2019年高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天学案（打包4套）.zip

1第 1 讲 曲线运动 运动的合成与分解微知识 1 曲线运动1．曲线运动的速度特点质点做曲线运动时，在某一时刻的瞬时速度的方向就是通过这一点的切线方向，所以曲线运动一定是变速运动，但是变速运动不一定是曲线运动。2．做曲线运动的条件(1)从运动学角度说：物体的加速度的方向跟它的速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动。(2)从动力学角度说：如果运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上，物体就做曲线运动。特别提醒 注意区分物体做曲线运动的条件和物体做匀变速运动的条件，如果物体所受合力为恒力，且合力与速度方向不共线，则物体做匀变速曲线运动。微知识 2 运动的合成与分解1．分运动和合运动一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动都是分运动，物体的实际运动就是合运动。2．运动的合成已知分运动求合运动，叫做运动的合成。(1)同一条直线上的两分运动的合成：同向相加，反向相减。(2)不在同一条直线上的两分运动合成时，遵循平行四边形定则。3．运动的分解已知合运动求分运动，叫做运动的分解。(1)运动的分解是运动的合成的逆过程。(2)分解方法：根据运动的实际效果分解或正交分解。一、思维辨析(判断正误，正确的画“√” ，错误的画“×” 。)1．曲线运动一定是变速运动。(√)2．做曲线运动的物体受到的合外力一定是变化的。(×)3．做曲线运动的物体所受的合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。(√)4．只要两分运动是直线运动，合运动一定是直线运动。(×)5．两分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。(√)6．合速度一定比分速度大。(×)2二、对点微练1．(曲线运动的性质)做曲线运动的物体( )A．速度一定改变 B．动能一定改变C．加速度一定改变 D．机械能一定改变解析 物体做曲线运动时速度的方向一定变化，速度的大小不一定变化，A 项正确；而动能是标量，大小与速度的平方成正比，与速度的方向无关，B 项错误；若物体运动中所受合外力是恒力，则加速度不变，如平抛运动，C 项错误；除重力外若物体不受其他外力或其他外力不做功，则其机械能不变，D 项错误。答案 A 2．(物体做曲线运动条件的应用)如图所示能正确描述质点运动到 P 点时的速度 v 和加速度a 的方向关系的是( )解析 做曲线运动的物体其速度的方向在某点切线方向上，而加速度的方向即所受合外力的方向指向曲线的凹侧，故 B、C、D 项错，A 项正确。答案 A 3．(运动的合成和分解)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是( )A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害C．运动员下落时间与风力无关D．运动员着地速度与风力无关解析 水平风力不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与风力无关，A 项错误，C项正确；运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，则运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，B、D 项错误。答案 C 3见学生用书 P053微考点 1 物体做曲线运动的条件及轨迹分析核|心|微|讲1．条件：物体受到的合外力与初速度不共线。2．合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。3．速率变化情况判断(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。典|例|微|探【例 1】 如图所示，一质点在一恒力作用下做曲线运动，从 M 点运动到 N 点时，质点的速度方向恰好改变了 90°。在此过程中，质点的动能( )A．不断增大 B．不断减小C．先减小后增大 D．先增大后减小【解题导思】(1)由物体的运动轨迹能否判断出物体所受合外力的可能方向？答：能，做曲线运动的物体所受的合外力指向轨迹的凹侧，即指向右下方。(2)合外力方向与速度方向的夹角如何变化？答：合外力开始与速度方向的夹角大于 90°，物体做减速运动；后来夹角小于 90°，物体做加速运动。解析 质点受恒力 F 作用， M 点的速度方向竖直向上， N 点速度方向水平向右，所以 F 的方向斜向右下，与初速度方向的夹角为钝角，因此恒力 F 先做负功。恒力与速度方向夹角不断减小，当夹角为锐角时，恒力做正功。因此动能先减小后增大，C 项正确。答案 C决定物体运动的两个因素：一是初速度，二是合力，而物体运动的轨迹在合力与速度方向的夹角范围内，且弯向受力方向，这是分析该类问题的技巧。题|组|微|练1．(多选)一个质点受两个互成锐角的恒力 F1和 F2作用时，由静止开始运动，若运动过程4中保持二力方向不变，但 F1突然增大到 F1＋Δ F，则质点以后( )A．一定做匀变速曲线运动B．在相等时间内速度的变化一定相等C．可能做匀速直线运动D．可能做变加速曲线运动解析 F1、 F2为恒力，物体从静止开始做匀加速直线运动， F1突变后仍为恒力，合力仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，所以物体将做匀变速曲线运动，故 A 项对；由加速度的定义 a＝ 知，在相等时间 Δ t 内 Δ v＝ aΔ t 必相等，故 B 项对；做匀速直线运Δ vΔ t动的条件是 F 合 ＝0，所以物体不可能做匀速直线运动，故 C 项错；由于 F1突变后，F1＋Δ F 和 F2的合力仍为恒力，故加速度不可能变化，故 D 项错。答案 AB 2.如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到 D 点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从 A 点运动到 E 点的过程中，下列说法正确的是( )A．质点经过 C 点的速率比 D 点的大B．质点经过 A 点时的加速度方向与速度方向的夹角小于 90°C．质点经过 D 点时的加速度比 B 点的大D．质点从 B 到 E 的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小解析 质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，C 项错误；由于在 D 点速度方向与加速度方向垂直，则在 A、 B、 C 点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，所以质点由 A 到 B到 C 到 D 速率减小，所以 C 点速率比 D 点的大，A 项正确，B 项错误；质点由 A 到 E 的过程中，加速度方向与速度方向的夹角一直减小，D 项错误。答案 A 微考点 2 运动的合成及运动性质的分析核|心|微|讲1．合运动和分运动的关系(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。2．运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速5度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则。典|例|微|探【例 2】 (多选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从 t＝0 时刻起，由坐标原点 O(0,0)开始运动，其沿 x 轴和 y 轴方向运动的速度－时间图象如图甲、乙所示，下列说法正确的是( )A．前 2 s 内物体沿 x 轴做匀加速直线运动B．后 2 s 内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿 y 轴方向C．4 s 末物体坐标为(4 m,4 m)D．4 s 末物体坐标为(6 m,2 m)【解题导思】(1)物体沿 x 轴和 y 轴方向的分运动的性质如何？答：物体在 x 轴方向在前 2 s 内做匀加速直线运动，2 s 后做匀速直线运动；在 y 轴方向前 2 s 静止，2 s 后做匀加速直线运动。(2)物体的合运动的性质是直线运动吗？答：不是，前 2 s 内沿 x 轴方向做匀加速直线运动，2 s 后做匀变速曲线运动。解析 前 2 s 内物体在 y 轴方向速度为 0，由题图甲知只沿 x 轴方向做匀加速直线运动，A项正确；后 2 s 内物体在 x 轴方向做匀速运动，在 y 轴方向做初速度为 0 的匀加速运动，加速度沿 y 轴方向，合运动是曲线运动，B 项错误；4 s 内物体在 x 轴方向上的位移是x＝( ×2×2＋2×2) m＝6 m，在 y 轴方向上的位移为 y＝ ×2×2 m＝2 m，所以 4 s 末物12 12体坐标为(6 m，2 m)，D 项正确，C 项错误。答案 AD题|组|微|练3．如图所示，河水流动的速度为 v 且处处相同，河宽度为 a。在船下水点 A 的下游距离为b 处是瀑布。为了使小船安全渡河(不掉到瀑布里去，且不考虑船在 A 对面的上游靠岸)( )6A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为 t＝bvB．小船轨迹沿 y 轴方向渡河位移最小，合速度最大，最大值为 vmax＝a2＋ b2vbC．小船沿轨迹 AB 运动位移最大，船速最小值为 vmin＝avbD．小船沿轨迹 AB 运动位移最大，船速最小值为 vmin＝ava2＋ b2解析 当小船船头垂直河岸，渡河时间最短，最短时间为 t＝ ，故 A 项错误；小船轨迹av船沿 y 轴方向时，渡河位移最小，合速度不是最大，故 B 项错误；小船沿轨迹 AB 运动时，位移最大，船速与合速度垂直时最小，最小值为 vmin＝ ，故 C 错误，D 正确。ava2＋ b2答案 D 4.如图所示，从上海飞往北京的波音 737 客机上午 10 点 10 分到达首都国际机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为 60 m/s，竖直分速度为 6 m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于 2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于 0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )A．飞机的运动轨迹为曲线B．经 20 s 飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等C．在第 20 s 内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等D．飞机在第 20 s 内，水平方向的平均速度为 21 m/s解析 由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A 项错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第 20 s 末的水平分速度为 20 m/s，竖直方向的分速度为 2 m/s，B 项错误；飞机在第 20 s 内，水平位移x＝ － ＝21 m，竖直位移 y＝ －(v0xt20＋12axt20) (v0xt19＋ 12axt219) (v0yt20＋ 12ayt20)＝2.1 m，C 项错误；飞机在第 20 s 内，水平方向的平均速度为 21 (v0yt19＋12ayt219)m/s，D 项正确。答案 D 微考点 3 关联速度问题核|心|微|讲1．特点7用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，其两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。2．常用的解题思路和方法先确定合运动的方向(物体实际运动的方向)，然后分析这个合运动所产生的实际效果(一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果)以确定两个分速度的方向(沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同)。典|例|微|探【例 3】 如图所示，岸上的人通过定滑轮用绳子拖动小船靠岸，则当人匀速运动时，船的运动情况是( )A．加速运动 B．减速运动C．匀速运动 D．条件不足，不能判定【解题导思】(1)哪个运动是合运动？答：船对地的运动为合运动。(2)将物体的运动沿哪两个方向分解？答：将船的运动沿绳方向和垂直绳的方向分解。解析 如图所示，设人的速度为 v 人 ，船的速度为 v 船 ，拉动绳子的速度为 v 绳 ，某时刻绳与水平方向夹角为 α ，则v 人 ＝ v 绳 ，①v 绳 ＝ v 船 cosα ，②由①②得 v 船 ＝ 。v人cosα在拉动过程中， α 越来越大，cosα 不断减小， v 船 越来越大，即船做加速运动，故 A 项对，B、C、D 均错。答案 A题|组|微|练5. (多选)如图所示，物体 A、 B 经无摩擦的定滑轮用细线连在一起， A 物体受水平向右的力 F 的作用，此时 B 匀速下降， A 水平向左运动，可知( )8A．物体 A 做匀速运动B．物体 A 做加速运动C．物体 A 所受摩擦力逐渐增大D．物体 A 所受摩擦力逐渐减小解析 把 A 向左的速度 v 沿细线方向和垂直细线方向分解，沿细线方向的分速度为vcosα ， B 匀速下降， vcosα 不变，而 α 角增大，cos α 减小，则 v 增大，所以 A 做加速运动，B 项正确，A 项错误；由于 A 对地面的压力逐渐减小，所以物体 A 所受摩擦力逐渐减小，选 D 项正确，C 项错误。答案 BD 6.如图所示，套在竖直细杆上的环 A 由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与重物 B 相连，由于B 的质量较大，在释放 B 后， A 将沿杆上升，当 A 运动至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度 vA≠0， B 未落地，这时 B 的速度 vB＝________。解析 环 A 沿细杆上升的过程中，任取一位置，此时绳与竖直方向的夹角为 α 。将 A 的速度 vA沿绳方向和垂直于绳的方向进行分解，如图所示，则 v1＝ vAcosα ， B 下落的速度vB＝ v1＝ vAcosα 。当环 A 上升至与定滑轮的连线处于水平位置时 α ＝90°，所以此时 B 的速度 vB＝0。9答案 0见学生用书 P054“小船渡河”模型素能培养一条宽为 L 的河流，水流的速度为 v1，船在静水中的速度为 v2，船从河的一边渡到对岸。船过河的过程同时参与了两种运动，即船相对于水的运动和随水流的运动，船的实际运动为合运动。1．船过河的最短时间如图甲所示，设船头斜向上游与河岸成 θ 角，船在垂直于河岸方向的速度为v⊥ ＝ v2sinθ ，渡河所需时间为 t＝ ＝ ，当 θ ＝90°时， t 最小。所以当船头Lv⊥ Lv2sinθ垂直于河岸渡河时，渡河所需时间最短，最短时间为 t＝ 。Lv22．船过河的最短航程(1)当 v2＞ v1时，如图乙所示，为了使船过河的航程最短，必须使船的合速度 v 方向与河岸垂直，则船头指向上游，与河岸成一定的角度 θ ，cos θ ＝ 。由于 0＜cos θ ＜1，因此v1v2只有在 v2＞ v1时，船才可以垂直河岸过河。所以当 v2＞ v1时，船头与上游河岸成θ ＝arccos 的角，船过河的航程最短，最短航程为 L。v1v2(2)当 v2＜ v1时，不论船头方向如何，船都会被冲向下游，不可能垂直河岸过河。如图丙所示，设船头与上游河岸成 θ 角，合速度与下游河岸成 α 角。由图可知： α 角越大，航程越短。以 v1的矢尖为圆心、以 v2的大小为半径画圆，当 v 与圆相切时， α 角最大，此时 cosθ ＝ 。所以当 v2＜ v1时，船头与上游河岸成 θ ＝arccos 的角，船过河的最短航v2v1 v2v1程为 ＝ L。Lcosθ v1v2(3)当 v2＝ v1时，最短航程趋近于 L。经典考题 一小船渡河，河宽 d＝180 m，水流速度 v1＝2.5 m/s。(1)若船在静水中的速度为 v2＝5 m/s，求：①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)若船在静水中的速度 v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？10解析 (1)若 v2＝5 m/s，①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为 v2＝5 m/s。 t＝ ＝dv2s＝36 s。1805v 合 ＝ ＝ m/s。v21＋ v252 5s＝ v 合 t＝90 m。5②欲使船渡河航程最短，合运动应垂直河岸，船头应朝上游，与上游河岸方向夹角为 α 。垂直河岸过河就要求 v 水平 ＝0，如图所示，有 v2cosα ＝ v1得 α ＝60°，所以当船头与上游河岸夹角为 60°时航程最短。s＝ d＝180 m，t＝ ＝ ＝ s＝24 s。dv⊥ dv2sin60°18052 3 3(2)若 v2＝1.5 m/s，与(1)中②不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方11向夹角为 α ，则航程 s＝ 。欲使航程最短，需 α 最大，如图所示，由出发点 A 作出dsinαv1矢量，以 v1矢量末端为圆心， v2大小为半径作圆， A 点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使 v 合 与水平方向夹角最大，应使 v 合 与圆相切，即 v 合 ⊥ v2。sinα ＝ ＝ ＝ ，解得 α ＝37°。v2v1 1.52.5 35所以船头与上游河岸夹角为90°－37°＝53°。t＝ ＝ ＝ s＝150 s。dv⊥ dv2cos37°1801.2v 合 ＝ v1cos37°＝2 m/s。s＝ v 合 ·t＝300 m。答案 (1)①垂直河岸方向 36 s 90 m5②与上游河岸夹角为 60° 24 s 180 m3(2)与上游河岸夹角为 53° 150 s 300 m【反思总结】对法对题1.如图所示，船从 A 处开出后沿直线 AB 到达对岸，若 AB 与河岸成 37°角，水流速度为 4 m/s，则船从 A 点开出的最小速度为( )A．2 m/s B．2.4 m/sC．3 m/s D．3.5 m/s解析 当船速方向与合速度方向垂直时，船速最小，为 4×0.6 m/s＝2.4 m/s，故选项 B正确。12答案 B 2．如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变。已知第一次实际航程为 A至 B，位移为 x1，实际航速为 v1，所用时间为 t1。由于水速增大，第二次实际航程为 A 至C，位移为 x2，实际航速为 v2，所用时间为 t2。则( )A． t2t1， v2＝ B． t2t1， v2＝x2v1x1 x1v1x2C． t2＝ t1， v2＝ D． t2＝ t1， v2＝x2v1x1 x1v1x2解析 设河宽为 d，船自身的速度为 v，与河岸上游的夹角为 θ ，对垂直河岸的分运动，过河时间 t＝ ，则 t1＝ t2；对合运动，过河时间 t＝ ＝ ，故 C 项正确。dvsinθ x1v1 x2v2答案 C 见学生用书 P0551．如图所示是 α 粒子(氦原子核)被重金属原子核散射的运动轨迹， M、 N、 P、 Q 是轨迹上的四点，在散射过程中可以认为重金属原子核静止不动。图中所标出的 α 粒子在各点处的加速度方向正确的是( )A． M 点 B． N 点C． P 点 D． Q 点解析 α 粒子在散射过程中受到重金属原子核的库仑斥力作用，方向总是沿着二者连线且指向粒子轨迹弯曲的凹侧，其加速度方向与库仑力方向一致，故 C 项正确。答案 C 2．某人骑自行车以 4 m/s 的速度向正东方向行驶，气象站报告当时是正北风，风速也是 4 m/s，则骑车人感觉的风速方向和大小分别是( )A．西北风，风速 4 m/s B．西北风，风速 4 m/s2C．东北风，风速 4 m/s D．东北风，风速 4 m/s213解析 若无风，人以 4 m/s 的速度向东行驶，则相当于人不动，风以 4 m/s 的速度从东向西刮，而实际风从正北方以 4 m/s 的速度刮来，所以人感觉到的风速应是这两个速度的合速度(如图所示)。所以 v 合 ＝ ＝ m/s＝4 m/s，风向为东北风，D 项正v21＋ v2 42＋ 42 2确。答案 D 3.如图所示，细线一端固定在天花板上的 O 点，另一端穿过一张 CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边缘。现将 CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度 v 匀速移动，移动过程中， CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为 θ 时，小球上升的速度大小为( )A． vsinθ B． vcosθC． vtanθ D.vtanθ解析 将光盘水平向右移动的速度 v 分解为沿细线方向的速度和垂直于细线方向的速度，而小球上升的速度大小与速度 v 沿细线方向的分速度大小相等，故可得 v 球 ＝ vsinθ ，A 项正确。答案 A 4．如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物 M，长杆的一端放在地上通过铰链连结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方 O 点处，在杆的中点 C 处拴一细绳，绕过两个滑轮后挂上重物 M。 C 点与 O 点距离为 l。现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度 ω 缓缓转至水平位置(转过了 90°角)，此过程中下述说法正确的是( )14A．重物 M 做匀速直线运动B．重物 M 做匀变速直线运动C．重物 M 的最大速度是 ωlD．重物 M 的速度先减小后增大解析 由题知， C 点的速度大小为 vC＝ ωl ，设 vC与绳之间的夹角为 θ ，把 vC沿绳和垂直绳方向分解可得， v 绳 ＝ vCcosθ ，在转动过程中 θ 先减小到零再反向增大，故 v 绳 先增大后减小，重物 M 做变加速运动，其最大速度为 ωl ，C 项正确。答案 C 1第 2 讲 平抛运动微知识 1 平抛物体的运动1．定义将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动。2．性质平抛运动是加速度为 g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。微知识 2 平抛运动的规律以抛出点为原点，以水平方向(初速度 v0方向)为 x 轴，以竖直向下的方向为 y 轴建立平面直角坐标系，则1．水平方向做匀速直线运动，速度 vx＝ v0，位移 x＝ v0t。2．竖直方向做自由落体运动，速度 vy＝ gt，位移 y＝ gt2。12(1)合速度 v＝ ＝ ，方向与水平方向夹角为 θ ，则 tanθ ＝ ＝ 。v2x＋ v2y v20＋ g2t2vyv0 gtv0(2)合位移 s＝ ＝ ，方向与水平方向夹角为 α ，则x2＋ y2 v0t 2＋  12gt2 2tanα ＝ ＝ 。yx gt2v0微知识 3 斜抛运动1．定义将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下方向抛出，物体仅在重力作用下所做的运动叫做斜抛运动。2．斜抛运动的性质斜抛运动是加速度恒为重力加速度 g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。3．处理方法斜抛运动可以看成是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动。一、思维辨析(判断正误，正确的画“√” ，错误的画“×” 。)1．平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度也时刻变化。(×)22．做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化相同。(√)3．斜抛运动和平抛运动都是匀变速曲线运动。(√)4．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。(×)5．平抛运动的时间由下落高度决定。(√)二、对点微练1．(对平抛运动的理解)做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是( )A．大小相等，方向相同 B．大小不等，方向不同C．大小相等，方向不同 D．大小不等，方向相同解析 因为平抛运动的运动形式为匀变速曲线运动，其加速度是恒定不变的，即速度的变化率也恒定不变，再根据平抛运动的特点：水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动，合外力为重力，合加速度为重力加速度，故每秒速度的增量大小恒定不变，方向沿竖直方向，A 项正确。答案 A 2．(对斜抛运动的理解)做斜上抛运动的物体，到达最高点时( )A．速度为零，加速度向下B．速度为零，加速度为零C．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度D．具有水平方向的速度和加速度解析 斜上抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动。因物体只受重力，且方向竖直向下，所以水平方向的分速度不变，竖直方向上的加速度也不变，所以只有 C项正确。答案 C 3．(平抛运动的规律)以速度 v0水平抛出一小球，不计空气阻力，从抛出时刻开始计时，经 t1时间小球到达竖直分速度与水平分速度大小相等的 A 点，经 t2时间小球到达竖直分位移与水平分位移大小相等的 B 点，下列判断正确的是( )A． t1、 t2的大小与 v0的大小无关B． t2＝2 t1C． A、 B 两点速度大小之比为 1∶2D． A、 B 两点的高度差为5v202g解析 到达 A 点时，由 v0＝ gt1可得 t1＝ ，到达 B 点时，由 v0t2＝ gt 可得 t2＝ ； v0v0g 12 2 2v0g越大， t1、 t2越大，且 t2＝2 t1，A 项错误，B 项正确； vA＝ v0， vB＝ ＝2 v20＋  2v0 2v0，C 项错误； h1＝ ， h2＝ ，则两点的高度差为 ，D 项错误。5v202g 2v20g 3v202g答案 B 见学生用书 P056微考点 1 平抛运动的规律和应用3核|心|微|讲1．飞行时间：由 t＝ 知，时间取决于下落高度 h，与初速度 v0无关。2hg2．水平射程： x＝ v0t＝ v0 ，即水平射程由初速度 v0和下落高度 h 共同决定，与其他因2hg素无关。3．落地速度： v＝ ＝ ，以 θ 表示落地速度与 x 轴正方向间的夹角，有v2x＋ v2y v20＋ 2ghtanθ ＝ ＝ ，所以落地速度只与初速度 v0和下落高度 h 有关。vyvx 2ghv04．几个有用的结论(1)做平抛运动的物体，在相同时间内速度的变化量都相等，即 Δ v＝ gΔ t，方向竖直向下。(2)做平抛运动的物体，在任一位置 P(x， y)的瞬时速度的反向延长线与 x 轴交点 A 的横坐标为 ，如图所示。x2(3)做平抛运动的物体，在任一位置速度偏向角 θ 与位移偏向角 α 的关系为tanθ ＝2tan α 。典|例|微|探【例 1】 如图所示， A、 B 两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为 2h 和 h，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为 1∶2，则下列说法正确的是( )A． A、 B 两球的初速度之比为 1∶4B． A、 B 两球的初速度之比为 1∶2C．若两球同时抛出，则落地的时间差为2hg4D．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为( －1) 22hg【解题导思】(1)做平抛运动的物体在空中运动时间由什么来决定？答：由 t＝ 知运动时间 t 由高度 h 决定，与初速度无关。2hg(2)做平抛运动的物体的水平方向的位移由什么决定？答：由 x＝ v0 知，水平位移 x 由初速度 v0和高度 h 共同决定。2hg解析 v1＝ ＝ ， v2＝ ＝ x ，因此两球的初速度之比为 1∶2 ，A、B 项x4hg x2 gh2x2hg 2 gh 2错误；若两球同时抛出，则落地的时间差为 － ＝( －1) ，若两球同时落地，4hg 2hg 2 2hg则两球抛出的时间差也为( －1) ，C 项错误，D 项正确。22hg答案 D“化曲为直”思想在平抛运动中的应用根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：(1)水平方向的匀速直线运动。(2)竖直方向的自由落体运动。题|组|微|练1.如图所示，在 M 点分别以不同的速度将两个小球水平抛出，两小球分别落在水平地面上的 P 点、 Q 点。已知 O 点是 M 点在地面上的竖直投影， ∶ ＝1∶3，且不考虑空气阻力OP→ PQ→ 的影响，下列说法中正确的是( )A．两小球的下落时间之比为 1∶3B．两小球的下落时间之比为 1∶4C．两小球的初速度大小之比为 1∶3D．两小球的初速度大小之比为 1∶45解析 两球的抛出高度相同，故下落时间相同，故 A、B 项错误；两小球的水平位移分别为OP 和 OQ，故水平位移之比为 1∶4，故由 x＝ vt 可知两小球的初速度之比为 1∶4，故 D 项正确，C 项错误。答案 D 2.如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心 O 点分别以水平初速度 v1、 v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的 A 点和 B 点，已知 OA 与 OB 互相垂直，且 OA 与竖直方向成 α 角，则两小球初速度之比 为( )v1v2A．tan α B．cos αC．tan α D．cos αtanα cosα解析 两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为 R，两小球运动时间分别为 t1、 t2，对 A 球： Rsinα ＝ v1t1， Rcosα ＝ gt ；对 B 球： Rcosα ＝ v2t2， Rsinα ＝ gt ，解四式可12 21 12 2得 ＝tan α ，C 项正确。v1v2 tanα答案 C 微考点 2 斜面上的平抛运动核|心|微|讲斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。常见的模型如下：方法 内容 斜面 总结分解速度水平： vx＝ v0竖直： vy＝ gt合速度： v＝ v2x＋ v2y 分解速度，构建速度三角形续表方法 内容 斜面 总结6分解位移水平： x＝ v0t竖直： y＝ gt212合位移： s＝ x2＋ y2分解位移，构建位移三角形典|例|微|探【例 2】 如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从 O 点水平飞出，经过 3 s 落到斜坡上的 A 点。已知 O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角 θ ＝37°，运动员的质量 m＝50 kg。不计空气阻力(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8； g 取 10 m/s2)。求：(1)A 点与 O 点的距离 L。(2)运动员离开 O 点时的速度大小。(3)运动员从 O 点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间。【解题导思】(1)题中“经过 3 s 落到斜坡上的 A 点” ，是要告诉我们什么条件？答：合位移方向沿 OA 方向。(2)第(3)问中“离斜坡距离最远”是已知了位移的方向还是速度的方向 ?答：速度方向。解析 (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin37°＝ gt2， L＝ ＝75 m。12 gt22sin37°(2)设运动员离开 O 点时的速度为 v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcos37°＝ v0t，即 v0＝ ＝20 m/s。Lcos37°t(3)解法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为 v0cos37°、加速度为 gsin37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为 v0sin37°、加速度为gcos37°)。当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有 v0sin37°＝ gcos37°·t，解得t＝1.5 s。解法二：当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成 37°角时，运动员离斜坡最远，有 ＝tan37°， t＝1.5 s。gtv07答案 (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s题|组|微|练3. (多选)将一小球以水平速度 v0＝10 m/s 从 O 点向右抛出，经 1.73 s 小球恰好垂直落到斜面上的 A 点，不计空气阻力， g＝10 m/s 2， B 点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是( )A．斜面的倾角约是 30°B．小球的抛出点距斜面的竖直高度约是 15 mC．若将小球以水平速度 v0′＝5 m/s 向右抛出，它一定落在 AB 的中点 P 的上方D．若将小球以水平速度 v0′＝5 m/s 向右抛出，它一定落在 AB 的中点 P 处解析 设斜面倾角为 θ ，对小球在 A 点的速度进行分解有 tanθ ＝ ，解得 θ ≈30°，Av0gt项正确；小球距过 A 点水平面的距离为 h＝ gt2≈15 m，所以小球的抛出点距斜面的竖直12高度肯定大于 15 m，B 项错误；若小球的初速度为 v′ 0＝5 m/s，过 A 点做水平面，小球落到水平面的水平位移是小球以初速度 v0＝10 m/s 抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，得到小球应该落在 P、 A 之间，C 项正确，D 项错误。答案 AC 4.如图所示，小球 A 位于斜面上，小球 B 与小球 A 位于同一高度，现将小球 A、 B 分别以v1和 v2的速度水平抛出，都落在了倾角为 45°的斜面上的同一点，且小球 B 恰好垂直打到斜面上，则 v1∶ v2为( )A．3∶2 B．2∶1 C．1∶1 D．1∶2解析 两小球下落高度相同，故飞行时间相同，由平抛运动的规律可知，对于 A 球： ＝xy＝1 ①，对于 B 球： ＝1 ②，由①②两式解得， v1∶ v2＝1∶2，故应选 D 项。v1t12gt2 v2gt答案 D 微考点 3 平抛运动中的临界问题8核|心|微|讲分析平抛运动中的临界问题时一般用极限分析的方法，即把要求解的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到产生临界的条件，必要时画出轨迹示意图。典|例|微|探【例 3】 在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。 P 是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为 h 的探测屏 AB 竖直放置，离 P点的水平距离为 L，上端 A 与 P 点的高度差也为 h。(1)若微粒打在探测屏 AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间。(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围。(3)若打在探测屏 A、 B 两点的微粒的动能相等，求 L 与 h 的关系。【解题导思】(1)打在 A 点的微粒的水平位移和竖直位移分别为多少？答：水平位移为 L，竖直位移为 h。(2)打在 B 点的微粒的水平位移和竖直位移分别为多少？答：水平位移为 L，竖直位移为 2h。解析 (1)打在探测屏 AB 中点的微粒下落的高度h＝ gt2，①32 12t＝ 。②3hg(2)打在 B 点的微粒初速度 v1＝ ；2 h＝ gt ，③Lt1 12 21v1＝ L ，④g4h同理，打在 A 点的微粒初速度v2＝ L ，⑤g2h能被屏探测到的微粒初速度范围：L ≤ v≤ L 。⑥g4h g2h9(3)由功能关系 mv ＋ mgh＝ mv ＋2 mgh，⑦12 2 12 21代入④⑤式得 L＝2 h。2答案 (1) 3hg(2)L ≤ v≤ Lg4h g2h(3)L＝2 h2【反思总结】求解平抛运动中的临界问题的三个关键点：1．确定运动性质——匀变速曲线运动。2．确定临界状态。确定临界状态一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来。3．确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图。画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来。题|组|微|练5．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为 L1和 L2，中间球网高度为 h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 3h。不计空气的作用，重力加速度大小为 g，若乒乓球的发射速率 v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则 v 的取值范围是( )A. vL1L12 g6h g6hB. vL14 gh  4L21＋ L2 g6hC. vL12 g6h 12  4L21＋ L2 g6hD. vL14 gh 12  4L21＋ L2 g6h解析 当乒乓球恰好能落到球台角上时发射速度最大，有vmaxt1＝ ， gt ＝3 h，解得 vmax＝ 。当乒乓球平行球台边缘运L21＋ (L22)2 12 21 12  4L21＋ L2 g6h10动且刚过网时为最小速度，有 vmint2＝ ， gt ＝2 h，解得 vmin＝ ，D 项正确。L12 12 2 L14 gh答案 D 6．(多选)如图所示，一高度为 h 的光滑水平面与一倾角为 θ 的斜面连接，一小球以速度v 从平面的右端 P 点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间 t( )A．一定与 v 的大小有关B．一定与 v 的大小无关C．当 v 大于 /tanθ ， t 与 v 无关gh2D．当 v 小于 /tanθ ， t 与 v 有关gh2解析 球有可能落在斜面上，也有可能落在水平面上，可用临界法求解，如果小球恰好落在斜面与水平面的交点处，则满足 ＝ vt， h＝ gt2，联立可得 v＝ ，故当 vhtanθ 12 gh2 1tanθ大于 时，小球落在水平面上， t＝ ，与 v 无关；当 v 小于 时，小球gh2 1tanθ 2hg gh2 1tanθ落在斜面上， x＝ vt， y＝ gt2， ＝tan θ ，联立可得 t＝ ，即与 v 有关，故选项12 yx 2vtanθgC、D 正确。答案 CD 见学生用书 P058类平抛运动的分析素能培养1．类平抛与平抛的区别平抛只受与初速度垂直的重力， a＝ g，类平抛受到的是与初速度垂直的合外力且为恒力，a＝ 。F合m2．求解方法(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度 a 分解为ax、 ay，初速度 v0分解为 vx、 vy，然后分别在 x、 y 方向上列方程求解。11经典考题 如图所示的光滑斜面长为 l，宽为 b，倾角为 θ ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P 水平射入，恰好从底端 Q 点离开斜面，求：(1)物块由 P 运动到 Q 所用的时间 t。(2)物块由 P 点水平入射时的初速度大小 v0。(3)物块离开 Q 点时速度的大小 v。解析 (1)沿水平方向有 b＝ v0t，沿斜面向下的方向有 mgsinθ ＝ ma，l＝ at2。12联立解得 t＝ 。2lgsinθ(2)由(1)可得 v0＝ ＝ b 。bt gsinθ2l(3)物块到达 Q 点的速度大小v＝ 。v20＋  at 2结合(1)(2)解得v＝ 。 b2＋ 4l2 gsinθ2l答案 (1) 2lgsinθ(2)bgsinθ2l(3)  b2＋ 4l2 gsinθ2l对法对题1．在地球表面某高度处以一定的初速度水平抛出一个小球，测得水平射程为 x，在另一星球表面以相同的水平速度抛出该小球，需将高度降低一半才可以获得相同的水平射程。忽略一切阻力。设地球表面重力加速度为 g，该星球表面的重力加速度为 g′，则 为( )gg′A. B. C. D．212 22 2解析 在地球表面做平抛运动的时间 t＝ ，水平射程为 x＝ v0t＝ v0 ，地球表面重2hg 2hg12力加速度为 g＝ ；在另一星球表面做平抛运动的时间 t′＝ ，水平射程为2hv20x2 hg′x＝ v0t′＝ v0 ，此星球表面的重力加速度 g′＝ ，则 ＝2，选项 D 正确。hg′ hv20x2 gg′答案 D 2．在光滑的水平面内，一质量 m＝1 kg 的质点以速度 v0＝10 m/s 沿 x 轴正方向运动，经过原点后受一沿 y 轴正方向(竖直方向)的恒力 F＝15 N 作用，直线 OA 与 x 轴成 α ＝37°，如图所示曲线为质点的轨迹图( g 取 10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：(1)如果质点的运动轨迹与直线 OA 相交于 P 点，质点从 O 点到 P 点所经历的时间以及 P 点的坐标。(2)质点经过 P 点时的速度大小。解析 (1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力 F 和重力 mg 作用做匀加速直线运动。由牛顿第二定律得 a＝ ＝ m/s2＝5 m/s 2。F－ mgm 15－ 101设质点从 O 点到 P 点经历的时间为 t， P 点坐标为( xP， yP)，则xP＝ v0t， yP＝ at2。12又 tanα ＝ ，联立解得yPxPt＝3 s， xP＝30 m， yP＝22.5 m。(2)质点经过 P 点时沿 y 轴正方向的速度 vy＝ at＝15 m/s。故 P 点的速度大小 vP＝＝5 m/s。v20＋ v2y 13答案 (1)3 s P(30 m, 22.5 m)(2)5 m/s13见学生用书 P0591.有 A、 B 两小球， B 的质量为 A 的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为 A 的运动轨迹，则 B 的运动轨迹是( )13A．① B．②C．③ D．④解析 由于不计空气阻力，因此小球以相同的速率沿相同的方向抛出，在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向的初速度相同，加速度为重力加速度，水平方向的初速度相同，因此两小球的运动情况相同，即 B 球的运动轨迹与 A 球的一样，A项正确。答案 A 2．如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间 t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为 θ ，不计空气阻力，重力加速度为 g。下列说法正确的是( )A．小球水平抛出时的初速度大小为 gttanθB．小球在 t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ 2C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D．若小球初速度增大，则 θ 减小解析 由 tanθ ＝ 可得小球平抛的初速度大小 v0＝ ，A 项错误；由gtv0 gttanθtanα ＝ ＝ ＝ ＝ tanθ 可知， α ≠ ，B 项错误；小球平抛的时间 t＝ ，与小hx 12gt2v0t gt2v0 12 θ 2 2hg球初速度无关，C 项错误；由 tanθ ＝ 可知， v0越大， θ 越小，D 项正确。gtv014甲 乙答案 D 3．如图所示为一长为 L、倾角 θ ＝45°的固定斜面。现有一弹性小球，自与斜面上端2等高的某处自由释放，小球落到斜面上反弹时，速度大小不变，碰撞前后，速度方向与斜面夹角相等，若不计空气阻力，欲使小球恰好落到斜面下端，则小球释放点距斜面上端的水平距离为( )A. L B. L24 14C. L D. L25 15解析 由 θ ＝45°知释放点距斜面的高度与到斜面上端的水平距离相等，从小球与斜面碰撞后变向到落到斜面下端，小球做平抛运动且水平位移与竖直位移等大，即 x＝ y，由x＝ v0t 和 y＝ t 联立得 vy＝2 v0，即 ＝2 ，解得 h＝ ，选项 D 正确。vy2 2g L－ h 2gh L5答案 D 4．(多选)倾角为 θ 的斜面上有 A、 B、 C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的 D 点，如图所示，今测得 AB∶ BC∶ CD＝5∶3∶1，由此可判断( )A． A、 B、 C 处三个小球运动时间之比为 1∶2∶3B． A、 B、 C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为 1∶1∶1C． A、 B、 C 处三个小球的初速度大小之比为 3∶2∶1D． A、 B、 C 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交解析 由于沿斜面 AB∶ BC∶ CD＝5∶3∶1，故三个小球竖直位移之比为 9∶4∶1，运动时间之比为 3∶2∶1，A 项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α 满足 tanα ＝2tan θ ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此 B 项正确；同时15tanα ＝ ，所以三个小球的初速度之比等于运动时间之比，为 3∶2∶1，C 项正确；三个gtv0小球的运动轨迹(抛物线)在 D 点相切，因此不会在空中相交，D 项错误。答案 BC