2019版高考数学一轮总复习 第十一章 计数原理和概率题组训练（打包11套）理.zip

1题组训练 78 两个计数原理1．有不同的语文书 9 本，不同的数学书 7 本，不同的英语书 5 本，从中选出不属于同一学科的书 2 本，则不同的选法有( )A．21 种 B．315 种C．143 种 D．153 种答案 C解析 可分三类：一类：语文、数学各 1 本，共有 9×7＝63 种；二类：语文、英语各 1 本，共有 9×5＝45 种；三类：数学、英语各 1 本，共有 7×5＝35 种；∴共有 63＋45＋35＝143 种不同选法．2．(2017·武汉市二中月考)从 1 到 10 的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是( )A．10 B．15C．20 D．25答案 D解析 当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有 5×5＝25(种)．3.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A．24 种 B．30 种C．36 种 D．48 种答案 D解析 共有 4×3×2×2＝48(种)，故选 D.4．5 名应届毕业生报考 3 所高校，每人报且仅报 1 所院校，则不同的报名方法的种数是( )A．3 5 B．5 3C．A 32 D．C 53答案 A解析 第 n 名应届毕业生报考的方法有 3 种(n＝1，2，3，4，5)，根据分步计算原理，不同的报名方法共有 3×3×3×3×3＝3 5(种)．5．(2018·沧州七校联考)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A．16 种 B．18 种2C．37 种 D．48 种答案 C解析 自由选择去四个工厂有 43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有 43－3 3＝37 种．6．某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了 2 个新节目．如要将这2 个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为( )A．42 B．30C．20 D．12答案 A解析 将新增的 2 个节目分别插入原定的 5 个节目中，插入第一个有 6 种插法，插入第 2个时有 7 个空，共 7 种插法，所以共 6×7＝42(种)．7．(2018·绵阳二诊)小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他，一共 7 人，一天爸爸从果园里摘了 7 个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥 4 位老人之一拿了最大的一个，则梨子的不同分法共有( )A．96 种 B．120 种C．480 种 D．720 种答案 C解析 由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥 4 位老人之一拿了最大的一个的拿法有 C41＝4 种，其余人的拿法有 A55＝120 种，故梨子的不同分法共有4×120＝480 种．8．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．5 B．4C．6 D．8答案 D解析 分类考虑，当公比为 2 时，等比数列可为 1，2，4；2，4，8，当公比为 3 时，可为1，3，9，当公比为 时，可为 4，6，9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因32此，共有 4×2＝8 个．9．(2014·安徽，理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A．24 对 B．30 对C．48 对 D．60 对答案 C3解析 先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成 60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征求解．如图，在正方体 ABCD－A 1B1C1D1中，与面对角线 AC 成 60°角的面对角线有 B1C，BC 1，A 1D，AD 1，AB 1，A 1B，D 1C，DC 1，共 8 条，同理与DB 成 60°角的面对角线也有 8 条．因此一个面上的 2 条面对角线与其相邻的 4 个面上的 8 条对角线共组成 16 对．又正方体共有 6 个面，所以共有16×6＝96(对)．又因为每对被计算了 2 次，因此成 60°的面对角线有 ×96＝48(对)．1210．(2018·定州一模)将“福” 、 “禄” 、 “寿”填入到如图所示的 4×4 小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写办法有( )A.288 种 B．144 种C．576 种 D．96 种答案 C解析 依题意可分为以下 3 步：(1)先从 16 个格子中任选一格放入第一个汉字，有 16 种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有 9 个格子可以放，有 9 种方法；(3)第三个汉字只有 4 个格子可以放，有 4 种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有 16×9×4＝576 种．11.(2018·福建福州闽侯二中期中)把 3 盆不同的兰花和 4 盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的 1，2，3，4，5，6，7 所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有( )A．2 680 种 B．4 320 种C．4 920 种 D．5 140 种答案 B解析 由题图可知 7 个点可组成的三角形有 C73－5＝30 个，∵三盆兰花不能放在一条直线上，∴可放入三角形的三个顶点上，有 C301A33＝180 种放法，再放 4 盆不同的玫瑰花，没有限制，放在剩余 4 个位置，有 A44＝24 种放法，∴不同的摆放方法有 180×24＝4 320种．12．已知 I＝{1，2，3}，A，B 是集合 I 的两个非空子集，且 A 中所有数的和大于 B 中所有数的和，则集合 A，B 共有( )A．12 对 B．15 对4C．18 对 D．20 对答案 D解析 依题意，当 A，B 均有一个元素时，有 3 对；当 B 有一个元素，A 有两个元素时，有8 对；当 B 有一个元素，A 有三个元素时，有 3 对；当 B 有两个元素，A 有三个元素时，有3 对；当 A，B 均有两个元素时，有 3 对；共 20 对，选择 D.13．(2017·邯郸一中模拟)我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”)，则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有( )A．18 个 B．15 个C．12 个 D．9 个答案 B解析 依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4，0，0 组成有 3 个数，分别为 400，040，004；由 3，1，0 组成有 6 个数，分别为310，301，130，103，013，031；由 2，2，0 组成有 3 个数，分别为 220，202，022；由2，1，1 组成有 3 个数，分别为 211，121，112，共 3＋6＋3＋3＝15 个．14．直线方程 Ax＋By＝0，若从 0，1，2，3，5，7 这 6 个数字中任取两个不同的数作为A，B 的值，则可表示________条不同的直线．答案 22解析 分成三类：A＝0，B≠0；A≠0，B＝0 和 A≠0，B≠0，前两类各表示 1 条直线；第三类先取 A 有 5 种取法，再取 B 有 4 种取法，故 5×4＝20 种．所以可以表示 22 条不同的直线．15．由 1 到 200 的自然数中，各数位上都不含 8 的有________个．答案 162解析 一位数 8 个，两位数 8×9＝72 个．3 位数有 9×9＝81 个，另外2 × ×1 个(即 200)，共有 8＋72＋81＋1＝162 个．16．某书店有 11 种杂志，2 元 1 本的 8 种，1 元 1 本的 3 种，小张用 10 元钱买杂志(每种至多买一本，10 元钱刚好用完)，则不同买法的种数是________种(用数字作答)．答案 266解析 分两类：第一类，买 5 本 2 元的有 C85种；第二类，买 4 本 2 元的和 2 本 1 元的有C84×C32种．故共有 C85＋C 84×C32＝266 种不同的买法种数．1 × ×517．(2017·东北三校联考)在平面直角坐标系内，点 P(a，b)的坐标满足 a≠b，且 a，b 都是集合{1，2，3，4，5，6}中的元素，又点 P 到原点的距离|OP|≥5，则这样的点 P 的个数为______．答案 20解析 依题意可知：当 a＝1 时，b＝5，6，两种情况；当 a＝2 时，b＝5，6，两种情况；当 a＝3 时，b＝4，5，6，三种情况；当 a＝4 时，b＝3，5，6，三种情况；当 a＝5 或 6 时，b 各有五种情况．所以共有 2＋2＋3＋3＋5＋5＝20 种情况．18．标号为 A，B，C 的三个口袋，A 袋中有 1 个红色小球，B 袋中有 2 个不同的白色小球，C 袋中有 3 个不同的黄色小球，现从中取出 2 个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？答案 (1)11 (2)4解析 (1)若两个球颜色不同，则应在 A，B 袋中各取一个或 A，C 袋中各取一个，或 B，C袋中各取一个．∴应有 1×2＋1×3＋2×3＝11 种．(2)若两个球颜色相同，则应在 B 或 C 袋中取出 2 个．∴应有 1＋3＝4 种．19．三边长均为整数，且最大边长为 11 的三角形的个数是多少？答案 36 个解析 设较小的两边长为 x、y 且 x≤y，则 {x≤ y≤ 11，x＋ y11，x、 y∈ N*.)当 x＝1 时，y＝11；当 x＝2 时，y＝10，11；当 x＝3 时，y＝9，10，11；当 x＝4 时，y＝8，9，10，11；当 x＝5 时，y＝7，8，9，10，11；当 x＝6 时，y＝6，7，8，9，10，11；当 x＝7 时，y＝7，8，9，10，11；……当 x＝11 时，y＝11.6所以不同三角形的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36 个．1．如果一个三位正整数“a 1a2a3”满足 a1a2且 a3a2，则称这样的三位数为凸数(120，343，275)，那么所有凸数的个数为( )A．240 B．204C．729 D．920答案 A解析 当中间数为 2 时，有 1×2＝2 个；当中间数为 3 时，有 2×3＝6 个；当中间数为 4时，有 3×4＝12 个；当中间数为 5 时，有 4×5＝20 个；当中间数为 6 时，有 5×6＝30 个；当中间数为 7 时，有 6×7＝42 个；当中间数为 8 时，有 7×8＝56 个；当中间数为 9 时，有 8×9＝72 个．故共有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240 个凸数．2．从 2，3，4，5，6，7，8，9 这 8 个数中任取 2 个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( )A．56 B．54C．53 D．52答案 D解析 在 8 个数中任取 2 个不同的数共有 8×7＝56 个对数值；但在这 56 个数值中，log24＝log 39，log 42＝log 93，log 23＝log 49，log 32＝log 94，即满足条件的对数值共有56－4＝52 个．3．(2017·山东济宁模拟)6 人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘 4 人，则不同的乘车方案数为( )A．70 B．60C．50 D．40答案 C解析 C 62＋C 63＋C 64＝50，故选 C.4．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出 5 个数组成该集合的子集，使得这 5 个数中任意两个数的和都不等于 11，则这样的子集有( )A．32 个 B．34 个C．36 个 D．38 个答案 A解析 先把数字分成 5 组：{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}，由于选出的 5 个数中，任意两个数的和都不等于 11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32 个这样的子集．75．某大楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A．1 205 秒 B．1 200 秒C．1 195 秒 D．1 190 秒答案 C解析 要实现所有不同的闪烁且需要的时间最少，只要所有闪烁连续地、不重复地依次闪烁一遍．而所有的闪烁共有 A55＝120 个；因为在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，即每个闪烁的时长为 5 秒，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒，所以要实现所有不同的闪烁，需要的时间至少是 120×(5＋5)－5＝1 195 秒．6．若从集合 P 到集合 Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有 81 个，则从集合 Q 到集合 P 所有的不同映射共有( )A．32 个 B．27 个C．81 个 D．64 个答案 D解析 可设 P 集合中元素的个数为 x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得 P→Q 的映射种数为 3x＝81，可得 x＝4.反过来，可得 Q→P 的映射种数为 43＝64.7.(2018·山东日照模拟)将 1，2，3，…，9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当 3，4 固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )A．6 种 B．12 种C．18 种 D．24 种答案 A解析 因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1，2，9 只有一种填法，5 只能填在右上角或左下角，5 填好后之相邻的空格可填 6，7，8 任一个，余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有 2×3＝6 种结果，故选 A.8．(2018·郑州市市高三第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )A．72 B．120C．192 D．240答案 D解析 将“数字 124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，(1)若末位数8字为 2，因为含有 2 个 4，所以有 ＝60 种情况；(2)若末位数字为5×4×3×2×126，同理有 ＝60 种情况；(3)若末位数字为 4，因为有两个相同数5×4×3×2×12字 4，所以共有 5×4×3×2×1＝120 种情况．综上，共有 60＋60＋120＝240 种情况．9.如图所示，用五种不同的颜色分别给 A，B，C，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．答案 180解析 按区域分四步：第一步，A 区域有 5 种颜色可选；第二步，B 区域有 4 种颜色可选；第三步，C 区域有 3 种颜色可选；第四步，D 区域也有 3 种颜色可选．由分步乘法计数原理，可得共有 5×4×3×3＝180 种不同的涂色方法．10.用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案共有________种．答案 30解析 由题意知每种颜色涂两个圆，共有 5 类，每类 A33种涂法，所以总数为 5A33＝30.注：将六圆依次编号①②③④⑤⑥，可分如下 5 类：①③，②⑤，④⑥，①④，②⑤，③⑥，①④，②⑥，③⑤，①⑤，②④，③⑥，①⑥，②④，③⑤.11．现安排一份 5 天的工作值班表，每天有一个人值日，共有 5 个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有________种不同的排法．答案 1 280解析 完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有 5 种不同排法，第二天不能与第一天已排人的相同，所以有 4 种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有 4 种不同排法，所以共有 5×4×4×4×4＝1 280 种不同的排法．1题组训练 79 排列与组合1．若 A2n3＝10A n3，则 n＝( )A．1 B．8C．9 D．10答案 B解析 原式等价于 2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，整理得 n＝8.2．(2017·东北四市联考)甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法( )A．10 B．16C．20 D．24答案 C解析 一排共有 8 个座位，现有两人就坐，故有 6 个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在 6 个空座的中间 5 个空中插入 2 个座位让两人就坐，即有 A52＝20 种坐法．3．(2017·广东汕头模拟)某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有( )A．4 种 B．10 种C．18 种 D．20 种答案 B解析 分两类：第一类是取出 1 本画册，3 本集邮册，此时赠送方法有 C41＝4 种；第二类是取出 2 本画册，2 本集邮册，此时赠送方法有 C42＝6 种，故赠送方法共有 4＋6＝10 种．4．用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A．324 B．328C．360 D．648答案 B解析 首先应考虑“0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有 A92＝9×8＝72 个，当 0 不排在末位时，有 A41A81A81＝4×8×8＝256 个，于是由分类加法计算原理，得符合题意的偶数共有 72＋256＝328 个．5．5 名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有( )A．A 55·A42种 B．A 55·A52种C．A 55·A62种 D．A 77－2A 66种答案 A解析 先排大人，有 A55种排法，再排小孩，有 A42种排法(插空法)．故有 A42·A55种不同2的排法．6．(2018·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )A．60 种 B．20 种C．10 种 D．8 种答案 C分析 先安排四盏不亮的路灯，再利用“插入法” ，插入三盏亮的路灯，即可得结果．解析 根据题意，可分两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有 1 种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有 5 个空位，在 5 个空位中任意选 3 个，插入三盏亮的路灯，有 C53＝10(种)情况．故不同的开灯方案共有 10×1＝10(种)，故选 C.解题技巧 破解此类题的关键点：一是“定元” ，确定要求不相邻的元素及其个数；二是“插空” ，先排无位置要求的几个元素(注意是“有序”还是“无序”)，再把规定不相邻的元素插入无位置要求的元素的两端和元素之间的空位；三是“计数” ，根据两个计数原理求出不同的排列总数．易错提醒 本题的易错点有两处：一是“有序” “无序”识别不清，如本题，先安排四盏不亮的路灯时误以为“有序” ，得到 A44种不同的排法，导致结果出错；二是插入的空位漏算头尾两处，导致出错．7．(2014·四川，理)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A．192 种 B．216 种C．240 种 D．288 种答案 B解析 根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．第一类：甲在左端，有 A55＝5×4×3×2×1＝120 种方法；第二类：乙在最左端，有 4A44＝4×4×3×2×1＝96 种方法．所以共有 120＋96＝216 种方法．8．用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20 000 大的五位偶数共有( )A．288 个 B．240 个C．144 个 D．126 个答案 B解析 对个位是 0 和个位不是 0 两类情形分类计算；对每一类情形按“个位——最高位——中间三位”分步计数：①个位是 0 并且比 20 000 大的五位偶数有 1×4×A43＝96 个；②3个位不是 0 并且比 20 000 大的五位偶数有 2×3×A43＝144 个；故共有 96＋144＝240个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．9．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是( )A．20 种 B．19 种C．10 种 D．9 种答案 B解析 “error”由 5 个字母组成，其中 3 个相同，这相当于 5 个人站队，只要给 e、o 选定位置，其余三个相同的字母 r，位置固定，即所有拼写方式为 A52，error 拼写错误的种数为 A52－1＝19.10．有 5 列火车分别准备停在某车站并行的 5 条轨道上，若快车 A 不能停在第 3 道上，货车 B 不能停在第 1 道上，则 5 列火车不同的停靠方法数为( )A．56 B．63C．72 D．78答案 D解析 若没有限制，5 列火车可以随便停，则有 A55种不同的停靠方法；快车 A 停在第 3 道上，则 5 列火车不同的停靠方法为 A44种；货车 B 停在第 1 道上，则 5 列火车不同的停靠方法为 A44种；快车 A 停在第 3 道上，且货车 B 停在第 1 道上，则 5 列火车不同的停靠方法为 A33种．故符合要求的 5 列火车不同的停靠方法数为 A55－2A 44＋A 33＝120－48＋6＝78.11．(2018·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有( )A．24 B．28C．36 D．48答案 D解析 分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有 A22A42＝24 种；(2)当红红之间无蓝时，则有 C21A22C21C31＝24 种．因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有 48 种排法．故选 D.12．安排 7 位工作人员在 10 月 1 日到 10 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在 10 月 1 日和 10 月 2 日的不同的安排方法共有__________种．答案 2 400解析 共有 A52A55＝2 400 种不同的安排方法．13．一份试卷有 10 道考题，分为 A，B 两组，每组 5 题，要求考生选答 6 题，但每组最多选 4 题，则每位考生有________种选答方案．答案 2004解析 分三类：A 组 4 题 B 组 2 题，A 组 3 题 B 组 3 题，A 组 2 题 B 组 4 题．共有C54C52＋C 53C53＋C 52C54＝50＋100＋50＝200 种．14．(2017·沧州七校联考)由 0，1，2，…，9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于 8 的个数为________个．答案 210解析 若个位数和百位数是 0，8，则方法数是 A22A82＝112；若个位数和百位数是 1，9，则由于首位不能排 0，则方法数是 A22C71C71＝98，故总数是 112＋98＝210.15．(2017·四川成都二诊)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的 7 个专业中，选择 3 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种．答案 180解析 从 7 个专业选 3 个，有 C73＝35 种选法，甲、乙同时兼报的有 C22·C51＝5 种选法，则专业共有 35－5＝30 种选法，则按照专业顺序进行报考的方法种数为 A33×30＝180.16．用 0，1，2，…，9 十个数字组成五位数，其中 3 个奇数与 2 个偶数且数字不重复的五位数有________个．答案 11 040解析 一类：含有数字 0：C 53C41C41A44＝3 840.二类：没有数字 0：C 53C42A55＝7 200.由分类加法计数原理得：共有 11 040.17．甲、乙两人从 4 门课程中各选 2 门，求(1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？答案 (1)24 (2)30解析 (1)甲、乙两人从 4 门课程中各选 2 门，且甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选法种数共有 C42C21C21＝24 种．(2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C42C42，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 C42种，因此满足条件的不同选法种数为 C42C42－C 42＝30 种．18．从 1 到 9 的 9 个数字中取 3 个偶数 4 个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？答案 (1)100 800 个 (2)14 400 个 (3)5 760 个解析 (1)分三步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，有 C43种情况；第二步，在 5 个奇数中取 4 个，有 C54种情况；5第三步，3 个偶数和 4 个奇数进行排列，有 A77种情况．所以符合题意的七位数有C43C54A77＝100 800 个．(2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C43C54A55A33＝14 400 个．(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有 C43C54A33A44A22＝5 760个．1．(2018·广东佛山一中月考)以正六边形的顶点和中心为三角形的顶点，可以构造不同的三角形的个数为( )A．35 B．32C．30 D．27答案 B解析 从 7 个点中选 3 个点有 C73种情况，其中三点共线的情况有 3 种，故可以构造不同的三角形的个数为 C73－3＝32.2．(2018·山东师大附中模拟)甲、乙、丙三人轮流值日，从周一到周六每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可以排出不同的值日表有( )A．50 种 B．72 种C．48 种 D．42 种答案 D解析 C 41·C42·C22＋C 42·C32·C22＝42，故选 D.3．某电视台从录制的 5 个新闻报道和 4 个人物专访中选出 5 个，准备在 7 月 1 日于 7 月 5日中每天播出一个，若新闻报道不少于 3 个，则不同的播出方法共有( )A．81 种 B．810 种C．9 600 种 D．9 720 种答案 D解析 (C 53C42＋C 54C41＋C 55)·A55＝9 720 种．4．(2017·山东师大附中模拟)从 5 名男医生，4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A．70 种 B．80 种C．100 种 D．140 种答案 A解析 从 9 名医生中任选 3 名有 C93＝84 种，都是男医生和都是女医生的有 C53＋C 43＝14 种，男、女医生都有的选法为 84－14＝70 种．5．(2016·四川)用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．486C．60 D．72答案 D解析 C 31×A44＝72.选 D.6．(名师原创)“整治裸官” “小官巨贪” “拍蝇打虎” “境外追逃” “回马枪”成为 2016 年中国反腐的 5 个焦点．某大学新闻系学生用 2017 年元旦的时间调查社会对这些热点的关注度，若准备按顺序分别调查其中的 4 个热点，则“整治裸官”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________．答案 72解析 先从“小官巨贪” “拍蝇打虎” “境外追逃” “回马枪”这 4 个热点中选出 3 个，有C43种不同的选法；在调查时， “整治裸官”安排的顺序有 A31种可能情况，其余三个热点顺序有 A33种，故不同调查顺序的总数为 C43A31A33＝72.7．(2017·天津)用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)答案 1 080解析 一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有 C41C53A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有 A54＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有 960＋120＝1 080(个)．8．从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)答案 660解析 分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，故有 C84－C 64＝55 种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、副队长各 1 人，有 A42＝12 种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有 55×12＝660 种不同的选法．1题组训练 80 二项式定理1．(2017·湖北宜昌一中月考)从 1 到 10 十个数中，任意选取 4 个数，其中，第二大的数是 7 的情况共有( )A．18 种 B．30 种C．45 种 D．84 种答案 C解析 分两步：先从 8、9、10 这三个数中选取一个数作最大的数有 C31种方法；再从1、2、3、4、5、6 这六个数中选取两个比 7 小的数有 C62种方法，故共有 C31C62＝45 种情况，应选择 C.2．将 5 名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排 2 名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )A．10 B．20C．30 D．40答案 B解析 将 5 名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排 2 名学生，那么必然是一个宿舍 2 名，而另一个宿舍 3 名，共有 C53C22×2＝20(种)，故选 B.3．(2018·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员 2 名、1 名、1 名，现从 10 名应聘人员中招聘 4 人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( )A．1 260 种 B．2 025 种C．2 520 种 D．5 040 种答案 C解析 先从 10 人中选 2 人去甲部门，再从剩下的 8 人中选 2 人去乙、丙两个部门，有C102A82＝2 520 种不同的招聘方法．4．(2017·课标全国Ⅱ，理)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )A．12 种 B．18 种C．24 种 D．36 种答案 D解析 因为安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，所以必有 1 人完成 2 项工作．先把 4 项工作分成 3 组，即 2，1，1，有 ＝6 种，再C42C21C11A22分配给 3 个人，有 A33＝6 种，所以不同的安排方式共有 6×6＝36(种)．5．将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子中，若每个盒子放 2 个，2其中标号为 1，2 的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( )A．12 种 B．16 种C．18 种 D．36 种答案 C解析 可先分组再排列，所以有 C42A33＝18(种)放法．126．(2017·安徽毛坦厂中学阶段测试)6 名志愿者(其中 4 名男生，2 名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多 4 人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有( )A．40 种 B．48 种C．60 种 D．68 种答案 B解析 4，2 分法：A 22(C64－1)＝14×2＝28，3，3 分法：C 63C33＝20，∴共有 48 种．7．某校高一有 6 个班，高二有 5 个班，高三有 8 个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为( )A．C 62C52C82 B．C 62＋C 52＋C 82C．A 62A52A82 D．C 192答案 B解析 依题意，高一比赛有 C62场，高二比赛有 C52场，高三比赛有 C82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为 C62＋C 52＋C 82，选 B.8．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )A．18 B．24C．30 D．36答案 C解析 排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将 4 人分成三组有 C42＝6 种方法，再将三组同学分配到三个班级有 A33＝6 种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有 A33＝6 种，所以共有 C42A33－A 33＝30 种分法．故选 C.9．(2018·西安五校)某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A．80 种 B．90 种C．120 种 D．150 种答案 D3解析 有二类情况：(1)其中一所学校 3 名教师，另两所学校各一名教师的分法有C53A33＝60(种)；(2)其中一所学校 1 名教师，另两所学校各两名教师的分法有C51× ×A33＝90(种)．∴共有 150 种．故选 D.C42210．(2017·河北唐山一中模拟)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了 50 台完全相同的校车，准备发放给 10 所学校，每所学校至少 2 台，则不同的发放方案的种数有( )A．C 419 B．C 389C．C 409 D．C 399答案 D解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下 40 台；将剩下的 40 台象排队一样排列好，则这 40 台校车之间有 39 个空．对这 39 个空进行插空(隔板)，比如说用 9 个隔板隔开，就可以隔成 10 部分了．所以是在 39 个空里选 9 个空插入隔板，所以是 C399.11．某学校 4 位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 30 分，答错得－30 分；选乙题答对得 10 分，答错得－10分．若 4 位同学的总分为 0，则这 4 位同学不同得分情况的种数是( )A．24 B．36C．40 D．44答案 D解析 分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有 C42×2×2＝24(种)；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有 C21C42＝12(种)情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有 C41＝4(种)情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有 C41＝4(种)情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44(种)不同的情况．故选 D.12．(2017·湖南衡阳八中期末)有 6 名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排 4 人，则不同的安排方法有________种(用数字作答)．答案 50解析 因为每项活动最多安排 4 人，所以可以有三种安排方法，即(4，2)，(3，3)，(2，4)．当安排 4，2 时，需要选出 4 个人参加第一个项目，共有 C64＝15 种；当安排3，3 时，共有 C63＝20 种；当安排 2，4 时，共有 C62＝15 种，所以共有 15＋20＋15＝50种．413．(2017·山东聊城重点高中联考)三位老师分配到 4 个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去 2 个人，则不同的分配方法有________种．答案 60解析 若每个村去一个人，则有 A43＝24 种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去一人，则有 C31A42＝36 种分配方法，所以共有 60 种不同的分配方法．14．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生 A 不分配到甲班的分配方案种数是________．答案 100解析 A 的分配方案有 2 种，若 A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋ )A22＝14；若 A 分配到的班级再分配一C42C22A22名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C41C31A22＝24；若 A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是 C42A22＝12.故总数为 2×(14＋24＋12)＝100.15．(2017·北京海淀区二模)某运输公司有 7 个车队，每个车队的车辆均多于 4 辆．现从这个公司中抽调 10 辆车，并且每个车队至少抽调 1 辆，那么共有________种不同的抽调方法．答案 84解析 方法一：(分类法)，在每个车队抽调 1 辆车的基础上，还需抽调 3 辆车．可分成三类：一类是从某 1 个车队抽调 3 辆，有 C71种；一类是从 2 个车队中抽调，其中 1 个车队抽调 1 辆，另 1 个车队抽调 2 辆，有 A72种；一类是从 3 个车队中各抽调 1 辆，有 C73种．故共有 C71＋A 72＋C 73＝84(种)抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于 4 辆，只需将 10 个份额分成 7 份．可将10 个小球排成一排，在相互之间的 9 个空当中插入 6 个隔板，即可将小球分成 7 份，故共有 C96＝84(种)抽调方法．16．(2017·安徽皖北协作区联考)3 个单位从 4 名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘 1 人(4 名大学毕业生不一定都能选聘上)，则不同的选聘方法种数为________．(用具体数字作答)答案 60解析 当 4 名大学毕业生全选时有 ·A33，当选 3 名大学毕业生时有 A43，即不同的C41C31A22选聘方法种数为 ·A33＋A 43＝60.C41C31A2217．(2017·人大附中期末)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将这8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．5答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按 2 张，1 张分给 4 个人中的 2 个人，种数为C32C11A42＝36；另一种将 3 张有奖的奖券分给 4 个人中的 3 个人，种数为 A43＝24，则获奖情况总共有 36＋24＝60 种．1．(2017·安徽毛坦厂中学月考)今年，我校迎来了安徽师范大学数学系 5 名实习教师，若将这 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有( )A．180 种 B．120 种C．90 种 D．60 种答案 C解析 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少一名，最多 2 名，则将 5名教师分成三组，一组 1 个，另两组都是 2 人，有 ＝15(种)方法．再将 3 组分到C51·C42A223 个班，共有 15·A33＝90(种)不同的分配方案．故选 C.2．计划将排球、篮球、乒乓球 3 个项目的比赛安排在 4 个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排方案共有( )A．60 种 B．42 种C．36 种 D．24 种答案 A解析 若 3 个项目分别安排在 3 个不同的场馆，则安排方案共有 A43＝24(种)；若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有 C32·A42＝36(种)．综上，在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排方案共有 24＋36＝60(种)．故选 A.3．某科室派出 4 名调研员到 3 个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( )A．144 B．72C．36 D．48答案 C解析 分两步完成：第一步将 4 名调研员按 2，1，1 分成三组，其分法有 种；第C42C21C11A22二步将分好的三组分配到 3 个学校，其分法有 A33种．所以满足条件的分配方案有×A33＝36(种)．C42C21C11A224．(2018·衡水中学调研卷)将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，6使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A．10 种 B．20 种C．36 种 D．52 种答案 A解析 将 4 个小球分 2 组，① ＝3 种；②C 41C33＝4 种．①中的这 3 种分组方法任意C42C22A22放均满足条件，∴3×A 22＝6 种放法．②中的 4 种分组方法各只对应 1 种放法．故总种数为6＋4＝10 种．5．某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这 6 项工程的不同方法总数为( )A．10 B．20C．30 D．40答案 B解析 因为工程丙完成后立即进行工程丁，若不考虑与其他工程的顺序，则安排这 6 项工程的不同方法数为 A55，对于甲、乙、丙、丁所处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求，因此，符合条件的安排方法总数为 ＝5×4＝20.A55A336．(2018·诸暨一模)在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别，同时为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国的人员要在 a，b，c 三家酒店各选择一家，且每家酒店至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有( )A．96 种 B．124 种C．130 种 D．150 种答案 D解析 可以把五个参会国的人员分成三组，一种是按照 1，1，3 分；另一种是按照1，2，2 分．当按照 1，1，3 分时，共有 C53A33＝60 种方法；当按照 1，2，2 分时，共有＝90 种方法．根据分类加法计数原理可得安排方法共有 60＋90＝150 种．C52C32A33A22