍅㍅3㍅㍅㍅ ㍅㍅2、 如图，E 是△ABC 内的一点，AB = AC，连接 AE、BE、CE，且 BE = CE，延长 AE，交 BC 边于点D。求证：AD⊥BC。3、已知：如图，点 D,E在三角形 ABC 的边 BC 上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE小结反思1、等腰三角形两腰上的中线（高线） 、两底角的平分线 _____ 。2、等边三角形的三个 内角都 _______，并且每个内角都等于____°。课后作业课本 p7：习题 1.2 1—4 题1AB C1 23 4D第一节 等腰三 角形（四）【学习目标】1、能够用综合法证明等边三 角形的判定定理，进一步学习证明的基本步骤和书写格式。2、运用等边三角形的性质和判定定理证明直角三角形的有关性质。【学习方法】自主探究与合作交流相结合。【学习重难点】重点：等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质。难点：运用等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质解决实际问题。【学习过程】一、自主学习阅读教材：第 1 节《等腰三角 形》p10—12 思考下列问题：1、 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？2、 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?3、 有一个锐角等于 30的直角三 角形的边有什么关系？二、交流展示1、已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C。 求证：△ABC 是等边三角形。证明：∵∠A=∠B，∠B=∠C∴AC=____,AB=______,∴2、一个等腰三角形满足什么条件便称为等边三角形？3、已知：如图△ABC 是直角三角形，∠BAC=30°，求证：BC= AB12证明：延长 BC 到 D，使 CD=BC,再连接 AD ∴在△ABC 和△ADC 中，∵△ABC 是直角三角形，∴∠1=_____°又∠1+∠2=180°，所以∠2=_____ 2三、归纳点拨：1、等边三角形的判定三条边都_______的三角形是等边三角 形 。三个_____都相等的 三角形是等边三角形 。有一个角等于_____的等腰 三角形是等边三角形。2、等边三角形是特殊的________三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此之外，它还具有每个内角都是_____的特殊性质。3、在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的________。四、训练反馈1、填空：（1）如图 1，BC = AC，若 ，则△ABC 是等 边三角形。（2）如图 2，AB = AC，AD⊥BC，BD = 4，若 AB = ，则△ABC 是等边三角形。（3）如图 3，在 Rt 中，∠B = 30°，AC = 6cm， 则 AB = ；若 AB = 7，则 AC = 。ABC图 1 图 2 图 32、已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，交 AB、AC 于 D、E。求证：△ADE 是等边三角形。证明：∵DE∥BC∴3、如图，在 Rt 中，∠B = 30°，BD = AD，BD = 12，求 DC 的长。ABCEAB 〳DCBAD〳〳 C〳〳 AB CDAB C34、已知： 中， ， ， ，AB = 40，求 DB的长。ABC90ABCD305、如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD。五、 小结反思一、本课知识：1、三条边都_______的三角形是等边三角形 。2、三个_____都相等的三角形是等边三角形 。3、有一个角等于_____°的等腰三角形是等边三角形。4、在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的________。六、课后作业课本 P12—13 习题 1.4 1---4 题Ɂ BCD1直角三角形（1）学习目标：1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法.2、结合具体例子了解互逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立逆命题不一定成立.3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。学习重点：勾股定理及其逆定理。学习难点：用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形及综合运用直角三角形的性质解题。学习过程：1、自主学习：（一） 、学习准备1、直角三角形：有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。2、边的关系：直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。角的关系：直角三角形的两个锐角_________。3、有两个角___________的三 角形是直角三角形。4、在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所 对的直角边等于斜边的________。5、阅读教材：第 14-15 页 第 2 节《直角三角形》2、合作探究：1、勾股定理的证明用两种不同的方法表示右图正方形的面积。1、观察图形，思考，并在小组内展开讨论、交流.解：①S = 1②S 2=因为 S1= S ，所以2归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的 __________等于斜边的平方。几何语言：∵ 直角△ABC 中，∠BAC=90°∴ AB 2+AC2=BC22、探索勾股定理的逆定理然后接着出示问题：（1）. 勾股定理的条件与结论分别是什么？（2）. 把这个定理的条件与结论互换，你将得到一个什么命 题？你能证明所得命题的正确性吗？命 题 ： 如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 的 平 方 和 等 于 第 三 边 的 平 方 ， 那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 。2、已知：如图，在△ABC 中，AB 2+AC2=BC2，求证： △ABC 是直角三角形。证明：作出 Rt△A’B’C’ ，使∠A=90°，A’B’=A B，A’C’=AC，则B’C’2=_____________（勾股定理）∵AB 2+AC2=BC2 ，A’B’=AB ，A’C’=AC，∴BC 2= B’C’2∴BC=_______∴在△ABC 和△A’B’C’中，A’B’=AB A’C’=ACB’C’=BC ∴△ABC≌△A’B’C’ (______)∴∠A=∠A’=90°(全等三角形的对应角相等)因此，△ABC 是直角三角形。3归纳点拨：1、勾股定理的逆定理：如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 的 平 方 和 等 于 第 三 边 的 平 方 ， 那 么 这 个 三 角 形 是_____三角形。几何语言：在△ABC 中 ∵AB 2+AC2=BC2， ，∴∠___=90°（△ABC 是直角三角形）3、互逆命题与互逆定理：互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为__________，其中一个命题称为另一个命题的__________。互逆定理：一个命题是真命题 ，它的逆命题却______是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为________，其中一个定理称为另一个定理的________。注意：一个命题都有逆命题， 但一个定理不一定都有逆定理。学生思考并讨论：课本第 16 页的“想一想”问题.三、交流展示：在△ABC 中，已知 AB=10cm，BC=12cm,BC 边上的中线 AD=8cm.求证：AB=AC.四、训练反馈：1. 已知直角三角形的两边长为 3，4，则第三边长为______ __.2.△ABC 的三边为 a=0.6cm, b=0.8cm, c=1cm, 则∠C=________.3.Rt△ABC 中，斜边 AB=5，则 AB2+BC2+CA2=_________.四、拓展延伸：1、 等边三角形的边长为 8，则它的面积为___________42、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得 AB=3 m， BC=4m， AC=5m， CD=12m， AD=13m，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？五、归纳总结：这节课你学会了哪些内容？有何收获？1、勾股定理：直角三角形两条直角边的__________等于斜边的平方。2、 勾股定理的逆定理： 如果三角形两边的平方___等于第三边的______，那么这个三角形是____三角形。3、互逆命题与互逆定理课时达标检测：一．选择题：1．下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是 ( )A．5，12，13 B.7，24，25 C.8，15，17 D.4，6，92．要从电杆离地面 5m 处向地面拉一条长为 13m 的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（ ）.A.10m B.11m C.12m D.13m3．现有两根木棒 ,长度分别为 44㎝和 55㎝.若要钉成一个三角形木架 ，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（ ）.A.22㎝ B.33㎝ C.44㎝ D.55㎝5二．填空题：4．△ABC 中，AB＝41，BC＝40，AC＝9, 则△ABC 是 三角形。5．一个三角形三边的长分别是 m2 – 1 , 2m , m2 + 1, 则这个三角形是_________三角形．三．解答题：B 级6．将一根长 24cm 的筷子，置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为 hcm，则 h 的取值范围是 。7．若△ABC 中，AB＝13，AC＝15，高 AD＝12，求 BC 的长。1直角三角形（2）学习目标：1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性。2、掌握直角三角形全等（“HL” ）判定定理.学习重点：掌握判定直角三角形全等的特殊方法——HL 定理.学习难点：能熟练选择判定方法判定两个直角三角形全等.学习过程：一、自主学习：预习反馈：1、一般三角形全等判定方法有： 。2、直角三角形的判定：①有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。②有两个角互余的三角形是_____三角形。③如果三角形两边的平方___等于第三边的______，那么这个三角形是____三角形。3、阅读教材：第 2 节《直角三角形》18-19 页二、合作探究：提问：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？4、动手做一做：(1)、已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形。已知：线段 a=6cm c=10cm 直角∠C=90°求作：Rt△ABC，使∠C=90°BC=6cm, BA=10cm大家作出的 直角三角形全等吗？能得出什么结论？结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。5、已知：如图，△ABC 和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°，且 AB=A’B’，BC=B’C’ ，求证：△ABC≌△A’B’C’2证明：Rt△ABC 和 Rt△A’B’C’中，AC2=___________ , A’C’2=____________,（勾股定理）∵AB=A’B’ ，BC=B’C’ ， ’∴AC=A’C’∴△ABC ≌A’B’C’( )三、归纳点拨：斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。 （“斜边、直角边”或“__” ）推理格式：在 Rt△ABC 和 Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°∵ AB=A’B’BC=B’C’∴△ABC ____A’B’C’(HL)四、训练反馈：1、如图，∠B =∠E = 90°，AC = DF，BF = EC。求证：BA = ED。2、在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，且 DE⊥ AB，CD = ED，求证：AD 是∠BAC 的角平分线。扁扁扁扁扁CBA DEF33、如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E 是 AB 上的一点，求证：CE = DE。五、拓展延伸：1、用三角尺可以作角平线，如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点 M、N，使 OM=ON，再过点 M 作OA 的垂线，过点 N 作 OB 的垂线，两垂线交于点 P，那么射线 OP 就是 ∠AOB 的平分线。证明：2、如图，Rt△ ABC 和 Rt△ DEF，∠ C=∠ F=90°。（1）若∠ A=∠ D， BC=EF，则 Rt△ ABC≌Rt△ DEF 的依据是__________.（2）若∠ A=∠ D， AC=DF，则 Rt△ ABC≌Rt△ DEF 的依据是__________.（3）若 AC=DF， CB=FE，则 Rt△ ABC≌Rt△ DEF 的依据是__________.CBADE4扁扁扁 扁扁B 扁扁3、如图，AD 是∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD = CD。求证：EB = FC。五、课堂小结：这节课你学会了哪些内容？有何收获？斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。 （“斜边、直角边”或“__” ）课时达标检测：一．选择题：1．等腰三角形底边上高是 8，周长为 32，则这个等腰三角形的面积为（ ）.A.56 B.48 C.40 D.302．如图，四边形 ABCD 中，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90 0，则四边形 ABCD 的面积是（ ）cm 2。A 84 B 36 C 25.5 D 无法确定二．填空题：3．已知一个三角形的三条边分别为 12cm、16cm，20cm 那么这个三角形最长边上的高为 。4． 三角形的两边长分别为 3 和 5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长度的平方是 。A BCD第 2题55．某菜农修建一个塑料大棚（如图），若棚宽 m，高 m，长 m，则覆盖在顶上的塑料薄膜的面积是 ．三．解答题：B 级6．小东拿着一根长竹竿进一个宽为 3 米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高 1 米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？智慧探究 c 组7．等边三角形 ABC 内一点 P， AP=3， BP=4， CP=5，求∠ APB 的度数.1课题：§1.3 线 段 的 垂 直 平 分 线 (1)学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．(重难点）2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识.3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.学习重点：线段垂直平分线的性质定理及其判定定理 2、应用线段垂直平分线的性质定理及其判定定理题解决简单的实际问题。一、自主预习，认真准备1．CD 是线段 AB 的垂直平分线，E 为垂足，点 P 是直线 CD 上的任意一点，则 = = , ⊥ ，∠ =∠ 。2．线段垂直平分线上的点到 ; 到一条线段的两个端点 相等的点，在这条线段的 上。 3．已知，如图，EF 是线段 AB 的垂直平分线，M 是 EF 上的一点，若 MA=6,则 MB= ,若∠AMF=20 0，则∠BMF= 。4．在△ABC 中，∠A=40 0, ∠C=66 0，DE 是线段 AB 的垂直平分线，垂足是 D,DE 交 AC 于 E，则∠EBC的度数是 。二、自主探究，合作交流活 动 一 :你 能 证 明 “线 段 垂 直 平 分 线 上 的 点 到 这 条 线 段 的 两 个 端 点 的 距 离 相 等 ”这 个 结 论 吗 ？已知：如右图，直线 MN⊥AB,垂足是 C，且 AC=BC,P 是 MN 上的任意一点。求证：PA=PB归纳： 。´ ´NAPBCM2这个命题的条件是： ，结论是： 它的逆命题是 。活 动 二 :上面的逆命题是真命题吗？你能证明它吗？已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC。 ．归纳： 。三、当堂训练，检测固学1．如图所示，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 于点 E，若 AE=2 ，则 B、E 两点间的距离是（ 3）A 4 B 2 C D 3321（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题）2．MN 是线段 AB 的垂直平分线，垂足是 D, 点 P 是 MN 上的一点，若 AB=10cm,则 BD= cm，若 PA=10cm,则 PB= cm,PD= cm.3．如图，Rt△ABC 中，∠B=90 0 ，AB=3cm,AC=5cm,将△ABC 折叠，使点 C 与 A 重 合，得折痕 DE,则△ABE 的周长是_______cm. 4．如图,A,B 表示两个仓库,要在 A,B 一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建造在什么位置？ ´ 35．如图所示 ：已知在 Rt△ABC 中，∠C=90 0，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，垂足为 E，若∠A=30 0，DE=2，求∠DBC 的度数和 CD 的长。 4、学教后记 ： 1课题：1.3《线段的垂直平分线》 （第 2 课时）学习目标：1、能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。2、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知底边及底边上的高作出等腰三角形。3、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力。学习重点：能够证明三角形三边垂直平分线交于一点；能够利用尺规作已知底边及底边上的高作出等腰三角形 。学习难点：证明三线共点是难点。学法指导： 1、先利用 10 分钟阅读并思考 P24—P26 教材内容，先通过折纸的办法发现三角形三边垂直平分线交于一点这一结论，然后能理解这一结论的证明；思考课本 24 页议一议 。2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑。3、A、B 层同学掌握导案所有内容，并完成探究案；C 层同学能基本掌握学习目标，合作完成探究案。一、自主探究：1、剪一个三角 形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线?你发现了什么？2、用尺规作出下列三角形 三边的垂直平分线，你发现什么结论？3、在锐角三角形 ABC 中，∠BAC=50°， AC、 BC 的垂直平分线交于点 O，则∠1__∠2，∠3____∠4，∠5____∠6，∠2+∠3=______°，∠1+∠4=______°，∠5+∠6=______°，∠ BOC=___ _°二、合作探究探究点一：三角形三条边的垂直平分线交于一点 ，并且这一点到三个顶点的距离相等.1、证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点 ，并且这一点到三个顶点的距离相等.已知：2求证：证明 ：探究点二：已知三角形的 一边及这边上的高做三角形1、 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?2、已知一个等腰三角形的底边及 底边上的高，求作这个等腰三角形．已知： 线段 a、h求作：△ABC，使 AB=AC，BC=a，高 AD=h作法：探究点三：用尺规 作线段的垂直平分线已知：线段 l求作：线段 AB 的垂直平分线 .作法：探究点三：应用1、如图，有 A、B、C 三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置（要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）2、如图，在△ABC 中， AB=AC，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，已知△BCE 的周长 为 8，AC－BC=2，求 AB 与 BC 的长A BC33、已知：如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90 0, ∠BAC=60 0,DE 垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB 于点 E，点F 在 DE 的延长线上，且 AF=CE，试探究图中相等的线段。三、随堂练习1、如图， D 为 BC 边上一点，且 BC=BD+AD，则 AD__________DC，点 D 在__________的垂直平分线上。2、如图，在△ ABC 中， DE、 FG 分别是边 AB、 AC 的垂直平分线，则∠ B______∠1，∠ C_____∠2；若∠ BAC=126°，则∠ EAG=__________度。3、课本 26 页问题解决第 3 题（在书上画图完成）谈谈自己的收获：11.4 角平分线（一）【学习目标】1、 能够证明角平分线的性质定理、判定定理。2、 能够运用角平分线的性质定理 、判定定理解决几何问题。【学习重难点】重点：角平分线的性质定理、判定定理。难点：利用角平分线的性质定理、判定 定理解决几何问题。【学习过程 】一、阅读教材 P28—P29：第 4 节《角平分线》探究一、已知：如图，OC 是∠AOB 的角平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为 D，E，求证：PD=PE证明:∵PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为 D，E，∴∠PDO=______=90°∵OC 是∠AOB 的角平分线，归纳小结：角平分线上的____到这个角的两边的距离_ _______。(证明两条线段相等)几何语言：∵点 P 在∠AOB 的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB，∴PD= __ ABCDO EDABP2探究二、已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，PE⊥OA，PD⊥OB，且 PD = PE，求证：O P 平分∠AOB。归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的___，在这个角的平分线上（证明角相等）几何语言：∵P E⊥OA，PD⊥OB，且 PD = PE，∴ 点 P 平分 。例 1、如图,在△ABC 中,已知 AC=BC,∠C=900,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为 E.(1)如果 CD=4cm,AC 的长;(2)求证:AB=AC+CD.变式：已知:如图,∠C=90 0, ∠B=30 0,AD 是 Rt△ABC 的角平分线.求证:BD=2CD. ABCDO EDABP EDABCABCD3ABCD例 2、 如右图，已知 BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，BE、CF 相交于点 D，若BD=CD。求证：AD 平分∠BAC。变式：如图，在△ABC 中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE 相交于点 P，AE = BD。求证：P 在∠ACB 的角平分线上。当堂检测：1．∠ AOB 的平分线上一点 M ， M 到 OA 的距离为 1.5 cm，则 M 到 OB 的距离为_________.2．如图，∠ AOB=60°， CD⊥ OA 于 D， CE⊥ OB 于 E，且 CD=CE，则∠ DOC=_________.3．如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AD 是角平分线， DE⊥ AB 于 E，且 DE=3 cm，PCBADE4BD=5 cm，则 BC=_____cm.4、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足 分别为 D、E，BE、CD 相交于 O，∠1 =∠2,求证：OB = OC。5、如图， E 是线段 AC 上的一点，AB⊥EB 于 B，AD⊥ED 于 D，且∠1 =∠2，CB = CD。求证：∠3 =∠4。小结反思一、本课知识：1、角平分线上的____到这个角的两边的距离________。(证明两条线段相等)2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的____，在这个角的平分线上.（证明角相等）ＱＱＱ ＱＱAＱ Ｑ2ＱＱＱDAＱＱＱ第 2 题 第 3 题1AB CMNPDEF1.4 角平分线（2）【学习目标】1、 进一步发展学生的推理证明意识和能力。2、 能够利用尺规作已知角的平分线。【学习重难点】重点 ：角平分线的相关结论。难点：角平分线的相关结论的应用。【学习过程】知识回顾：1、角平分线上的点到 。2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在 。阅读教 材：P30—P31 第 4 节《角平分线》4、已知：点 P 是△ABC 的两条角平分线 BM、CN 的交点，求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD=PE=PF。证明：过点 P 作 PE⊥BC 于 E，PF⊥AC 于 F，PD⊥AB 于 D，∵CN 是△ABC 的角分线，点 P 为 CN 上一 点，∴PE=_____( )∵BM 是△ABC 的角分线，点 P 为 BM 上一点，∴PE=_____( )归纳小结：三角形三条角平分线相交于一___，并且这一点到三角形三条____的距离______。几何语言：∵点 P 是△ABC 的三条角平分线的交点，且 PE⊥BC，PF⊥AC，PD⊥AB，∴PD=_____=_______. 当堂训练：（1）如图 4， 点 P 为 △ABC 三条角平分线交 点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.（ 2）如图 5，P 是∠AOB 平分线上任意一点，且 PD=2cm，若使 PE=2cm，则 PE 与 OB 的关系是__________.2图 4 图 5 合作探究1、用尺规作图法作出图 1 中各个角的平分线。2、如图 2，求作一点 P，使 PC = PD，并且点 P 到∠AOB 两边的距离相等。 （用尺规作图）3、已知：如图在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，若 BC=32，BD∶CD=9∶7，求：D 到 AB 边的距离.当堂训练：୏ ୏୏୏୏୏OAق图 1CB୏DOͼ1-36ED CBA3AB CFD E1、一张直角三角形的纸片，如图 1-36 那样折叠，使两个锐角顶点 A、 B 重 合，若 DE = DC, 则∠ A = °. 2、已知:如图,△ABC 的外角∠CBDT 和∠BCE 的角平分线相交于点 F.求证:点 F 在∠DAE 的平分线上. 当堂检测;1\三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到____________ ____相等．2．点 O 是△ ABC 内一点，且点 O 到三边的距离相等，∠ A=60°，则∠ BOC 的度数为__________．3．如图，∠1＝∠2， PD⊥ OA， PE⊥ OB，垂足分别为 D， E，下列结论错误的是（ ）A、 PD＝ PE B、 OD＝ OE C、∠ DPO＝∠ EPO D、 PD＝ OD模块四 小结反思1、三角形三条角平分线相交于一___，并且这一点到三角形三条____的距离______。21DAPOEB1第一章 三角形的证明回顾与思考【学习目标】1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。【学习方法】自主探究与合作交流相结合。【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：本章知识的综合性应用。【学习过程】模块一 复习反馈1、等腰三角形的性质：（边） ；（角） ；“三线合一”的内容 。2、等边三角形的性质：（边） ；（角） 。3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角） 。5、线段垂直平分线的 性质定理： 。逆定理： 。三角形的垂直平分线性质： 。6、角的性质定理： 。逆定理： 。三角形的角平分线性质： 。7、三角形全等的判定方法有： 。8、30°锐角的直角三角形的性质： 。9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性 质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。2（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰 三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。（4）等腰三角形的 证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。模块二 合作探究1、填空：（1）△ ABC 中，∠ A∶∠ B∶∠ C=1∶2∶3，最小边 BC=4 cm，最长边 AB= 。（2）直角三角形两直角边分别是 5 cm、12 cm，其斜边上的高是 。（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形 是 三角形。（4）三角形三边分别为 a、 b、 c，且 a2－ bc=a(b－ c)，则这个三角形（按边分类）一定是________2、已知：如图，D 是△ABC 的 BC 边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是 E、F，且 DE=DF。 求证：△ABC 是等腰三角形。3、如图，在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，已知△BCE 的周长为 8，AC－BC=2. 求 AB 与 BC 的长.4、已知，在△ABC 中，AD 垂直平分 BC，且 CA = CE，点 B、D、C、E 在同一条直线上。E D C A B 3B CAED图 1 求证： AB + DB = DE当堂检测：1、等腰三角形的底角为 15°,腰上的高为 16,那么腰长 为_____ _____2、如图 1，在△ABC 中，已知 AC=27，A B 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 50，则 BC 的长为 。3、如图 2，在△ABC 中，∠ACB=90°,BE 平分∠ABC，ED⊥AB 于 D，如果 AC=3 cm，那么 AE+DE 等于 。图 24、 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是_______________________.它是一个__________命题。等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是___________________________________________________，这个逆命题是_________命题.5、如图，AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AF，E、F 是垂足，且 BC = CD。求证：（1）△BCE≌△DCF； （2）DF = EB。EDAB C4Cࡄ�ࡄEF