九年级数学上册 第二十四章 备课资料（打包12套）（新版）新人教版.zip

1第二十四章 24.1.1 圆知识点 1：圆的定义在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的图形叫做圆.固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径,以 O 为圆心的圆叫做圆 O,记作☉O.关键提醒:(1)圆 是指圆周,而不是指圆面;(2)确定一个圆需要两个要素:一是位置,二是大小,圆心决定圆的位置, 半径决 定圆的大小;(3)圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径);(4)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.知识点 2：圆的有关概念 弦:连接圆上任意两点间的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,弧用符号“⌒”表示,以 A、B 为端点的弧记作 ,读作“弧 AB”.圆的 任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.大于半圆的 弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.归纳整理:(1)弦与直径的关系:直径是过圆心的弦,凡是直径都是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦,弦与直径都是线段;(2)半圆与弧的关系:半圆是弧,弧不一定是半圆,它有劣弧和优弧的区 别;(3)“等弧”不能说成“相等的弧”,因为“相等的弧”不明确,后面我们会学到“度数相等的弧”和“长度相等的弧”;(4)根据“等圆”的意义知:半径相等的两个是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等.2考点 1：圆的概念的认识【例 1】 矩形的四个顶点能否在同一个圆上?如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径.解:如图,连接 AC、BD 交于点 O,在矩形 ABCD 中,因为 AO=CO= AC,BO=DO= BD,AC=BD,所以 AO=BO=CO=DO,所以 A、B、C、D 这四个点在以点 O 为圆心,OA 为半径的同一个圆上.点 拨:判定几个点是否在同一个圆上,要看能否找到 一个定点,使这几个点到定点的距离相等,即等于定长.考点 2：圆的相关概念的理解【例 2】 下列说法中正确的是( ).A. 弦是圆上两点间的部分 B. 弧比弦大C. 劣弧比半圆小 D. 弧是半圆答案:C.点 拨:圆上两点间的部分是弧而不是弦;弧与弦是两个不同的量,一般不比较大小,但可比较长短;弧不是半圆但半圆是弧.1第二十四章 24.1.2 垂直于弦的直径知识点 1：圆的对称性和旋转不变性 1. 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称 轴,因此圆有无数条对称轴.2. 圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.3. 圆的旋转不变性:圆围绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合.知识点 2：垂径定理及其推论垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.推论:如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧,那么这条直线就具有另外三个性质.注:①③作条件时,弦不能是直径.弦 心距:从圆心到弦 的距离叫弦心距,弦心距也可以说成是圆心到弦的垂线段的长度.考点 1：运用垂径定理进行计算【例 1】 如图,在半径为 2的☉O 中,弦 AB的长为 2 ,求圆心 O到弦 AB的距离.解: 如图,过点 O作 OM⊥AB,垂足为 M,连接 OA、OB,则 AM= .在 Rt△AOM 中,OM= ==1,所以圆心 O到弦 AB的距离为 1.2点拨:本题主要考查垂径定理.圆心 O到弦 AB的距离图中没有体现,需作圆心到弦的垂线段,将问题转化到直角三角形中解决.考点 2：垂径定理的实际应用【例 2】 某地有一座圆弧形拱桥,拱桥圆心为点 O,桥下水面宽度为 7.2m,过点 O作 OC⊥AB,垂足为 D,交圆弧于点 C,CD=2.4m.现有一艘宽 3m,船舱顶部为长方形并 高出水面 AB2m的货船要经过拱桥,此货船能否顺利通过这座拱桥?解:船能否 通过,只要看船在桥 下正中间时,船高是否小于图中的 FN.如图, 表示桥拱,EF=3m.设 OD=xm.根据勾股定理,可得 2.4+x= ,解 得 x=1.5.所以圆的半径为 1.5+2.4=3.9(m).在直角 △OHN 中,根据勾股定理,可得 OH= =3.6(m).所以 FN=HD=OH-OD=3.6-1.5=2.1(m).因为 2m2.1m,仅有 0.1m的余量,因此货船可以通过这座拱桥,但要非常小心.点拨:货船能否顺利通过该桥,首先要看宽度和高度是否小于石拱桥的宽度和拱顶高,其次关键在于 看船舱顶部两角是否被拱顶拦住(如图).利 用垂径定理先计算圆的半径,然后假设弦 MN=3,计算NF的长与 2m比较,若 NF大于 2m,则船能顺利通过,反之则不能顺利通过.考点 3：圆的对称性【例 3】 将一圆形纸片对折后再对折,得到如图 24.1-3所示的图形,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是( ).3答案:C.点拨:我们可以动手试一试,即可获得答案,又可通过分析做出选择.由于圆是轴对称图形,结合题中方法两次对折后,得到一个四分之一圆,沿虚线剪开,因此四条虚线相等,故为菱形.1第二十四章 24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 1： 圆心角1.圆心角的顶点是圆心,圆心角的两边通常是圆的两条半径.如图中,∠AOB 就是一个圆心角.2.注意:一个角要成为圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征.3.圆心 角的度数与它所对的 弧的度数相等.知识点 2：弧、弦、圆心角之间的关系 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理的推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各 组量都分别相等.关键提醒:(1)运用本知识点时 ,应注意其成立的条件“同圆或等圆中 ”和“所对应的”两词的含义;(2)由“弦相等”推出“弧相等”时,这里的“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等;(3)运用本知识点可证明同圆或等圆中弧相等、角相等以及线段相等;(4)圆心角的度数等于它所对弧的度数;(5)上述关系中所说的圆心角一般指小于平角的角,因此它所对的弧是劣弧.考点 1：利用圆心角证明问题【例 1】 如图,A、B 是☉O 上的两点,∠AOB=120°,点 D 为劣弧 AB 的中点.求证:四边形 AOBD是菱形.2证明:连接 OD.因为 D 是劣弧 AB 的中点,所以 = ,因为∠AOB=120°,所以∠AOD=∠DOB=60°,又因为 OA=OD=OB,所以△AOD 和△DOB 都是等边三角形,所以 AD=AO=OB=BD,所以四边形 AOBD 是菱形.点拨：要证四边形 AOBD 是菱形,关键是要用好“点 D 为劣弧 AB 的中点”这个条件,由弧等证角等,从而得出∠AOD=∠DOB=60°.考点 2： 利用弧、弦、圆心角之间的关系解决实际问题【例 2】 如图所示,AB、CD 是☉O 的两条直径,CE∥AB,求 证: = .解:连接 OE.∵ OE=OC,∴ ∠C=∠E.∵ CE∥AB,∴ ∠C=∠BOC,∠E=∠AOE.∴ ∠BOC=∠AOE.∴ = .点拨:要证明 = ,由在同圆或等圆中的圆心角相等所对的弧相等可知,只要证 明两条弧所对的圆心角相等即∠BOC=∠AOE,问题便得以解决.1第二十四章 24.1.4 圆周 角知识点 1：圆周角的概念顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角.关键提醒:(1)圆周角必须具备两个特征:一是顶点在圆周上,二是角的两边都和圆相交;(2)圆周角与圆心角一样,在圆中经常出现,它们的相同点是角的两边都和圆相交,不同点是圆心角的顶点在圆心而圆周角的顶点在 圆上.知识点 2：圆周角定理及推论圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.圆周角定理的 推论:(1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径;(2)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等;(3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.关键提醒:(1)圆周角定理中,包含了两方面的意义:一是圆周角与圆心角存在关系的前提条件是同圆或等圆中它们对着同一条弧,二是对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半,不能丢掉“同弧或等弧所对的圆周角和圆心角”这一条件,而简单地说成“圆周角等于圆心角的一半”;(2)“相等的圆周角所对的弧相等”的前提条件是“在同圆或等圆内”,离开这个前提条件,结论不一定成立;(3)圆的直径常 与 90°的圆周角联系在一起,有关直径问题,常作直径所对的圆周角构成直角 ;有关 90°的圆周角所对的弦为直径;(4)在同圆或等圆中,两个圆周角、两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等,他们对应的其余各组量也相等.知识点 3：圆的内接四边形概念和圆内接四边形的性质 圆的内接多边 形定义:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.圆的内接四边形性质:圆的内接四边形的对角互补.关键提醒:根据圆的内接多边形性质不难得出:圆的内接四边形任何一个外角等于它的内对角.2考点 1：圆周角的认识【例 1】 下列各图形中的角是圆周角的是( ). A. ①② B. ③ C. ③④ D. ③④⑤答案:B.点拨:由于图形①②中的角的顶点不在圆上,所以图形①②中的角不是圆周角.图形④中的角的两边均不与圆相交,所以图形④中的角不是圆周角.图形⑤中的角的两边中只有一边与圆相交,所以图形⑤中的角也不是圆周角.只有图形③中的角符 合圆周角的两个条件.考点 2：利用圆周角定理及其推论解决问题【例 2】 已知在半径为 4 的☉O 中,弦 AB=4 ,点 P 在圆上,则∠APB= . 答案:60°或 120°.点拨:已知点 P 在圆上但没有说明具体位置,所以点 P 的位置关系有两种情况:①点 P 在优弧上;②点 P 在劣弧上.如 图,过点 O 作 OC⊥A B,连接 OA、OB,由垂径定理可得 AC=2 ,在 Rt△OAC 中,由于 OC= OA,所以∠OAC=30°,可得 AB 所对的圆心角∠AOB=120°.①当点 P 在优弧上时,∠AP 1B=60°;②当点 P 在劣弧上时,∠AP 2B=120°.考点 3：利用圆内接四边形的性质进行计算3【例 3】 在圆内接四边形 ABCD 中,∠A、∠B、∠C 的度数的比是 3∶2∶7,求四边形各内角度数.解:设∠A、∠B、∠C 的度数分别为 3x,2x,7x.∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形,∴ ∠A +∠C=3x+7x=180°.解得 x=18°.∴ ∠A=3x=54°,∠B=2x=36°, ∠C=7x=126°.又 ∠B+∠D=180°,∴ ∠ D=180°-36°=144°.点拨:根据圆的内接四边形性质,可知∠A+∠C=180°,再运用方程思想即可求出四边形各内角度数.1第二十四章 24.2.1 点和圆的位置关系知识点 1：点和圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.若设☉O 的半径为 r,点 P 到圆心的距离 OP=d,则(1)点 P 在圆外⇔dr;(2)点 P 在圆上⇔d=r;(3)点 P 在圆内⇔d100px,∴ 点 C 在☉A 外.(2)点 B 一定在圆内,点 C 一定在圆外.∴ 75px180°.这与三角形的内角和定理矛盾 ,所以∠B 不是直角.(2)若∠B 是钝角,即∠B90°,则∠C90°,故∠A+∠B+∠C180°.这与三角形的内角和定理矛盾,所以∠B 不是钝角.综上所述,∠B 即不是直角也不是钝角,即∠B、∠C 是锐角.所以等腰三角形的底角必定是锐角.点拨:当题目中出现了“必定”“不可能”“不是”“至少”“至多”型命题时,一般考虑用反证法证明.本题是文字叙述题,先用几何语言表述,再用反证法证明.1第二十四章 24.2.2 直 线和圆的位置关系知识点：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系如下表(设☉O 的半径是 r,圆心到直线 l 的距离为 d):位置关系 相离 相切 相交图形公共点个数 0 1 2公共点名称 —— 切点 交点直线 名称 —— 切线 割线数量关系 dr d=r d3,∴ AB 与 ☉O 相离.点拨:由已知条件算出圆心到直 线的距离,然后与半径比较,根据圆心到直线 的距离与半径的大小关系来判断.1第二十四章 24.2.3 圆的切线的性质和判定知识点 1：圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.关键提醒:(1)在应用圆切线的判定定理时,必须先弄清“题设”中的两个事项:一是经过半径外端点,二是垂直于这条半径,这两者缺一不可,千万不要只凭一个条件就判定一条直线为圆的 切线.如图,其中的直线 l 都不是☉O 的切线.(2)根据要 点 5,6 可知,切线的判定方法有三种:①定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;②数量法:到圆心的距离 等于半径的直线是圆的切线;③判定定理.知识点 2：圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径.关键提醒:(1)切线的判定定理和性质定理易混淆,要注意区别.判定定理是不知道直线是否是切线,而让你来证明它,是从数量关系(①与圆只有“1”个公共点;② d=r;③垂直即 90°)到位置关系.而性质定理则是已知是切线,它具有哪些性质.(2)由圆的切线的性质定理不难得出:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.由此我们可以总结如下:切线的性质和判定主要涉及四个因素:①切线;②切点(半径外端点);③圆心;④垂直.这四个要素中满足其中的三个,就可以推出另外一个.考点 1：切线的判定2【例 1】 如图,点 A 为☉O 外一点,连接 OA 交☉O 于点 C.过☉O 上一点 P 作 OA 的垂线,交 OA于点 F,交☉O 于点 E,连接 PA、PC.若∠EPC=∠CPA,求证:PA 是☉O 的切线.解:连接 OP.∵ OA⊥EP,∴ = .∴ ∠POC=2∠EPC.∵ ∠EPC=∠CPA,∴ ∠POC=∠EPA.∵ ∠POC+∠OPE=90°,∴ ∠EPA+∠OPE=90°,即 PA⊥OP.∴ PA 是☉O 的切线.点拨:此题是判定定理的应用,连接 OP 后,只要证明∠OPA=90°即可.考点 2：利用圆的切线的性质解决问题【例 2】 如图,AB 是☉O 的直径, P 为 AB 延长线上的任意一点,C 为半圆 ACB 的中点,PD 切 ☉O于点 D,连接 CD交 AB 于点 E.求证: PD=PE.解:连接 OC、OD,∴ OD⊥PD ,OC ⊥AB.∴ ∠PDE=90°-∠ODE,∠PED=∠CEO=90°-∠C.又 ∠C=∠ODE,∴ ∠PDE=∠PED.∴ PE=PD.点拨:要证 PD=PE,即证∠PDE=∠PED,但直接证明两角相等 缺条件.由于 PD 是☉O 的切线,切点是 D,所以连接 OD,得 PD⊥OD,又点 C 为半圆 ACB 的中点,连接 OC 可得 ∠COB=90°.∠PDE+∠ODC=90°,∠OEC+∠OCE=∠PED+∠OCE=90° ,根据等角的余角相等可证.1第二十四章 24.2.4 圆的切线长性质知识点 1：切线长与切线长定理 切线长:经过圆外一点作圆 的切线,该点和切点之间的线段的长,叫做该点到圆的切线长.切线长定理:从圆外一点可以引圆 的两条切线,它们的切线 长相等,该点与圆心的连线平分两条切线的夹角.关键提醒:(1)切线与切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线 长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量;(2)切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据.知识点 2：三角形的内切圆与内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,内心是三角形三条角平分线的交点.关键提醒:(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,因此三角形的内心到三角形三边的距离相等;(2)“切”是说明三角形的边与圆的关系,而“内”是三角形与圆的相对位置,因此我们可以说这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形有唯一的内切圆,而圆有无数个外切三角形;(3)我们一定要从文字、图形、性质 和实际意义上区别三角形的“外心”“内心”“内切圆”和“外接圆”等概念,以免混淆.一般情况下,三角形的内心、外心是两个不同的点,但等 边三角形的内心、外心重合为一点.任意一个三角形的内心都在三角形内,而外心则不一定.考点 1：利用切线长 定理解决问题【例 1】 如图,过半径为 150px的☉O 外一点 P,引圆的切线 PA、PB,连接 PO交☉O 于点 F,过点 F作☉O 的切线,分别交 PA、PB 于点 D、E.若 PO=250px,∠APB=74°.求:(1)△PED 的周长;2(2)∠DOE 的度数.解:(1)连接 OA,则 OA⊥PA,PA= = =8(cm).∵ PA、PB、DE 是☉O 的切线,根据切线长定理知 PA=PB,DF=DA,EF=EB.∴ △PED 的周长=PD+DF+EF+PE=P D+DA+PE+EB=PA+PB=2PA=16(cm).(2)连接 OB,则有 OA⊥PA,OB⊥PB.根据切线长定理知∠ADO=∠EDO,∠BEO=∠DEO,∴ ∠AOD=∠FOD= ∠AOF,∠BOE=∠FOE= ∠BOF.∴ ∠DOE=∠FOD+∠FOE= (∠AOF+∠BOF)= ∠AOB.∵ ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=360°-90°-90°-74°=106°,∴ ∠DOE= ×106°=53°.点拨:(1)由切线长性质知 PA=PB,DA=DF,EF=EB,△PED 的周长为 PA+PB,即 2PA.连接 OA,由切线的性质得 OA⊥PA,利用勾股定理可求出 PA;(2)连接 OB,则∠ADO=∠EDO,∠BEO=∠DEO,进而得∠ AOD=∠FOD= ∠AOF,∠BOE=∠FOE= ∠BOF,所以∠DOE= ∠AOB,而在四边形 PAOB中易求出∠AOB 的度数.考点 2：和三角形的内切圆相关的计算【例 2】 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8.则△ABC 的内切圆半径为 . 解答:方法一:连接 OA、OB、OC,S △ABC =S△ABO +S△ACO +S△BCO ,∴ BC·r+ AC·r+ AB·r= AC·BC.∴ r= = =2.方法二:设☉O 与△ABC 相切于点 D、E、F,连接 OD、OF,O D⊥AC,OF⊥BC,∠C=90°,OF=OD,∴ 四边形 OFCD为正方形.设☉O 的半径为 r,BF=CF=8-r,AD=AE=6-r,3∴ AB= AE+BE=8-r+6-r=10.∴ r=2.点拨:方法一:如图 (1),利用面积法求解,把三角形 ABC分割成三部分:△BCO、△ CAO、△ABO,再根据与△ABC 的面积关系可以求出 r.方法二:根据切线长定理求解.由切线长定理可得 AD=AE,BE=BF,CF=CD.四边形 ODCF为正方形,设☉O 的半径为 r,可列方程 6-r+8-r=10.求出 r=2.(1) (2)1第二十四章 24.2.5 实验与探究 圆和圆的位置关系知识点：圆和圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,如下表所示(R、r 为两圆的半径,Rr,d 为两圆圆心的距离):位置关系 图形 公共点个数公共点名称数量关系外离 0 —— dR+r外切 1 切点 d=R+r相交 2 交点 R-rR-r 时,两圆可能相交,还可能外切或外离;当dR+r 时,两圆可能相交,还可以内切或内含;只有当 R-rdR+r 时,才能判定两圆相交.具有内切和内含关系的两圆半径不可能相等,否则这两圆重合;同心圆时 d=0;(3)已知两圆相切时,要分外切、内切两种情况考虑;2(4)连心线和圆心距是两个不同的概念,连心线是通过不同的圆的圆心的一条直线,圆心距是指两个圆心之间的线段的长度,圆心距是连心线的一部分;(5)两圆相切的性质:两圆相切,切点一定在连心线上,它是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线.两圆相交的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦;(6)有关两圆问题,作连心线(圆心距)是常用的辅助线.考点 1：圆和圆的 位置关系的判定【例 1】 已知两圆半径之比是 5∶3,如果 两圆内切时 ,圆心距等于 6,问当两圆的圆心距分别是 24,5,20,0 时,相应两圆的位置关系如何?解:∵ 两圆的半径之比为 5∶3,∴ 可设大圆半径 R=5x,小圆半径 r=3x.∵ 两圆内切时圆心距等于 6,∴ 5x-3x= 6.∴ x=3.∴ R=15,r=9.∴ R+r=24,R-r=6.当两圆圆心距 d1=24 时,有 d1=R+r,此时两圆外切;当两圆圆心距 d2=5 时,有 d2R-r,此时两圆内含;当两圆圆心距 d3=20 时,有 R-rd3R+r,此时两圆相交;当两圆圆心距 d4=0 时,有 d4R-r,此时两圆内含,且两圆圆心重合,两圆为同心圆.点拨:根据两圆的位置关系与 R,r,d 的关系求解、判定.考点 2 ：在直角坐标系中解决问题【例 2】 如图,在平面直角坐标系中,点 O1的坐标为(-4,0),以点 O1为圆心,8 为半径的圆与x 轴交于 A、B 两点,过点 A 作直线 l 与 x 轴负方向相交成 60°的角,且交 y 轴于点 C,以点 O2(13,5)为圆心的圆与 x 轴相切于点 D.(1)求直线 l 的解析式;(2)将☉O 2以每秒 1 个单位的速度沿轴向左平移,当☉O 2第一次与☉O 1外切时,求☉O 2平移的时间.3解:(1)由题意,得 OA=|-4|+|8|=12,∴ 点 A 的坐标为(-12,0).∵ 在 Rt△AOC 中,∠OAC=60°,OA=12,∴ 求得 OC=12 .∴ 点 C 的坐标为(0,-12 ).设直线 l 的解析式为 y=kx+b,由直线 l 过 A、C 两点,得 解得∴ 直线 l 的解析式为 y=- x-12 .(2)如 图,设☉O 2平移 ts 后到☉O 3处与☉O 1第一次外切于点 P,☉O 3与 x 轴相切于点 D1,连接 O1O3、O 3D1,则 O1O3=O1P+PO3=8+5=13.∵ O 3D1⊥x 轴,∴ O 3D1=5.在 Rt△O 1O3D1中,O 1D1= = =12.∵ O 1D=O1O+OD=4+13=17,∴ D 1D=O1D-O1D1=17-12=5,∴ t= =5(s).∴ ☉O 2平移的时间为 5s.点拨:(1)用待定系数法求直线 l 的解析式,可先求出 它与坐标轴的交点 A、C 的坐标;(2) 如图,先画出☉O 2第一次平移到与☉O 1外切为☉O 3,连接 O1O3 、O 3D,构造直角三角形求出 O1D 的距离,再求时间 t.1第二十四章 24.3 正多边形和圆知识点 1：正多边形与圆的关系 (1)各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)将一个圆 n(n≥3)等分,顺次连接各个等分点得到的多边形是正 n边形,这个正 n边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做正 n边形的外接圆.关键提醒:(1)根据定义,判断一个多边形是否是正多边形,必须满足两个条件:各边相等,各角相等.缺一不可,如菱形的各边相等,矩形的各角都相等,但它们都不是正多边形.(2)要判定一个多边形是不是正多边形,除了根据定义来判定外,还可以根据正多边形与 圆的关系来判定,即依次连接圆的 n(n≥3)等分点,所得的多边形是正 n多边形.(3)把圆分成 n(n≥3)等分,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交 点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n边形.(4)任意三角形都具有内切圆和外接圆,但只有正三角 形的外接圆和内切圆才是同心圆.任意多边形不一定具有外接圆和内切圆,但正多边形一定有外接 圆和内切圆,并且是同心圆.知识点 2：正多边形的有关概念与计算 正多边形的中心:正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心;正多边形的半径:正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角;正多边形的边心距:正多边形的中心到一边的距离叫做正多边形的边心距;正多边形的对称性:①正多边形的轴对称性:正多边形都是轴对称图形,一个正 n边形共有 n条对称轴,每条对称轴都通过正 n边形的中心;②正多边形的中心对称性:边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的中心是对称中心;③正多边形的旋转对称性:正多边形都是旋转对称图形,最小的旋转角等于 中心角.关键提醒:(1)正多边形的有关概念是针对圆而言的,比如正多边形的中心角相对于圆而言就应叫做圆心角;(2)边心距与弦心距的区别与联系:边心距是圆心到正多边形一边的距离,此时的边心距也可以看作是正多边形的外接圆中,圆心到弦的距离;2(3)正多边形的有关计算:①正 n边形的每个内角为 ;②正 n边形的每个中心角为 ;③正多边形的外角;④设正 n边形的边长、边心距、周长、面积分别为 an,rn,ln,Sn,则 ln=nan,Sn= rnln;(4) 有关正多边形的计算,常添加辅助线:边心距、半径与边长的一 半构造直角三角形求解相关边或角 .知识点 3：正多边形的画法 画正多边形的方法——一般通过等分圆周的方法:用量角器等分圆周或用尺规等分 圆周.关键提醒:(1)用量角器等分圆周有两种方法:一是通过依次作相等的圆心角来等分圆周;另一种方法是先用量角器画一个 的圆心角,然后在圆上依次截取与这个圆心角所对弧相等的弧,得到n个等分点;(2)用尺规等分圆周的方法:对于正四边形及其 2n(n为自然数)倍边形(如正八边形、正十六边形…)、正六边形及其 2n(n为自然数)倍边形(如正十二边形、正二十四边形…)和正三角形等特殊图形可以用直尺和圆规等分圆周.考点 1：关于正多边形的边长、边心距、半径的计算问题【例 1】 若正六边形的边长为 250px,则它的边心距为( ).A. cm B. 125px C. 5 cm D. 250px答案:C.点拨:如图,正六边形的中心角为 60°,因此∠AOG=30°,求边心距 OG可转化到 Rt△AOG 中去解决.AG=125px,AO=2AG=250px,所以 OG= =5 (cm).考点 2：利用正多边形和圆的关系解决实际问题3【例 2】 如图,有六个矩形水池环绕.矩形的内侧一边所在直线恰好围成正六边形 ABCDEF,正六边形的边长为 4m.要从水源点 P处向各水池铺设供水管道,这些管道的总长度最短是 m.(所有管道都在同一平面内,结果保留根号)解:作 PH⊥AB 于点 H,由于 ABCDEF是正六边形,所以 PA=AB=4m,BH= AB=2m,在 Rt△BPH 中,利用勾股定理可得 PH= = =2 m,2 ×6=12 .所以从水源点处向 各水池铺设供水管道,这些管道的总长度最短是 12 m.点拨:本题是一道和正多边形有关的实际问题,解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型,即画出示意图(正六边形)所要解决的实际问题就转化为求点 P到六边形六条边的距离和.为此只需要过点 P作 PH⊥AB 于点 H,利用勾股定理求到 PH即可.考点 3：解决作图的问题【例 3】 已知☉O 和☉O 上的一点 A.(1)用尺规作☉O 的内接正方形 ABCD和内接正六边形 AEFCGH.(2)在第(1)题作图中,如果点 E在 上,求证:DE 可以是☉O 内接正十二边形的一边.解:(1)①作直径 AC;4②用尺规作直径 BD⊥AC(作图痕迹如图 24.3-3所示,过程略),依次连接 AB、BC、CD、DA,则四边形 ABCD为☉O 的内接正方形;③分别以 A、C 为圆心,OA 为半径画弧,交☉O 于点 E、H、F、G,顺次连接AE、EF、FC、CG、GH、HA,则六边形 AEFCGH为☉O 的内接正六边形(如图).(2)连接 OE.∵ ∠AOD= =90°,∠AOE= =60°,∴ ∠DOE=∠AOD-∠AOE=90°-60°=30°.∵ 正十二边形的中心角为 30°,∴ DE 可以是☉O 内接正十二边形的一边.点拨:(1)可以通过作相互垂直的直径,获得 90°的圆心角来作圆的内接正方形.因为等于半径的弦所对的圆心角为 60°,因此不难作出☉O 的内接正六边形;(2)证明 DE可以是☉O 内接正十二边形的一边,只要证明 DE所对的圆心角等于 =30°即可.1第二十四章 24.4.1 弧长和扇形面积知识点 1：弧长公式 半径为 R的圆中, n°的圆心角所对的弧长 l= .关键提醒:(1)对于弧长公式关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ,即 ,亦即;(2)弧长公式所涉及的三个量:弧长、圆心角的度数、弧所在圆的半径,知道其中的任何两个量就可以求出第三个量.知识点 2：扇形面积公式 扇形的定义:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.扇形面积公式:半径为 R,圆心角为 n°的扇形面积 S 扇形 = (若已知或已求出了扇形对应的弧长 l,则扇形面积公式也可以写成 S 扇形 = lR).关键 提醒:(1)对于扇形面积公式关键是要理解 1°的扇形面积是圆面积的 ,即 ;(2)扇形面积公式所涉及的三个量:扇形面积、扇形半径、圆心角的度数,知道其中的任何两个量就可以求出第三个量;(3)对于扇形面积公式 S 扇形 = lR,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式 S= ah有点类似,用类比的方法记忆会更好;(4)注意扇形面积的两个公式之间的联系:S 扇形 = = · ·R= lR,无 论利用哪个公式计算扇形面积,R 都必须已 知.知识点 3：弓形的认识2弦和弦所对的弧所围成的图形叫做弓形,利用扇形面积和三角形面积可求出弓形的面积.弓形有如下三种情况:(1)当弓形的弧小于半圆时,弓形的 面积等于扇形面积与三角形面积的差,即 S 弓形 =S 扇形 -S△OAB ;(2)当弓形的弧大于半圆时,弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和,即 S 弓形 =S 扇形 +S△OAB ;(3)当弓形的弧是半圆时,弓形 的面积是圆面积的一半,即 S 弓形 = S 圆 .也就是说:要计算弓形的面积,首先要观察它的弧属于半圆、劣弧还是优弧,只有对它分析正确才能保证计算结果的正确.阴影部分常常是基本图形的组合,解题时要认真分析图形,找出组合方式,这是解决这类问题的关键 .考点 1：弧长公式的运用【例 1】 挂钟分针的长为 250px,经过 45分钟,它的针尖转过的弧长是( ).A. cm B. 15πcm C. cm D. 75πcm答案:B.点拨:本题已知弧所在圆的半径为 250px,又知分针 45分钟转过 270°,所以针尖转过的弧长是l= =15π(cm).考点 2：圆中图形面积的计算【例 2】 如图,圆心角都是 90°的扇形 OAB与扇形 OCD叠放在一起,连接 AC、BD.(1)求证:AC=BD;(2)若图中阴影部分的面积是 πcm 2,OA=50px,求 OC的长.3解:(1)因为∠AOB=∠COD=9 0°,所以∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD所以∠AOC=∠BOD.又因为 AO=BO,CO=DO,所以△AOC≌△BOD,所以 AC=BD.(2)根据题意得 S 阴影 = - = ,即 π= .解得 OC=1(cm).点拨:由△AOC ≌△BOD 可知图中阴影部分面积是扇环形面积,即 π= ,解得 OC=1.考点 3：弧长公式和扇形面积在实际生活中的应用【例 3】 在物理课上李娜同学用一个滑轮起重装置如图所示:滑轮的半径是 250px,当她将一重物向上提升 375px时,滑轮 的半径 OA绕轴心 O按逆时针方向旋转的角度是 (假设绳索与滑轮之间没有滑动,π 取 3.14,结果精确到 1°). 答案:86°.点拨:在绳索与滑轮之间没有滑动前提的下轮子是带动着绳子在转动,当轮子的点 A转到点 A1位置时,绳子上的某一点也就从点 A被带 到点 A1,绳子被带动上升 375px,也就是长度为 375px,所以本题所考查 的数学知识可 以等价 “圆中的计算问题”:已知 ,如图☉O 的半径为 250px, 长为375px.求∠A 1OA的度数.设 OA绕圆心 O按逆时针方向旋转 n°,则 15= ,解得 n≈86.1第二十四章 24.4.2 圆锥的侧面积和全面积知识点 1：圆锥的基本概念圆锥的组成:圆锥可以看成由一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周而成的图形,这条直线叫做圆锥的轴,垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面,它的底面是一个圆形,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.圆锥的母线:连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的高:圆锥的顶点和底面圆心的距离叫做圆锥的高.圆锥的基本特征:①圆锥的轴通过底面的圆心,并且垂 直于底面;②圆锥的母线长都相等;③经过圆锥的轴的平面被圆锥截得 的图形是等腰三角形.知识点 2：圆锥的侧面展开图沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平,其侧面展开图是一个扇形,扇 形的半径等于圆 锥的母线长,弧长等于圆锥的底面圆周长.知识点 3：圆锥的全面积设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则它的侧面积和全面积分别为 S 侧 = l·2πr=πrl;S 全 =S侧 +S 底 =πrl+πr 2=πr(l+r).关键提醒:(1)圆锥的面积计算,只要分清底面半径和母线,就可直接计算,但要看清是侧面积还是全面积;(2)圆锥的侧面展开图的圆心角的度数 n°,可由 L= =2πr 求得,即 n= 或 n= .考点 1：圆锥的侧面展开图与圆锥相关概念的综合运用【例 1】 圆锥底面半径为 250px,高为 10 cm.2(1)求圆锥的表面积;(2)若一只蚂蚁从底面一点 A 出发绕圆锥一周回到 SA 上一点 M 处,且 SM=3AM,求它所走的最短距离.解:(1)圆锥的母线长 SA= =40(cm),圆锥侧面展开图扇形的弧长l=2π·OA=20π(cm),∴ S 侧 = l·SA=400π(cm 2),S 底 =πOA 2=100π(cm 2).∴ S 表 = S 底 + S 侧 = 500π(cm 2).(2)沿母线 SA 将圆锥的侧面展开,得圆锥的侧面展开图,则线段 AM 的长就是蚂蚁所走的最短距离,由(1)知 SA=1000px,弧 AA'= 20πcm,∠ASM= =90°.又 SA'=AS=1000px,SM=3A'M,∴ SM= SA=750px.在 Rt△ASM 中, AM= = =50(cm).所以蚂蚁所走的最短距离是 1250px.点拨:利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长,进而借助扇形面积公式求出表 面积;蚂蚁在圆锥表面上行走一圈,而圆锥侧面展开后为扇形,故可在展开图(扇形)上求点 A 到点 M 的最短距离(即 AM 的 长).考点 2：利用圆锥的侧面展开图解决实际问题【例 2】 如图,半圆形铁皮半径为 225px,小明同学打算用它制作一圆锥形盒子,他先作半径OC,使∠BOC=120°,用扇形 OBC 作圆锥侧面,再在扇形 OAC 中剪一最大的圆作底面,你认为小明能做成吗?说说你的理由.若行,请问圆锥的高是多少?3解:用圆心角为 120°的扇形做成圆锥的侧面,所需要的底面半径是 =2πr,所以 r=3.在扇形 OAC 中剪一最大的圆作底面,说明圆 O'与各边及弧相切,由切线长定理可知∠O'OE=30°,O'E⊥OA,得到 O'O=2O'E,又因为两圆内切,O'O=9- O'E,即 2O'E=9- O'E,通过计算可得 O'E=3=r,所以小明能做成,此时圆锥的高为 =6 .点拨:用圆心角为 120°的扇形做成圆锥的侧面,关键是看做成侧面的扇形的弧长与底面圆的周长是否吻合.考点 3：利用圆锥的知 识设计方案【例 3】 工人师傅要在一边长为 1000px 的正方形铁皮上裁剪下一块完整的圆和一块完整的扇形,使之恰好做成一个圆锥形模型.(1)请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案(画 出示意图);(2)哪种设计方案使得正方形铁皮的利用率最高(不用证明)?求出此时圆锥模型底面圆的半径.解:(1)设计方案的示意图如图所示:(2)使得正方形铁皮的利用率最高的裁剪方案为第一种.设圆的半径为 r,扇形的半径为 R,则由题意知 ×2R×π=2r×π,故 R=4r.∵ 正方形的边长为 1000px,∴ BD=40 cm.4∵ ☉O 与扇形的切点 E、圆心 O 在 BD 上,∴ R+r+ r=BD.将 R=4r,BD=40 代入 上式,解得 r= cm.故使得正方形铁皮的利用率最高时,圆锥模型底面圆的半径为 cm.点拨:本题主要考查勾股定理和圆锥的侧面展开图等知识,此题的关键是正确设计图案,原则上要保证扇形的弧长与底面的周长相等.根据图中的线段长度关系列方程解题是一种常用方法.