2019版高考数学一轮总复习 第四章 三角函数题组训练（打包9套）理.zip

1题组训练 20 三角函数的基本概念1．给出下列四个命题：①－ 是第二象限角；② 是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一3π4 4π3象限角．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析 ①中－ 是第三象限角，故①错．②， ＝π＋ ，从而 是第三象限角正3π4 4π3 π 3 4π3确．③，－400°＝－360°－40°，从而③正确．④，－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( )9π4A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋ π(k∈Z)94C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ (k∈Z)5π4答案 C解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ＋ (k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，9π4 9π4所以只有答案 C 正确．3．(2018·湖北襄阳联考)角 α 的终边在第一象限，则 ＋ 的取值集合为( )sinα 2|sinα 2|cosα 2|cosα 2|A．{－2，2} B．{0，2}C．{2} D．{0，－2，2}答案 A解析 因为角 α 的终边在第一象限，所以角 的终边在第一象限或第三象限，所以α 2＋ ＝±2.故选 A.sinα 2|sinα 2|cosα 2|cosα 2|4．若点 P 从(1，0)出发，沿单位圆 x2＋y 2＝1 按逆时针方向运动 π 弧长到达 Q 点，则 Q232的坐标为( )A．(－ ， ) B．(－ ，－ )12 32 32 12C．(－ ，－ ) D．(－ ， )12 32 32 12答案 A解析 Q(cos ，sin )，即 Q(－ ， )．2π3 2π3 12 325．已知 tanα＝ ，且 α∈[0，3π]，则 α 的所有不同取值的个数为( )33A．4 B．3C．2 D．1答案 B解析 ∵tanα＝ ，且 α∈[0，3π]，∴α 的可能取值分别是 ， ， ，∴α 的所33 π 67π6 13π6有不同取值的个数为 3.6．集合{α|kπ＋ ≤α≤kπ＋ ，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )π 4 π 2答案 C解析 当 k＝2n 时，2nπ＋ ≤α≤2nπ＋ (n∈Z)，此时 α 的终边和 ≤α≤ 的终边π 4 π 2 π 4 π 2一样．当 k＝2n＋1 时，2nπ＋π＋ ≤α≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时 α 的终边和 π＋π 4 π 2≤α≤π＋ 的终边一样．π 4 π 27．(2018·贵州遵义联考)已知倾斜角为 α 的直线过 x 轴一点 A(非坐标原点 O)，直线上有一点 P(cos130°，sin50°)，且∠APO＝30°，则 α＝( )A．100° B．160°C．100°或 160° D．130°3答案 C解析 因为 P(cos130°，sin50°)即 P(cos130°，sin130°)，所以∠POx＝130°.因此α＝130°＋30°或 130°－30°，即 α＝160°或 100°.故选 C.8．已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是( )A．2 B．2sin1C. D．sin22sin1答案 C解析 ∵2Rsin1＝2，∴R＝ ，l＝|α|R＝ ，故选 C.1sin1 2sin19．(2018·湖北重点中学联考)sin3，sin1.5，cos8.5 的大小关系为( )A．sin1.50.∵sinA·cosB·tanC0.∴B，C 中必定有一个钝角．∴△ABC 是钝角三角形．故选 B.11．－2 017°角是第________象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．答案 二，143°，－217°解析 ∵－2 017°＝－6×360°＋143°，∴－2 017°角的终边与 143°角的终边相同．∴－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是 143°.又是 143°－360°＝－217°，故与－2 017°终边相同的最大负角是－217°.12．有下列各式：①sin1125°；②tan π·sin π；③ ；④sin|－1|，其中为负值3712 3712 sin4tan4的个数是________．答案 24解析 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为 1 125°＝1 080°＋45°，所以 1 125°是第一象限角，所以 sin1 125°0；对于②，因为 π＝2π＋ π，则3712 1312π 是第三象限角，所以 tan π0；sin π0，故 0，综上，②③为负数．13．(2018·沧州七校联考)若 600°角的终边上有一点 P(－4，a)，则 a 的值为________．答案 －4 3解析 tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝ ＝ ，∴a＝－4 .3a－ 4 314．若 0≤θ≤2π，则使 tanθ≤1 成立的角 θ 的取值范围是________．答案 [0， ]∪( ， π]∪( π，2π]π 4 π 2 54 3215．函数 y＝lg(sinx－cosx)的定义域为________．答案 {x| ＋2kπcosx，只需 x (在[0，2π]上)．所以定义域为π 4 5π4{x| ＋2kπx ＋2kπ，k∈Z}．π 4 5π416．若 α 的终边落在 x＋y＝0 上，求出在[－360°，360°]之间的所有角 α.答案 －225°，－45°，135°，315°解析 令－360°≤135°＋k·180°≤360°，k∈Z∴k∈{－2，－1，0，1}．∴相应的角为－225°，－45°，135°，315°.17．在直角坐标系 xOy 中，若角 α 的始边为 x 轴的非负半轴，终边为射线l：y＝2 x(x≥0)，求 sin(α＋ )的值．2π 6答案 1＋ 266解析 由射线 l 的方程为 y＝2 x，可得 sinα＝ ，cosα＝ .2223 135故 sin(α＋ )＝ × ＋ × ＝ .π 6 223 32 13 12 1＋ 2661．(数学文化原创题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ (弦×12矢＋矢 2)．弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为 ，弦长2π3等于 9 米的弧田．(1)计算弧田的实际面积；(2)按照《九章算术》中的弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米？(结果保留两位小数)答案 (1)9π－ (平方米) (2)1.52(平方米)2734解析 (1)扇形半径 r＝3 ，扇形面积等于 θ·r 2＝ × ×(3 )2＝9π(平方米)，312 12 2π3 3弧田面积＝ θr 2－ r2sin ＝9π－ (平方米)．12 12 2π3 2734(2)圆心到弦的距离等于 r，所以矢长为 r，按照上述弧田面积经验公式计算得12 12(弦×矢＋矢 2)＝ ×(9× ＋ )＝ ( ＋ )，9π－ ×2－ ≈1.52(平方米)．12 12 332 274 274 3 12 2734 2781题组训练 21 同角三角函数的基本关系式及诱导公式1．(2017·北京会考卷)cos ＝( )2017π3A．－ B.12 12C．－ D.32 32答案 B2．(2018·四川遂宁零诊)已知角 α 的终边与单位圆 x2＋y 2＝1 交于点 P( ，y)，则 sin(12＋α)＝( )π 2A．1 B.12C．－ D．－32 12答案 B解析 ∵点 P( ，y)在单位圆上，∴cosα＝ .12 12∴sin( ＋α)＝cosα＝ .故选 B.π 2 123．记 cos(－80°)＝k，那么 tan100°＝( )A. B．－1－ k2k 1－ k2kC. D．－k1－ k2 k1－ k2答案 B解析 cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝ ，tan80°＝ ，tan100°1－ k21－ k2k＝－tan80°＝－ .1－ k2k4．(2018·云南、四川、贵州百校大联考)已知 x∈(－ ，0)，tanx＝－ ，则 sin(x＋π)π 2 43＝( )A. B．－35 352C．－ D.45 45答案 D解析 因为 x∈(－ ，0)，tanx＝－ ，所以 sinx＝－ ，sin(x＋π)＝－sinx＝ .故选 D.π 2 43 45 455．(2018·天津西青区)已知 sinα＋cosα＝－ ，则 tanα＋ ＝( )21tanαA．2 B.12C．－2 D．－12答案 A解析 tanα＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝2.故选 A.1tanα sinαcosα cosαsinα sin2α ＋ cos2αsinα cosα 1126. 化简的结果是( )1＋ 2sin（ π － 3） cos（ π ＋ 3）A．sin3－cos3 B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3) D．以上都不对答案 A解析 sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，∴ ＝ ＝|sin3－cos3|.1－ 2sin3·cos3 （ sin3－ cos3） 2∵ 0，cos30.π 2∴原式＝sin3－cos3，选 A.7．已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是( )sin（ kπ ＋ α ）sinα cos（ kπ ＋ α ）cosαA．{1，－1，2，－2} B．{－1，1}C．{2，－2} D．{1，－1，0，2，－2}答案 C解析 当 k 为偶数时，A＝ ＋ ＝2；sinαsinα cosαcosα当 k 为奇数时，A＝ － ＝－2.－ sinαsinα cosαcosα8．(2018·江西九江七校联考)已知 tan(π－α)＝－ ，且 α∈(－π，－ )，则23 π 2＝( )cos（ － α ） ＋ 3sin（ π ＋ α ）cos（ π － α ） ＋ 9sinα3A．－ B.15 15C．－5 D．5答案 A解析 由 tan(π－α)＝－ ，得 tanα＝ .23 23＝ ＝ ＝ ＝－ .故选 A.cos（ － α ） ＋ 3sin（ π ＋ α ）cos（ π － α ） ＋ 9sinα cosα － 3sinα－ cosα ＋ 9sinα 1－ 3tanα－ 1＋ 9tanα 1－ 2－ 1＋ 6 159．(2018·广东广州)已知 tanθ＝2，且 θ∈(0， )，则 cos2θ＝( )π 2A. B.45 35C．－ D．－35 45答案 C解析 cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝ ＝ ，将 tanθ＝2 代入可得cos2θ － sin2θcos2θ ＋ sin2θ 1－ tan2θ1＋ tan2θcos2θ＝－ .故选 C.3510．(2018·新疆兵团二中摸底)已知 2sinθ＝1＋cosθ，则 tanθ＝( )A．－ 或 0 B. 或 043 43C．－ D.43 43答案 B解析 将 2sinθ＝1＋cosθ 两边平方并整理可得 5cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得cosθ＝－1 或 .当 cosθ＝－1 时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，得 tanθ＝0；当 cosθ＝ 时，35 35sinθ＝ (1＋cosθ)＝ ，得 tanθ＝ .故选 B.12 45 4311．(2018·福建泉州模拟)已知 ＝－ ，则 的值是( )1＋ sinαcosα 12 cosαsinα － 1A. B．－12 12C．2 D．－2答案 A解析 因为 1－sin 2α＝cos 2α，cosα≠0，1－sinα≠0，所以(1＋sinα)(1－sinα)＝cosαcosα，所以 ＝ ，所以 ＝－ ，即 ＝ .故选 A.1＋ sinαcosα cosα1－ sinα cosα1－ sinα 12 cosαsinα － 1 12412．若 sinθ，cosθ 是关于 x 的方程 4x2＋2mx＋m＝0 的两个根，则 m 的值为( )A．1＋ B．1－5 5C．1± D．－1－5 5答案 B解析 由题意知，sinθ＋cosθ＝－ ，sinθcosθ＝ .又(sinθ＋cosθ)m2 m42＝1＋2sinθcosθ，所以 ＝1＋ ，解得 m＝1± .又 Δ＝4m 2－16m≥0，所以 m≤0 或m24 m2 5m≥4，所以 m＝1－ .故选 B.513．化简 的结果是( )1＋ sinα ＋ cosα ＋ 2sinα cosα1＋ sinα ＋ cosαA．2sinα B．2cosαC．sinα＋cosα D．sinα－cosα答案 C解析 原式＝sin2α ＋ cos2α ＋ 2sinα cosα ＋ sinα ＋ cosα1＋ sinα ＋ cosα＝（ sinα ＋ cosα ） 2＋ sinα ＋ cosα1＋ sinα ＋ cosα＝（ sinα ＋ cosα ） （ sinα ＋ cosα ＋ 1）1＋ sinα ＋ cosα＝sinα＋cosα.故选 C.14．已知 sinθ＋cosθ＝ ，则 sin(π－2θ)＝________．12答案 －34解析 因为 sinθ＋cosθ＝ ，所以 1＋2sinθcosθ＝1＋sin2θ＝ ，sin2θ＝－ ，所以12 14 34sin(π－2θ)＝sin2θ＝－ .3415．(2018·四川省级联考)已知 tanα＝3，则 sinαsin( －α)＝________．3π2答案 －310解析 已知 tanα＝3，则 sinαsin( －α)＝－sinαcosα＝－ ＝－3π2 sinα cosαsin2α ＋ cos2α＝－ ＝－ .tanαtan2α ＋ 1 332＋ 1 31016．(2018·河南百校联盟)已知 cos( －θ)＝ ，则 cos( ＋θ)＝________．π 6 223 π 35答案 ±13解析 ∵cos( －θ)＝ ，π 6 223∴sin( －θ)＝± ＝± ，π 6 1－ （ 223） 2 13∴cos( ＋θ)＝sin( －θ)＝± .π 3 π 6 1317．(2018·河南南阳一中)化简计算式子的值：＋ .sin（ π 2＋ α ） ·cos（ π 2－ α ）cos（ π ＋ α ）sin（ π － α ） ·cos（ π 2＋ α ）sin（ π ＋ α ）答案 0解析 ＋ ＝ ＋sin（ π 2＋ α ） ·cos（ π 2－ α ）cos（ π ＋ α ）sin（ π － α ） ·cos（ π 2＋ α ）sin（ π ＋ α ） cosα sinα－ cosα＝－sinα＋sinα＝0.－ sinα sinα－ sinα18．(2018·山西孝义二模)已知 sin(3π＋α)＝2sin( ＋α)，求下列各式的值：3π2(1) ；sinα － 4cosα5sinα ＋ 2cosα(2)sin2α＋sin2α.答案 (1)－ (2)16 85解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin( ＋α)，3π2∴－sinα＝－2cosα，即 sinα＝2cosα.(1)原式＝ ＝ ＝－ .2cosα － 4cosα10cosα ＋ 2cosα － 212 16(2)∵sinα＝2cosα，∴tanα＝2，∴原式＝ ＝ ＝ ＝ .sin2α ＋ 2sinα cosαsin2α ＋ cos2α tan2α ＋ 2tanαtan2α ＋ 1 4＋ 44＋ 1 8519．(2018·上海华师大二附中期中)已知函数 y＝ .sinθ cosθ2＋ sinθ ＋ cosθ(1)设变量 t＝sinθ＋cosθ，试用 t 表示 y＝f(t)，并写出 t 的取值范围；(2)求函数 y＝f(t)的值域．答案 (1) t∈[－ ， ] (2)[ －2， ]t2－ 14＋ 2t 2 2 3 2＋ 246解析 (1)∵t＝sinθ＋cosθ，∴t＝sinθ＋cosθ＝ sin(θ＋ )，∴t∈[－ ， ]，2π 4 2 2t2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sinθcosθ＝1＋2sinθcosθ，∴sinθcosθ＝ ，t2－ 12∴y＝f(t)＝ ＝ ＝ ，t∈[－ ， ]．sinθ cosθ2＋ sinθ ＋ cosθ t2－ 12（ 2＋ t） t2－ 14＋ 2t 2 2(2)f(t)＝ ＝ ×[ ]t2－ 14＋ 2t 12 （ t＋ 2） 2－ 4（ t＋ 2） ＋ 3t＋ 2＝ [(t＋2)＋ －4]．12 3t＋ 2∵t∈[－ ， ]，∴t＋2∈[2－ ，2＋ ]．2 2 2 2∵(t＋2)＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当(t＋2)＝ ，即 t＋2＝ 时取等3t＋ 2 （ t＋ 2） ·3t＋ 2 3 3t＋ 2 3号，∴函数 f(t)的最小值为 ×(2 －4)＝ －2.12 3 3当 t＝－ 时，f(－ )＝ ，当 t＝ 时，f( )＝ ，2 22＋ 24 2 2 2－ 24∴函数 f(t)的最大值为 .2＋ 24故函数 y＝f(t)的值域为[ －2， ]．32＋ 241．若 tanα＝3，则 的值等于( )sin2αcos2αA．2 B．3C．4 D．6答案 D解析 ＝ ＝2tanα＝2×3＝6，故选 D.sin2αcos2α 2sinα cosαcos2α2．若 sinθ·cosθ＝ ，则 tanθ＋ 的值是( )12 cosθsinθA．－2 B．2C．±2 D.12答案 B7解析 tanθ＋ ＝ ＋ ＝ ＝2.cosθsinθ sinθcosθ cosθsinθ 1cosθ sinθ3．已知 f(cosx)＝cos2x，则 f(sin15°)的值等于( )A. B．－12 12C. D．－32 32答案 D解析 f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－ .故选 D.324．已知 tanθ＝2，则 sin2θ＋sinθcosθ－2cos 2θ＝( )A．－ B.43 54C．－ D.34 45答案 D解析 sin 2θ＋sinθcosθ－2cos 2θ＝sin2θ ＋ sinθ cosθ － 2cos2θsin2θ ＋ cos2θ＝ ＝ ＝ .tan2θ ＋ tanθ － 2tan2θ ＋ 1 4＋ 2－ 24＋ 1 455．化简 sin6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α 的结果是________．答案 1解析 sin 6α＋cos 6α＋3sin 2αcos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 4α－sin 2αcos 2α＋cos 4α)＋3sin 2αcos 2α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α) 2＝1.6．若 tanα＋ ＝3，则 sinαcosα＝________，tan 2α＋ ＝________．1tanα 1tan2α答案 ，713解析 ∵tanα＋ ＝3，∴ ＋ ＝3.1tanα sinαcosα cosαsinα即 ＝3.∴sinαcosα＝ .sin2α ＋ cos2αsinα cosα 13又 tan2α＋ ＝(tanα＋ )2－2tanα ＝9－2＝7.1tan2α 1tanα 1tanα7．(2016·课标全国Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sin(θ＋ )＝ ，则 tan(θ－ )π 4 35 π 4＝________．答案 －438解析 因为 sin(θ＋ )＝ ，所以 cos(θ－ )＝sin[ ＋(θ－ )]＝sin(θ＋ )＝ .π 4 35 π 4 π 2 π 4 π 4 35因为 θ 为第四象限角，所以－ ＋2kπθ2kπ，k∈Z，所以π 2－ ＋2kπθ－ 2kπ－ ，k∈Z，所以 sin(θ－ )＝－ ＝－ ，所以3π4 π 4 π 4 π 4 1－ （ 35） 2 45tan(θ－ )＝ ＝－ .π 4sin（ θ － π 4）cos（ θ － π 4） 431题组训练 22 两角和与差的三角函数1．(2018·山东师大附中模拟)(tan10°－ )sin40°的值为( )3A．－1 B．0C．1 D．2答案 A解析 (tan10°－ )·sin40°＝( － )·sin40°3sin10°cos10°sin60°cos60°＝ ·sin40°＝－－ sin50°cos10°·cos60° 2sin40°·cos40°cos10°＝－ ＝－1.sin80°cos10°2．(2018·广东珠海期末)已知 tan(α＋ )＝2，tan(β－ )＝－3，则 tan(α－β)＝( )π5 4π5A．1 B．－57C. D．－157答案 D解析 ∵tan(β－ )＝－3，∴tan(β＋ )＝－3.4π5 π5∵tan(α＋ )＝2，∴tan(α－β)＝tan[(α＋ )－(β＋ )]π5 π5 π5＝ ＝ ＝－1.故选 D.tan（ α ＋ π5） － tan（ β ＋ π5）1＋ tan（ α ＋ π5） tan（ β ＋ π5） 2－ （ － 3）1＋ 2×（ － 3）3．(2018·湖南永州一模)已知 sin(α＋ )＋cosα＝－ ，则 cos( －α)＝( )π6 33 π6A．－ B.223 223C．－ D.13 13答案 C解析 由 sin(α＋ )＋cosα＝－ ，得 sin(α＋ )＝－ ，所以 cos( －α)π6 33 π3 13 π6＝cos[ －(α＋ )]＝sin(α＋ )＝－ .π2 π3 π3 1324．(2017·山东，文)函数 y＝ sin2x＋cos2x 的最小正周期为( )3A. B.π2 2π3C．π D．2π答案 C解析 ∵y＝ sin2x＋cos2x＝2( sin2x＋ cos2x)＝2sin(2x＋ )，∴T＝ ＝π.故选332 12 π6 2π2C.5．在△ABC 中，tanA＋tanB＋ ＝ tanAtanB，则 C等于( )3 3A. B.π3 2π3C. D.π6 π4答案 A解析 由已知得 tanA＋tanB＝－ (1－tanAtanB)，3∴ ＝－ ，即 tan(A＋B)＝－ .tanA＋ tanB1－ tanAtanB 3 3又 tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝ ，00，sin(α－β)0.∴α－β∈(0， )，得 α－β＋α＝ ，π2 π2 π2即 2α－β＝ ，故选 C.π29．(2018·湖北中学联考)4sin80°－ ＝( )cos10°sin10°A. B．－3 3C. D．2 －32 2答案 B解析 4sin80°－ ＝ ＝ ＝cos10°sin10°4sin80°sin10°－ cos10°sin10° 2sin20°－ cos10°sin10°＝－ .故选 B.2sin（ 30°－ 10°） － cos10°sin10° 310．(2018·四川自贡一诊)已知 cos(α＋ )＝ ，－ 0，所以角 α 为第一象限角或第二象限角，当角 α 为第一象限角13时，可取其终边上一点(2 ，1)，则 cosα＝ ，又(2 ，1)关于 y轴对称的点2223 2(－2 ，1)在角 β 的终边上，所以 sinβ＝ ，cosβ＝－ ，此时 cos(α－β)213 223＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝ ×(－ )＋ × ＝－ .当角 α 为第二象限角时，可取其223 223 13 13 79终边上一点(－2 ，1)，则 cosα＝－ ，因为(－2 ，1)关于 y轴对称的点(2 ，1)在2223 2 2角 β 的终边上，所以 sinβ＝ ，cosβ＝ ，此时 cos(α－β)13 223＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－ )× ＋ × ＝－ .综上可得，cos(α－β)＝－ .223 223 13 13 79 79617．(2018·广东深圳测试) ＝________．2sin46°－ 3cos74°cos16°答案 1解析 ＝ ＝ ＝1.2sin46°－ 3cos74°cos16° 2sin（ 30°＋ 16°） － 3sin16°cos16° cos16°cos16°18．(2018·江苏泰州中学摸底)已知 0 .513答案 (1) (2)略35解析 (1)∵tan ＝ ，∴tanα＝ ＝ ＝ .α2 122tanα21－ tan2α22×121－ （ 12） 2 43∴ 又 α∈(0， )，解得 cosα＝ .{sinαcosα ＝ 43，sin2α ＋ cos2α ＝ 1.) π2 35(2)证明：由已知得 .45 513 35 1213 45 636551319.(2018·江苏南京调研)如图，在平面直角坐标系 xOy中，以 x轴正半轴为始边的锐角α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于点 A，B.若点 A的横坐标是 ，31010点 B的纵坐标是 .255(1)求 cos(α－β)的值；(2)求 α＋β 的值．答案 (1)－ (2)55 3π4解析 因为锐角 α 的终边与单位圆交于 A，且点 A的横坐标是 ，所以由任意角的三角31010函数的定义可知 cosα＝ ，从而 sinα＝ ＝ .31010 1－ cos2α 1010因为钝角 β 的终边与单位圆交于点 B，且点 B的纵坐标是 ，2557所以 sinβ＝ ，从而 cosβ＝－ ＝－ .255 1－ sin2β 55(1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝ ×(－ )＋ × ＝－ .31010 55 1010 255 210(2)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαcosβ＝ ×(－ )＋ × ＝ .1010 55 31010 255 22因为 α 为锐角，β 为钝角，所以 α＋β∈( ， )，所以 α＋β＝ .π2 3π2 3π41．(2017·江西九江模拟)计算 sin － cos 的值为( )π12 3 π12A．0 B．－ 2C．2 D. 2答案 B解析 sin － cos ＝2( sin － cos )＝2sin( － )＝2sin(－ )＝－ .故选 B.π12 3 π12 12 π12 32 π12 π12 π3 π4 22．(2017·南京金陵中学期中)已知 α∈(π， )，且 cosα＝－ ，则 tan( －α)等于3π2 45 π4( )A．7 B.17C．－ D．－717答案 B解析 因为 α∈(π， π)，且 cosα＝－ ，32 45所以 sinα0，即 sinα＝－ ，35所以 tanα＝ .34所以 tan( －α)＝ ＝ ＝ .π4 1－ tanα1＋ tanα1－ 341＋ 34 173．已知过点(0，1)的直线 l：xtanα－y－3tanβ＝0 的斜率为 2，则 tan(α＋β)＝( )A．－ B.73 73C. D．1578答案 D解析 由题意知 tanα＝2，tanβ＝－ .13∴tan(α＋β)＝ ＝ ＝1.tanα ＋ tanβ1－ tanα tanβ2－ 131－ 2×（ － 13）4．在△ABC 中， “cosA＝2sinBsinC”是“△ABC 为钝角三角形”的( )A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 充分性：在△ABC 中，A＝π－(B＋C)，∴cosA＝－cos(B＋C)．又∵cosA＝2sinBsinC，即－cosBcosC＋sinBsinC＝2sinBsinC.∴cos(B－C)＝0，∴B－C＝ ，∴B 为钝角．π2必要性：若△ABC 为钝角三角形，当 A为钝角时，条件不成立．5．4cos50°－tan40°＝( )A. B.22＋ 32C. D．2 －13 2答案 C解析 4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－ sin40°cos40°＝ ＝2sin80°－ sin40°cos40° 2sin100°－ sin40°cos40°＝2sin（ 60°＋ 40°） － sin40°cos40°＝ ＝ .故选 C.2×32cos40°＋ 2×12sin40°－ sin40°cos40° 36．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋ [tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________．3答案 1解析 ∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝ ＝tan30°＝ ，tan（ 18°－ x） ＋ tan（ 12°＋ x）1－ tan（ 18°－ x） tan（ 12°＋ x） 339∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝ [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]，33∴原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋ × [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.3337．(2015·广东，文)已知 tanα＝2.(1)求 tan(α＋ )的值；π4(2)求 的值．sin2αsin2α ＋ sinα cosα － cos2α － 1答案 (1)－3 (2) 1解析 (1)tan(α＋ )＝ ＝ ＝－3.π4tanα ＋ tanπ41－ tanα tanπ4 2＋ 11－ 2×1(2)sin2αsin2α ＋ sinα cosα － cos2α － 1＝2sinα cosαsin2α ＋ sinα cosα － （ 2cos2α － 1） － 1＝2sinα cosαsin2α ＋ sinα cosα － 2cos2α＝2tanαtan2α ＋ tanα － 2＝ ＝1.2×222＋ 2－ 21题组训练 23 二倍角公式1．已知 cos78°约等于 0.20，那么 sin66°约等于( )A．0.92 B．0.85C．0.88 D．0.95答案 A2. ＝( )sin20°cos20°cos50°A．2 B.22C. D.212答案 D3．计算 tan15°＋ 的值为( )1tan15°A. B．22C．4 D．2 2答案 C解析 tan15°＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝4.故选 C.1tan15°sin15°cos15°cos15°sin15°sin215°＋ cos215°sin15°cos15° 2sin30°4．若 sin ＝ ，则 cosα 的值为( )α2 33A．－ B．－23 13C. D.13 23答案 C解析 cosα＝1－2sin 2 ＝1－ ＝ .故选 C.α2 23 135．已知 cos( －x)＝ ，则 sin2x的值为( )π4 35A. B.1825 725C．－ D．－725 1625答案 C2解析 因为 sin2x＝cos( －2x)＝cos2( －x)＝2cos 2( －x)－1，所以 sin2x＝2×( )π2 π4 π4 352－1＝ －1＝－ .1825 7256．(2018·遵义第一次联考)2002 年在北京召开国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 θ，那么 sin2θ 的值为( )A. B.13 32C. D.2324 2425答案 D解析 设锐角 θ 所对的直角边长为 x，由题意得 x2＋(x＋1) 2＝25，解得 x＝3，所以sinθ＝ ，cosθ＝ ，sin2θ＝ .故选 D.35 45 24257．(2018·河北保定中学期末)已知 sin2α＝ ，00，cosα0.2425 π2 1225又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sinα＋cosα) 2＝1＋2sinαcosα＝ ，∴sinα＋cosα＝ .4925 75∴ cos( －α)＝ ( cosα ＋ sinα)＝cosα＋sinα＝ .2π4 2 22 22 758．化简 ＋2 的结果是( )2＋ 2cos8 1－ sin8A．4cos4－2sin4 B．2sin4C．2sin4－4cos4 D．－2sin4答案 D解析 原式＝ ＋2 ＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.故选 D.4cos24 （ sin4－ cos4） 29．若 α∈(0， )，且 sin2α＋cos2α＝ ，则 tanα 的值为( )π2 14A. B.22 333C. D.2 3答案 D解析 因为 cos2α＝cos 2α－sin 2α，所以 sin2α＋cos2α＝cos 2α，所以 cos2α＝ .又14α∈(0， )，所以 cosα＝ ，所以 α＝ ，故 tanα＝ .故选 D.π2 12 π3 310．(2017·长沙雅礼中学模拟)已知 sin2α＝ ，则 cos2(α＋ )＝( )23 π4A. B.16 13C. D.12 23答案 A解析 方法一：cos 2(α＋ )＝ [1＋cos(2α＋ )]＝ (1－sin2α)＝ .π4 12 π2 12 16方法二：cos(α＋ )＝ cosα－ sinα，所以 cos2(α＋ )＝ (cosα－sinα)π4 22 22 π4 122＝ (1－2sinαcosα)＝ (1－sin2α)＝ .12 12 1611．已知 tan(α＋ )＝－ ，且 0，∴2cosx＝sinx，∴tanx＝2.∴tan(x－ )＝ ＝ ＝ .故选 A.π4tanx－ tanπ41＋ tanxtanπ4 2－ 11＋ 2×1 1315．(1)(2018·山东烟台期中)若 cos(75°－α)＝ ，则 cos(30°＋2α)＝________．13答案 79解析 ∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝ ，135∴cos(30°＋2α)＝1－2sin 2(15°＋α)＝1－2× ＝ .19 79(2)(2017·保定模拟)计算： ＝________．3－ sin70°2－ cos210°答案 2解析 ＝ ＝ ＝2.3－ sin70°2－ cos210°3－ cos20°2－ cos210°3－ （ 2cos210°－ 1）2－ cos210°16．若 sin(x－ π)cos(x－ )＝－ ，则 cos4x＝________．34 π4 14答案 12解析 ∵sin(x－ π)＝－cos( ＋x－ π)＝－cos(x－ )，34 π2 34 π4∴cos 2(x－ )＝ ，∴ ＝ .π4 14 1＋ cos（ 2x－ π2）2 14∴cos(2x－ )＝－ ，即 sin2x＝－ .π2 12 12∴cos4x＝1－2sin 22x＝ .1217．设 α 为第四象限的角，若 ＝ ，则 tan2α＝________．sin3αsinα 135答案 －34解析 ＝ ＝ ＝ .∴2cos 2α＋cos2α＝sin3αsinα sin（ 2α ＋ α ）sinα sin2α cosα ＋ cos2α sinαsinα 135，cos2α＋1＋cos2α＝ .135 135∴cos2α＝ .45∵2kπ－ 0，∴2α 为第四象限的角．45sin2α＝－ ＝－ ，∴tan2α＝－ .1－ cos22α35 3418．(2018·湖北百校联考)设 α∈(0， )，满足 sinα＋ cosα＝ .π3 6 2 3(1)求 cos(α＋ )的值；π66(2)求 cos(2α＋ )的值．π12答案 (1) (2)104 30＋ 28解析 (1)∵ sinα＋ cosα＝ ，∴sin(α＋ )＝ .∵α∈(0， )，∴α＋ ∈(6 2 3π6 64 π3 π6， )，∴cos(α＋ )＝ .π6 π2 π6 104(2)由(1)可得 cos(2α＋ )＝2cos 2(α＋ )－1＝2×( )2－1＝ .∵α∈(0， )，π3 π6 104 14 π3∴2α＋ ∈( ，π)，∴sin(2α＋ )＝ .∴cos(2α＋ )＝cos[(2α＋ )－ ]π3 π3 π3 154 π12 π3 π4＝cos(2α＋ )cos ＋sin(2α＋ )sin ＝ .π3 π4 π3 π4 30＋ 28若 sin76°＝m，用含 m的式子表示 cos7°为( )A. B.1＋ m2 1－ m2C．± D. 1＋ m2 1＋ m2答案 D解析 ∵sin76°＝cos14°＝2cos 27°－1＝m，∴cos 27°＝ ，∴cos7°＝ .1＋ m2 1＋ m2