2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形（课件+学案+练习）（打包23套）理 北师大版.zip

1§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲 考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主，低档难度.1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是 S＝{ β |β ＝ k·360°＋ α ， k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝ °.π180 (180π )(3)扇形的弧长公式： l＝| α |·r，扇形的面积公式： S＝ lr＝ |α |·r2.12 123．任意角的三角函数任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x， y)时，则 sin α ＝ y，cos α ＝ x，tan α ＝ (x≠0)．yx三个三角函数的性质如下表：2三角函数 定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin α R ＋ ＋ － －cos α R ＋ － － ＋tan α {α |α ≠ kπ＋ ， k∈π 2Z}＋ － ＋ －4.三角函数线如下图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥ x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.三角函数线有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切线知识拓展1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)设 P(x， y)是角 α 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α ＝ ，cos yrα ＝ ，tan α ＝ (x≠0)．xr yx3题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )(2)角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关．( √ )(3)不相等的角终边一定不相同．( × )(4)若 α 为第一象限角，则 sin α ＋cos α 1.( √ )题组二 教材改编2．角－225°＝ 弧度，这个角在第 象限．答案 － 二5π43．设角 θ 的终边经过点 P(4，－3)，那么 2cos θ －sin θ ＝ .答案 115解析 由已知并结合三角函数的定义，得 sin θ ＝－ ，cos θ ＝ ，所以 2cos θ －sin 35 45θ ＝2× － ＝ .45 (－ 35) 1154．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度．答案 π 3题组三 易错自纠5．(2018·秦皇岛模拟)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )9π4A．2 kπ＋45°( k∈Z) B． k·360°＋ (k∈Z)9π4C． k·360°－315°( k∈Z) D． kπ＋ (k∈Z)5π4答案 C解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ＋ (k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，9π4 9π4所以只有答案 C 正确．46．集合Error!中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当 k＝2 n(n∈Z)时，2 nπ＋ ≤ α ≤2 nπ＋ ，此时 α 表示的范围与 ≤ α ≤ 表π 4 π 2 π 4 π 2示的范围一样；当 k＝2 n＋1 (n∈Z)时，2 nπ＋π＋ ≤ α ≤2 nπ＋π＋ ，此时 α 表示π 4 π 2的范围与 π＋ ≤ α ≤π＋ 表示的范围一样，故选 C.π 4 π 27．已知角 α (－π0，∴ ＝ ，即 m＝ .4m264m2＋ 9 125 12(2)设 θ 是第三象限角，且 ＝－cos ，则 是( )|cos θ 2| θ 2 θ 2A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案 B解析 由 θ 是第三象限角知， 为第二或第四象限角，θ 2∵ ＝－cos ，∴cos 0，解得 m＝3.m16＋ m2 354．(2018·广州质检)点 P 的坐标为(2,0)，射线 OP 顺时针旋转 2 010°后与圆 x2＋ y2＝4 相交于点 Q，则点 Q 的坐标为( )A．(－ ， ) B．(－ ，1)2 2 3C．(－1， ) D．(1，－ )3 3答案 B解析 由题意得 Q(2cos(－2 010°)，2sin(－2 010°))，即 Q(－ ，1)．35．已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( )A．2 B．4 C．6 D．813答案 C解析 设扇形的半径为 R，则 ×4×R2＝2，12∴ R＝1，弧长 l＝4，∴扇形的周长为 l＋2 R＝6.6．已知 α 是第二象限的角，其终边上一点为 P(x， )，且 cos α ＝ x，则 tan α 等于524( )A. B.155 153C．－ D．－155 153答案 D解析 ∵ ＝ x 且 α 在第二象限，xx2＋ 5 24∴ x＝－ ，∴tan α ＝ ＝－ .35－ 3 1537．(2017·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4 的值( )A．小于 0 B．大于 0C．等于 0 D．不存在答案 A解析 ∵sin 20，cos 30，∴sin 2·cos 3·tan 40)是角 α 终边上的一点，则 2sin α ＋cos α ＝ .答案 25解析 ∵| OP|＝ ＝5| m|＝5 m(m0)，－ 4m2＋ 3m2∴sin α ＝ ＝ ，cos α ＝ ＝－ ，3m5m 35 － 4m5m 45∴2sin α ＋cos α ＝2× － ＝ .35 45 2510．已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则扇形的弧长为 ．π 6 π 3答案 π 3解析 设扇形半径为 r，弧长为 l，则Error! 解得Error!11．函数 y＝ 的定义域为 ．sin x－ 32答案 ， k∈Z[2kπ ＋π 3， 2kπ ＋ 23π ]解析 利用三角函数线(如图)，由 sin x≥ ，可知322kπ＋ ≤ x≤2 kπ＋ π， k∈Z.π 3 2312．满足 cos α ≤－ 的角 α 的集合为 ．12答案 Error!解析 作直线 x＝－ 交单位圆于 C， D 两点，连接 OC， OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴12影部分)即为角 α 终边的范围，故满足条件的角 α 的集合为Error!.1513．已知 sin α sin β ，那么下列命题成立的是( )A．若 α ， β 是第一象限的角，则 cos α cos βB．若 α ， β 是第二象限的角，则 tan α tan βC．若 α ， β 是第三象限的角，则 cos α cos βD．若 α ， β 是第四象限的角，则 tan α tan β答案 D解析 如图，当 α 在第四象限时，作出 α ， β 的正弦线 M1P1， M2P2和正切线 AT1， AT2，观察知当 sin α sin β 时，tan α tan β .14．已知点 P(sin α ＋cos α ，tan α )在第四象限，则在[0,2π]内 α 的取值范围是 ．答案 ∪(π 2， 34π ) (74π ， 2π )解析 由Error!得－10.(1)求角 α 的集合；(2)求 的终边所在的象限；α 2(3)试判断 tan sin cos 的符号．α 2 α 2 α 2解 (1)由 sin α 0，知 α 在第一、三象限，故角 α 在第三象限，其集合为Error!.(2)由 2kπ＋π0，cos 0，α 2 α 2所以 tan sin cos 也取正号．α 2 α 2 α 2因此，tan sin cos 取正号．α 2 α 2 α 21§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式最新考纲 考情考向分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos 2x＝1， ＝tan x．sin xcos x2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α ，π± α 的正弦、余弦、正切的诱导π 2公式.考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力．题型为选择题和填空题，低档难度.1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α ＋cos 2α ＝1.(2)商数关系： ＝tan α (α ≠ ＋ kπ， k∈Z)．sin αcos α π 22．三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六角2kπ＋ α (k∈Z)π＋ α － α π－ α － απ 2＋ απ 2正弦 sin α－sin α－sin αsin α cos α cos α余弦 cos α－cos αcos α －cos α sin α －sin α正切 tan α tan α－tan α－tan α口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限知识拓展1．同角三角函数关系式的常用变形2(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ；sin α ＝tan α ·cos α .2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限” ，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名π 2称的变化．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若 α ， β 为锐角，则 sin2α ＋cos 2β ＝1.( × )(2)若 α ∈R，则 tan α ＝ 恒成立．( × )sin αcos α(3)sin(π＋ α )＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( × )(4)若 sin(kπ－ α )＝ (k∈Z)，则 sin α ＝ .( × )13 13题组二 教材改编2．若 sin α ＝ ， sin α ，∴cos α －sin α ＞0.又(cos α －sin α )2＝1－2sin α cos α ＝1－2× ＝ ，18 34∴cos α －sin α ＝ .326．已知 sin(π－ α )＝log 8 ，且 α ∈ ，则 tan(2π－ α )的值为( )14 (－ π 2， 0)A．－ B.255 255C．± D.255 52答案 B解析 sin(π－ α )＝sin α ＝log 8 ＝－ ，14 23又 α ∈ ，得 cos α ＝ ＝ ，(－π 2， 0) 1－ sin2α 53tan(2π－ α )＝tan(－ α )＝－tan α ＝－ ＝ .sin αcos α 2557．(2017·枣庄模拟)已知 cos α ＝ ，－ 0，∴sin x－cos x0，cos x0，故 sin x－cos x＝ .75思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练 (1)(2018·唐山模拟)已知角 θ 的终边在第三象限，tan 2θ ＝－2 ，则2sin2θ ＋sin(3π－ θ )cos(2π＋ θ )－ cos2θ 等于( )2A．－ B. C．－ D.26 26 23 23答案 D解析 由 tan 2θ ＝－2 可得 tan 2θ ＝ ＝－2 ，22tan θ1－ tan2θ 2即 tan2θ －tan θ － ＝0，2 2解得 tan θ ＝ 或 tan θ ＝－ .222又角 θ 的终边在第三象限，故 tan θ ＝ ，2故 sin2θ ＋sin(3π－ θ )cos(2π＋ θ )－ cos2θ2＝sin 2θ ＋sin θ cos θ － cos2θ2＝sin2θ ＋ sin θ cos θ － 2cos2θsin2θ ＋ cos2θ＝tan2θ ＋ tan θ － 2tan2θ ＋ 1＝ ＝ .22＋ 2－ 222＋ 1 23(2)(2017·西安模拟)已知函数 f(x)＝ asin(π x＋ α )＋ bcos(π x＋ β )，且 f(4)＝3，则f(2 017)的值为( )A．－1 B．1C．3 D．－3答案 D解析 ∵ f(4)＝ asin(4π＋ α )＋ bcos(4π＋ β )＝ asin α ＋ bcos β ＝3，∴ f(2 017)＝ asin(2 017π＋ α )＋ bcos(2 017π＋ β )＝ asin(π＋ α )＋ bcos(π＋ β )9＝－ asin α － bcos β＝－3.分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是( )sinkπ ＋ α sin α coskπ ＋ α cos αA．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}(2)已知 sin α ＝ ，则 tan(α ＋π)＋ ＝ .255sin(5π2＋ α )cos(5π2－ α )思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．(2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论．解析 (1)当 k 为偶数时， A＝ ＋ ＝2；sin αsin α cos αcos α当 k 为奇数时， A＝ － ＝－2.－ sin αsin α cos αcos α所以 A 的值构成的集合是{2，－2}．(2)∵sin α ＝ ＞0，255∴ α 为第一或第二象限角．tan(α ＋π)＋ ＝tan α ＋sin(5π2＋ α )cos(5π2－ α ) cos αsin α＝ ＋ ＝ .sin αcos α cos αsin α 1sin α cos α①当 α 是第一象限角时，cos α ＝ ＝ ，1－ sin2 α55原式＝ ＝ ；1sin α cos α 52②当 α 是第二象限角时，cos α ＝－ ＝－ ，1－ sin2α55原式＝ ＝－ .1sin α cos α 5210综合①②知，原式＝ 或－ .52 52答案 (1)C (2) 或－52 521．(2018·福州质检)已知直线 2x＋ y－3＝0 的倾斜角为 θ ，则 的值是( )sin θ ＋ cos θsin θ － cos θA．－3 B．－2 C. D．313答案 C解析 由已知得 tan θ ＝－2，∴ ＝ ＝ ＝ .sin θ ＋ cos θsin θ － cos θ tan θ ＋ 1tan θ － 1 － 2＋ 1－ 2－ 1 132．(2017·陕西二检)若 tan α ＝ ，则 sin4α －cos 4α 的值为( )12A．－ B. C. D．－15 15 35 35答案 D解析 ∵tan α ＝ ，∴sin 4α －cos 4α ＝(sin 2α ＋cos 2α )·(sin2α －cos 2α )＝12＝ ＝－ ，sin2α － cos2αcos2α ＋ sin2α tan2α － 11＋ tan2α 35故选 D.3．(2017·厦门模拟)已知 cos 31°＝ a，则 sin 239°·tan 149°的值是( )A. B.1－ a2a 1－ a2C. D．－a2－ 1a 1－ a2答案 B解析 sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝ .1－ a24．若 θ ∈ ，则 等于( )(π 2， π ) 1－ 2sinπ ＋ θ sin(3π2－ θ )A．sin θ －cos θ B．cos θ －sin θC．±(sin θ －cos θ ) D．sin θ ＋cos θ11答案 A解析 因为 1－ 2sinπ ＋ θ sin(3π2－ θ )＝ ＝1－ 2sin θ cos θ sin θ － cos θ 2＝|sin θ －cos θ |，又 θ ∈ ，所以 sin θ －cos θ 0，(π 2， π )所以原式＝sin θ －cos θ .故选 A.5．(2017·广州检测)cos ＝ ，则 sin 等于( )(π12－ θ ) 13 (5π12＋ θ )A. B. C．－ D．－13 223 13 223答案 A解析 sin ＝sin(5π12＋ θ ) [π 2－ (π12－ θ )]＝cos ＝ .(π12－ θ ) 136．(2017·孝感模拟)已知 tan α ＝3，则 的值是( )1＋ 2sin α cos αsin2α － cos2αA. B．2 C．－ D．－212 12答案 B解析 原式＝sin2α ＋ cos2α ＋ 2sin α cos αsin2α － cos2α＝tan2α ＋ 2tan α ＋ 1tan2α － 1＝ ＝2.9＋ 6＋ 19－ 17．(2018·菏泽检测)已知 sin ＝ ， α ∈ ，则 sin(π＋ α )等于( )(π 2＋ α ) 35 (0， π 2)A. B．－ C. D．－35 35 45 45答案 D解析 由已知 sin ＝ ，得 cos α ＝ ，(π 2＋ α ) 35 35∵ α ∈ ，∴sin α ＝ ，(0，π 2) 45∴sin(π＋ α )＝－sin α ＝－ .45128．若角 α 的终边落在第三象限，则 ＋ 的值为( )cos α1－ sin2α 2sin α1－ cos2αA．3 B．－3 C．1 D．－1答案 B解析 由角 α 的终边落在第三象限，得 sin α ＜0，cos α ＜0，故原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1－2cos α|cos α | 2sin α|sin α | cos α－ cos α 2sin α－ sin α＝－3.9．在△ ABC 中，若 tan A＝ ，则 sin A＝ .23答案 2211解析 因为 tan A＝ 0，所以 A 为锐角，23由 tan A＝ ＝ 以及 sin2A＋cos 2A＝1，sin Acos A 23可求得 sin A＝ .221110．已知 α 为钝角，sin ＝ ，则 sin ＝ .(π 4＋ α ) 34 (π 4－ α )答案 －74解析 因为 α 为钝角，所以 cos ＝－ ，(π 4＋ α ) 74所以 sin ＝cos(π 4－ α ) [π 2－ (π 4－ α )]＝cos ＝－ .(π 4＋ α ) 7411．(2018·唐山检测)sin π·cos π·tan 的值是 ．43 56 (－ 43π )答案 －334解析 原式＝sin ·cos ·tan(π ＋π 3) (π － π 6) (－ π － π 3)＝ · ·(－ sin π 3) (－ cos π 6) (－ tan π 3)＝ × ×(－ )＝－ .(－32) (－ 32) 3 3341312．(2018·石家庄模拟)已知 k∈Z，化简： ＝ .sinkπ － α cos[k－ 1π － α ]sin[k＋ 1π ＋ α ]coskπ ＋ α 答案 －1解析 当 k＝2 n(n∈Z)时，原式＝sin2nπ － α cos[2n－ 1π － α ]sin[2n＋ 1π ＋ α ]cos2nπ ＋ α ＝sin－ α ·cos－ π － α sinπ ＋ α ·cos α＝ ＝－1；－ sin α － cos α － sin α ·cos α当 k＝2 n＋1( n∈Z)时，原式＝sin[2n＋ 1π － α ]·cos[2n＋ 1－ 1π － α ]sin[2n＋ 1＋ 1π ＋ α ]·cos[2n＋ 1π ＋ α ]＝sinπ － α ·cos αsin α ·cosπ ＋ α ＝ ＝－1.sin α ·cos αsin α － cos α 综上，原式＝－1.13．若 sin θ ，cos θ 是方程 4x2＋2 mx＋ m＝0 的两根，则 m 的值为( )A．1＋ B．1－ C．1± D．－1－5 5 5 5答案 B解析 由题意知 sin θ ＋cos θ ＝－ ，sin θ cos θ ＝ ，m2 m4又(sin θ ＋cos θ )2＝1＋2sin θ cos θ ，∴ ＝1＋ ，m24 m2解得 m＝1± ，又 Δ ＝4 m2－16 m≥0，5∴ m≤0 或 m≥4，∴ m＝1－ .514．已知 α 为第二象限角，则 cos α ＋sin α · ＝ .1＋ tan2α1＋ 1tan2α答案 0解析 原式＝cos α ＋sin α sin2α ＋ cos2αcos2α sin2α ＋ cos2αsin2α＝cos α ＋sin α ，1|cos α | 1|sin α |14因为 α 是第二象限角，所以 sin α 0，cos α 0，所以 cos α ＋sin α ＝－1＋1＝0，1|cos α | 1|sin α |即原式等于 0.15．若 sin ＝ ，则 cos 等于( )(π 6－ α ) 13 (2π3＋ 2α )A．－ B．－ C. D.79 13 13 79答案 A解析 ∵ ＋ ＝ ，(π 3＋ α ) (π 6－ α ) π 2∴sin ＝sin(π 6－ α ) [π 2－ (π 3＋ α )]＝cos ＝ .(π 3＋ α ) 13则 cos ＝2cos 2 －1＝－ .(2π3＋ 2α ) (π 3＋ α ) 7916．(2018·安徽六校联考)是否存在 α ∈ ， β ∈(0，π)，使等式 sin(3π－ α )(－π 2， π 2)＝ cos ， cos(－ α )＝－ cos(π＋ β )同时成立？若存在，求出 α ， β 的值；2 (π 2－ β ) 3 2若不存在，请说明理由．解 假设存在角 α ， β 满足条件，则由已知条件可得Error!由① 2＋② 2，得 sin2α ＋3cos 2α ＝2.∴sin 2α ＝ ，∴sin α ＝± .12 22∵ α ∈ ，∴ α ＝± .(－π 2， π 2) π 4当 α ＝ 时，由②式知 cos β ＝ ，π 4 32又 β ∈(0，π)，∴ β ＝ ，此时①式成立；π 6当 α ＝－ 时，由②式知 cos β ＝ ，π 4 3215又 β ∈(0，π)，∴ β ＝ ，此时①式不成立，故舍去．π 6∴存在 α ＝ ， β ＝ 满足条件．π 4 π 61§4.3 三角函数的图像与性质最新考纲 考情考向分析1.能画出 y＝sin x， y＝cos x， y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.(－π2， π2)以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数 y＝sin x， x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)， ，(π，0)，(π2， 1)，(2π，0)．(3π2， － 1)(2)在余弦函数 y＝cos x， x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)， ，(2π，1)．(π2， 0) (3π2， 0)2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 k∈Z)函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x图像定义域 R R{x|x∈ R，且 x≠ kπ＋}π2值域 [－1,1] [－1,1] R周期性 2π 2π π2奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数递增区间 [2kπ －π2， 2kπ ＋ π2] [2kπ－π，2 kπ](kπ － π2， kπ ＋ π2)递减区间 [2kπ ＋π2， 2kπ ＋ 3π2] [2kπ，2 kπ＋π]无对称中心 (kπ，0) (kπ ＋ π2， 0) (kπ2， 0)对称轴方程 x＝ kπ＋ π2 x＝ kπ 无知识拓展1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期．14(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若 f(x)＝ Asin(ωx ＋ φ )(A， ω ≠0)，则：(1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ ＝ ＋ kπ( k∈Z)；π2(2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ ＝ kπ( k∈Z)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sin x在第一、第四象限上是增函数．( × )(2)由 sin ＝sin 知， 是正弦函数 y＝sin x(x∈R)的一个周期．( × )(π6＋ 2π3) π6 2π3(3)正切函数 y＝tan x在定义域内是增函数．( × )(4)已知 y＝ ksin x＋1， x∈R，则 y的最大值为 k＋1.( × )(5)y＝sin| x|是偶函数．( √ )题组二 教材改编2．函数 f(x)＝cos 的最小正周期是 ．(2x＋π4)答案 π33． y＝3sin 在区间 上的值域是 ．(2x－π6) [0， π2]答案 [－32， 3]解析 当 x∈ 时，2 x－ ∈ ，[0，π2] π6 [－ π6， 5π6]sin ∈ ，(2x－π6) [－ 12， 1]故 3sin ∈ ，(2x－π6) [－ 32， 3]即 y＝3sin 的值域为 .(2x－π6) [－ 32， 3]4． y＝tan 2 x的定义域是 ．答案 Error!解析 由 2x≠ kπ＋ ， k∈Z，得 x≠ ＋ ， k∈Z，π2 kπ2 π4∴ y＝tan 2 x的定义域是Error!.题组三 易错自纠5．下列函数中最小正周期为 π 且图像关于直线 x＝ 对称的是( )π3A． y＝2sin B． y＝2sin(2x＋π3) (2x－ π6)C． y＝2sin D． y＝2sin(x2＋ π3) (2x－ π3)答案 B解析 函数 y＝2sin 的周期 T＝ ＝π，(2x－π6) 2π2又 sin ＝1，(2×π3－ π6)∴函数 y＝2sin 的图像关于直线 x＝ 对称．(2x－π6) π36．函数 f(x)＝4sin 的递减区间是 ．(π3－ 2x)答案 (k∈Z)[kπ －π12， kπ ＋ 512π ]解析 f(x)＝4sin ＝－4sin .(π3－ 2x) (2x－ π3)所以要求 f(x)的递减区间，4只需求 y＝4sin 的递增区间．(2x－π3)由－ ＋2 kπ≤2 x－ ≤ ＋2 kπ( k∈Z)，得π2 π3 π2－ ＋ kπ≤ x≤ π＋ kπ( k∈Z)．π12 512所以函数 f(x)的递减区间是(k∈Z)．[－π12＋ kπ ， 512π ＋ kπ ]7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是 ．答案 sin 68°cos 23°cos 97°解析 sin 68°＝cos 22°，又 y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°cos 23°cos 97°.题型一 三角函数的定义域和值域1．函数 f(x)＝－2tan 的定义域是( )(2x＋π6)A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!答案 D解析 由正切函数的定义域，得 2x＋ ≠ kπ＋ ， k∈Z，即 x≠ ＋ (k∈Z)，故选 D.π6 π2 kπ2 π62．函数 y＝ 的定义域为 ．sin x－ cos x答案 (k∈Z)[2kπ ＋π4， 2kπ ＋ 5π4]解析 方法一 要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0.利用图像，在同一坐标系中画出[0,2π]上 y＝sin x和 y＝cos x的图像，如图所示．在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x的 x为 ， ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π，π45π4所以原函数的定义域为Error!.5方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为Error!.3．(2017·郑州月考)已知函数 f(x)＝sin ，其中 x∈ ，若 f(x)的值域是(x＋π6) [－ π3， a]，则实数 a的取值范围是 ．[－12， 1]答案 [π3， π ]解析 ∵ x∈ ，∴ x＋ ∈ ，[－π3， a] π6 [－ π6， a＋ π6]∵当 x＋ ∈ 时， f(x)的值域为 ，π6 [－ π6， π2] [－ 12， 1]∴由函数的图像(图略)知 ≤ a＋ ≤ ，∴ ≤ a≤π.π2 π6 7π6 π34．(2018·长沙质检)函数 y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为 ．答案 [－12－ 2， 1]解析 设 t＝sin x－cos x，则 t2＝sin 2x＋cos 2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝ ，1－ t22且－ ≤ t≤ .2 2∴ y＝－ ＋ t＋ ＝－ (t－1) 2＋1， t∈[－ ， ]．t22 12 12 2 2当 t＝1 时， ymax＝1；当 t＝－ 时， ymin＝－ － .212 2∴函数的值域为 .[－12－ 2， 1]思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用 sin x和 cos x的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成 y＝ Asin(ωx ＋ φ )(A， ω ≠0)的形式求值域；6③通过换元，转换成二次函数求值域．题型二 三角函数的单调性命题点 1 求三角函数的单调性典例 (1)函数 f(x)＝tan 的递增区间是( )(2x－π3)A. (k∈Z)[kπ2－ π12， kπ2＋ 5π12]B. (k∈Z)(kπ2－ π12， kπ2＋ 5π12)C. (k∈Z)(kπ ＋π6， kπ ＋ 2π3)D. (k∈Z)[kπ －π12， kπ ＋ 5π12]答案 B解析 由 kπ－ ＜2 x－ ＜ kπ＋ (k∈Z)，π2 π3 π2得 － ＜ x＜ ＋ (k∈Z)，kπ2 π12 kπ2 5π12所以函数 f(x)＝tan 的递增区间是(2x－π3)(k∈Z)，故选 B.(kπ2－ π12， kπ2＋ 5π12)(2)(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数 y＝ sin x＋ cos x12 32的递增区间是 ．(x∈ [0，π2])答案 [0，π6]解析 ∵ y＝ sin x＋ cos x＝sin ，12 32 (x＋ π3)由 2kπ－ ≤ x＋ ≤2 kπ＋ (k∈Z)，π2 π3 π2解得 2kπ－ ≤ x≤2 kπ＋ (k∈Z)．5π6 π67∴函数的递增区间为 (k∈Z)，[2kπ －5π6， 2kπ ＋ π6]又 x∈ ，∴递增区间为 .[0，π2] [0， π6]命题点 2 根据单调性求参数典例 已知 ω ＞0，函数 f(x)＝sin 在 上是减少的，则 ω 的取值范围是 (ω x＋π4) (π2， π )．答案 [12， 54]解析 由 ＜ x＜π， ω ＞0，得π2＋ ＜ ωx ＋ ＜ ω π＋ ，ω π2 π4 π4 π4又 y＝sin x的递减区间为 ， k∈Z，[2kπ ＋π2， 2kπ ＋ 3π2]所以 Error!k∈Z，解得 4k＋ ≤ ω ≤2 k＋ ， k∈Z.12 54又由 4k＋ － ≤0， k∈Z 且 2k＋ 0， k∈Z，得 k＝0，所以 ω ∈ .12 (2k＋ 54) 54 [12， 54]引申探究本例中，若已知 ω 0，函数 f(x)＝cos 在 上是增加的，则 ω 的取值范围(ω x＋π4) (π2， π )是 ．答案 [32， 74]解析 函数 y＝cos x的递增区间为[－π＋2 kπ，2 kπ]， k∈Z，则 Error!k∈Z，解得 4k－ ≤ ω ≤2 k－ ， k∈Z，52 14又由 4k－ － ≤0， k∈Z 且 2k－ ＞0， k∈Z，52 (2k－ 14) 14得 k＝1，所以 ω ∈ .[32， 74]思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如 y＝ Asin(ωx ＋ φ )或 y＝ Acos(ωx ＋ φ )(其中 ω ＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋ φ ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果 ω ＜0，可借助诱导公式将 ω 化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求8解．跟踪训练 (2017·济南模拟)若函数 f(x)＝sin ωx (ω 0)在区间 上是增加的，在区[0，π3]间 上是减少的，则 ω 等于( )[π3， π2]A. B.23 32C．2 D．3答案 B解析 由已知得 ＝ ，T4 π3∴ T＝ ，∴ ω ＝ ＝ .4π3 2πT 32题 型 三 三 角 函 数 的 周 期 性 、 奇 偶 性 、 对 称 性命题点 1 三角函数的周期性典例 (1)在函数① y＝cos|2 x|，② y＝|cos x|，③ y＝cos ，④ y＝tan 中，(2x＋π6) (2x－ π4)最小正周期为 π 的所有函数为( )A．①②③ B．①③④C．②④ D．①③答案 A解析 ① y＝cos|2 x|＝cos 2 x，最小正周期为 π；②由图像知 y＝|cos x|的最小正周期为 π；③ y＝cos 的最小正周期 T＝ ＝π；(2x＋π6) 2π2④ y＝tan 的最小正周期 T＝ ，故选 A.(2x－π4) π2(2)若函数 f(x)＝2tan 的最小正周期 T满足 10， |φ |≤π2) π4f(x)的零点， x＝ 为 y＝ f(x)图像的对称轴，且 f(x)在 上单调，则 ω 的最大值π4 (π18， 5π36)为 ．答案 9解析 因为 x＝－ 为 f(x)的零点， x＝ 为 f(x)的图像的对称轴，所以 － ＝ ＋π4 π4 π4 (－ π4) T4，即 ＝ T＝ · ，所以 ω ＝2 k＋1( k∈N)，又因为 f(x)在 上单调，kT2 π2 2k＋ 14 2k＋ 14 2πω (π18， 5π36)所以 － ＝ ≤ ＝ ，即 ω ≤12，5π36 π18 π12 T2 2π2ω若 ω ＝11，又| φ |≤ ，则 φ ＝－ ，π2 π4此时， f(x)＝sin ， f(x)在 上是增加的，在 上是减少的，不满(11x－π4) (π18， 3π44) (3π44， 5π36)足条件．若 ω ＝9，又| φ |≤ ，则 φ ＝ ，π2 π410此时， f(x)＝sin ，满足 f(x)在 上单调的条件．(9x＋π4) (π18， 5π36)由此得 ω 的最大值为 9.思维升华 (1)对于函数 y＝ Asin(ωx ＋ φ )，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(2)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义．②利用公式： y＝ Asin(ωx ＋ φ )和 y＝ Acos(ωx ＋ φ )的最小正周期为 ，2π|ω |y＝tan( ωx ＋ φ )的最小正周期为 .π|ω |跟踪训练 (1)(2017·安徽江南十校联考)已知函数 f(x)＝sin( ωx ＋ φ )的最小正周期为 4π，且任意 x∈R，有 f(x)≤ f 成立，则 f(x)图(ω 0， |φ |0， ω 0)．若 f(x)在区间上具有单调性，且 f ＝ f ＝－ f ，则 f(x)的最小正周期为 ．[π6， π2] (π2) (2π3) (π6)解析 (1)A 项，因为 f(x)＝cos 的周期为 2kπ( k∈Z)，所以 f(x)的一个周期为(x＋π3)－2π，A 项正确；B项，因为 f(x)＝cos 图像的对称轴为直线 x＝ kπ－ (k∈Z)，所以 y＝ f(x)的图(x＋π3) π3像关于直线 x＝ 对称，B 项正确；8π312C项， f(x＋π)＝cos .令 x＋ ＝ kπ＋ (k∈Z)，得 x＝ kπ－ ，当 k＝1 时，(x＋4π3) 4π3 π2 5π6x＝ ，所以 f(x＋π)的一个零点为 x＝ ，C 项正确；π6 π6D项，因为 f(x)＝cos 的递减区间为 (k∈Z)，(x＋π3) [2kπ － π3， 2kπ ＋ 2π3]递增区间为 (k∈Z)，[2kπ ＋2π3， 2kπ ＋ 5π3]所以 是 f(x)的递减区间， 是 f(x)的递增区间，D 项错误．(π2， 2π3) [2π3， π )故选 D.(2)由图像知，周期 T＝2× ＝2，(54－ 14)∴ ＝2，∴ ω ＝π.2πω由 π× ＋ φ ＝ ＋2 kπ， k∈Z，不妨取 φ ＝ ，14 π2 π4∴ f(x)＝cos .(π x＋π4)由 2kπ0时，Error!∴ a＝3 －3， b＝5；2②当 a0， 函 数 f(x)＝ － 2asin ＋ 2a＋ b， 当 x∈ 时 ，(2x＋π 6) [0， π 2]－ 5≤ f(x)≤1.(1)求常数 a， b的值；(2)设 g(x)＝ f 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间．(x＋π2)解 (1)∵ x∈ ，∴2 x＋ ∈ ，[0，π2] π6 [π6， 7π6]∴sin ∈ ，(2x＋π6) [－ 12， 1]∴－2 asin ∈[－2 a， a]，(2x＋π6)∴ f(x)∈[ b,3a＋ b]，又∵－5≤ f(x)≤1，∴ b＝－5,3 a＋ b＝1，因此 a＝2， b＝－5.(2)由(1)得 f(x)＝－4sin －1，(2x＋π6)g(x)＝ f ＝－4sin －1(x＋π2) (2x＋ 7π6)＝4sin －1，(2x＋π6)又由 lg g(x)0，得 g(x)1，∴4sin －11，∴sin ，(2x＋π6) (2x＋ π6)12∴2 kπ＋ 2x＋ 2kπ＋ ， k∈Z，π6 π6 5π619其中当 2kπ＋ 2x＋ ≤2 kπ＋ ， k∈Z 时，π6 π6 π2g(x)是增加的，即 kπ x≤ kπ＋ ， k∈Z，π6∴ g(x)的递增区间为 ， k∈Z.(kπ ， kπ ＋π6]又∵当 2kπ＋ 2x＋ 2kπ＋ ， k∈Z 时，π2 π6 5π6g(x)是减少的，即 kπ＋ xkπ＋ ， k∈Z.π6 π3∴ g(x)的递减区间为 ， k∈Z.(kπ ＋π6， kπ ＋ π3)∴ g(x)的递增区间为 ， k∈Z，(kπ ， kπ ＋π6]递减区间为 ， k∈Z.(kπ ＋π6， kπ ＋ π3)