2019版高考数学一轮复习 第4章 平面向量（课件+学案+练习）（打包12套）理.zip

课后作业夯关4.1 平面向量的概念及线性运算 14．1 平面向量的概念及线性运算[知识梳理]1．向量的有关概念22．向量的线性运算33．共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数 λ ，使得 b＝ λ a.特别提醒：(1)限定 a≠0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性．(2)零向量与任何向量共线．(3)平行向量与起点无关．(4)若存在非零实数 λ ，使得 ＝ λ 或 ＝ λ 或 ＝ λ ，则 A， B， C 三点共AB→ AC→ AB→ BC→ AC→ BC→ 线．[诊断自测]1．概念思辨(1)△ ABC 中， D 是 BC 中点， E 是 AD 的中点，则 ＝ ( ＋ )．( )AE→ 14AC→ AB→ (2)若 a∥ b， b∥ c，则 a∥ c.( )(3)向量 与向量 是共线向量，则 A， B， C， D 四点在一条直线上．( )AB→ CD→ (4)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b＝ λ a，反之成立．( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修 A4P78A 组 T5)设 D 为△ ABC 所在平面内一点， ＝3 ，则( )BC→ CD→ A. ＝－ ＋ B. ＝ －AD→ 13AB→ 43AC→ AD→ 13AB→ 43AC→ 4C. ＝ ＋ D. ＝ －AD→ 43AB→ 13AC→ AD→ 43AB→ 13AC→ 答案 A解析 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝－ ＋ .故选 A.AD→ AB→ BD→ AB→ 43BC→ AB→ 43AC→ AB→ 13AB→ 43AC→ (2)(必修 A4P92A 组 T12)已知▱ ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且 ＝ a， ＝ b，则OA→ OB→ ＝________， ＝________(用 a， b 表示)．DC→ BC→ 答案 b－ a － a－ b解析 如图， ＝ ＝ － ＝ b－ a， ＝ － ＝－ － ＝－ a－ b.DC→ AB→ OB→ OA→ BC→ OC→ OB→ OA→ OB→ 3．小题热身(1)设 a0为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝| a|a0；②若 a 与 a0平行，则 a＝| a|a0；③若 a 与 a0平行且| a|＝1，则 a＝ a0.上述命题中，假命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量， a 与| a|a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－| a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.故选 D.(2)设 e1， e2是两个不共线的向量，且 a＝ e1＋ λ e2与 b＝－ e2－ e1共线，则实数13λ ＝________.答案 13解析 ∵ a＝ e1＋ λ e2与 b＝－ e2－ e1共线，∴存在实数 t，使得 b＝ ta，即13－ e2－ e1＝ t(e1＋ λ e2)，－ e2－ e1＝ te1＋ tλ e2，∴ t＝－1， tλ ＝－ ，即 λ ＝ .13 13 13 13题型 1 平面向量的基本概念判断下列各命题是否正确： 典 例(1)单位向量都相等；5(2)|a|与| b|是否相等，与 a， b 的方向无关；(3)若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 ＝ 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；AB→ DC→ (4)若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线；(5)两向量 a， b 相等的充要条件是| a|＝| b|且 a∥ b.根据向量的相关概念判定．解 (1)不正确．(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．(3)正确，∵ ＝ ，∴| |＝| |且 AB∥ DC.AB→ DC→ AB→ DC→ 又∵ A， B， C， D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 是平行四边形．反之，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB 綊 DC，且与 方向相同．因此 ＝ .AB→ DC→ AB→ DC→ (4)不正确，当 b＝0 时， a 与 c 可以不共线．(5)不正确，当 a∥ b，但方向相反时，即使| a|＝| b|，也不能得到 a＝ b.方法技巧解决向量的概念问题应关注五点1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．4．非零向量 a 与 的关系： 是 a 方向上的单位向量．a|a| a|a|5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．冲关针对训练下列 4 个命题：(1)若向量 a 与 b 同向，且| a||b|，则 ab；(2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；(3)λ ， μ 为实数，若 λ a＝ μ b，则 a 与 b 共线；(4)两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．其中错误命题的序号为________．答案 (1)(2)(3)解析 (1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小．6(2)不正确．由零向量方向性质可得 0 与任一向量平行．(3)不正确．当 λ ＝ μ ＝0 时， a 与 b 可能不共线．(4)正确．题型 2 平面向量的线性运算如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分 典 例点，那么 等于( )EF→ A. －12AB→ 13AD→ B. ＋14AB→ 12AD→ C. ＋12AB→ 12DA→ D. －12AB→ 23AD→ 用向量的三角形法则转化．答案 D解析 在△ CEF 中，有 ＝ ＋ .EF→ EC→ CF→ 因为点 E 是 DC 的中点，所以 ＝ .EC→ 12DC→ 因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以 ＝ .CF→ 23CB→ 所以 ＝ ＋ ＝ ＋EF→ 12DC→ 23CB→ 12AB→ 23DA→ ＝ － ，故选 D.12AB→ 23AD→ 方法技巧平面向量线性运算问题的求解策略1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知7向量表示出来．2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．3．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．冲关针对训练(2018·昆明模拟)在△ ABC 中， AB＝2， BC＝3，∠ ABC＝60°， AD 为 BC 边上的高， O为 AD 的中点，若 ＝ λAB ＋ μ ，则 λ ＋ μ 等于( )AO→ BC→ A．1 B. C. D.12 13 23答案 D解析 ∵ ＝ ＋ ＝ ＋ ，AD→ AB→ BD→ AB→ 13BC→ ∴2 ＝ ＋ ，即 ＝ ＋ .AO→ AB→ 13BC→ AO→ 12AB→ 16BC→ 故 λ ＋ μ ＝ ＋ ＝ .故选 D.12 16 23题型 3 共线向量定理及其应用角度 1 解决三点共线问题 已知 O， A， B 是不共线的三点，且 ＝ m ＋ n (m， n∈R)． 典 例 OP→ OA→ OB→ (1)若 m＋ n＝1，求证： A， P， B 三点共线；(2)若 A， P， B 三点共线，求证： m＋ n＝1.本题用转化法、向量问题实数化．证明 (1)若 m＋ n＝1，则 ＝ m ＋(1－ m) ＝ ＋ m( － )，OP→ OA→ OB→ OB→ OA→ OB→ ∴ － ＝ m( － )，OP→ OB→ OA→ OB→ 即 ＝ m ，∴ 与 共线．BP→ BA→ BP→ BA→ 又∵ B 与 B 有公共点 B，∴ A， P， B 三点共线．P→ A→ (2)若 A， P， B 三点共线，存在实数 λ ，使 ＝ λ ，BP→ BA→ ∴ － ＝ λ ( － )．OP→ OB→ OA→ OB→ 8又 ＝ m ＋ n .OP→ OA→ OB→ 故有 m ＋( n－1) ＝ λ － λ ，OA→ OB→ OA→ OB→ 即( m－ λ ) ＋( n＋ λ －1) ＝0.OA→ OB→ ∵ O， A， B 不共线，∴ ， 不共线，OA→ OB→ ∴Error!∴ m＋ n＝1.角度 2 利用共线求参数的取值(2018·南京模拟)已知如图，平行四边形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中 典 例点，连接 AE， BF 相交于 P，连接 DP，并延长交 AB 的延长线于点 G，若＝ x ， ＝ y ， ＝ z ，则 x＝________， y＝________， z＝________.AP→ AE→ BP→ BF→ AG→ AB→ 本题需作辅助线．答案 45 25 43解析 如图，过 E 作 EQ 平行于 AB，交 BF 于点 Q，因为 E 为 BC 的中点，所以 EQ 平行于 CD，且 EQ＝ CF，又因为点 F 为 CD 的中点，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ，12 QPPB EPPA EQAB 12CFAB 14所以 ＝ ，所以 x＝ .AP→ 45AE→ 45因为点 Q 为 FB 的中点，所以 ＝ ＝ ，BP→ 44＋ 1＋ 5BF→ 25BF→ 9所以 y＝ .因为 ＝ ＝ ，25 DFBG FPPB 64所以 ＝ ＝ ，BG→ 23DF→ 13AB→ 所以 ＝ ，即 z＝ .AG→ 43AB→ 43所以 x＝ ， y＝ ， z＝ .45 25 43角度 3 共线定理与三角形的面积(2017·沈阳一模)在△ ABC 中， O 为其内部一点，且满足 ＋ ＋3 ＝0，则 典 例 OA→ OC→ OB→ △ AOB 和△ AOC 的面积比是( )A．3∶4 B．3∶2 C．1∶1 D．1∶3本题采用并项法．答案 D解析 根据题意，如图，在△ ABC 中，设 M 为 AC 的中点，则 ＋ ＝2 ，OA→ OC→ OM→ 又由 ＋ ＋3 ＝0，OA→ OC→ OB→ 则有 2 ＝－3 ；OM→ OB→ 从而可得 B， O， M 三点共线，且 2OM＝3 BO；由 2OM＝3 BO 可得， ＝ ＝ ，S△ AOCS△ ABC OMBM 35S△ AOB＋ S△ BOC＝ S△ ABC，25又由 S△ AOB＝ S△ BOC，则 S△ AOB＝ S△ ABC，15则 ＝ .故选 D.S△ AOBS△ AOC 1310方法技巧1．证明向量共线，对于向量 a， b(b≠0)，若存在实数 λ ，使 a＝ λ b，则 a 与 b 共线．见角度 1 典例．2．证明三点共线，若存在实数 λ ，使 ＝ λ ，则 A， B， C 三点共线．见角度 1 典AB→ AC→ 例．3．利用共线定理解决几何问题要注意两直线相交必然存在两组三点共线，通过列方程组往往能把问题解决．冲关针对训练1．(2018·长春模拟) e1， e2是平面内不共线的两向量，已知＝ e1－ ke2， ＝2 e1＋ e2， ＝3 e1－ e2，若 A， B， D 三点共线，则 k 的值是( )AB→ CB→ CD→ A．1 B．2 C．－1 D．－2答案 B解析 ∵ A， B， D 三点共线，∴ 与 共线，AB→ BD→ ∴存在实数 λ ，使得 ＝ λ .AB→ BD→ ∵ ＝ － ＝3 e1－ e2－(2 e1＋ e2)＝ e1－2 e2，BD→ CD→ CB→ ∴ e1－ ke2＝ λ (e1－2 e2)，∵ e1、 e2是平面内不共线的两向量，∴Error!解得 k＝2.故选 B.2．(2017·大观区校级期末)设 D 为△ ABC 的边 AB 的中点， P 为△ ABC 内一点，且满足＝ ＋ ，则 ＝( )AP→ AD→ 25BC→ S△ APDS△ ABCA. B. C. D.35 25 15 310答案 C解析 如图，∵ ＝ ＋ ，AP→ AD→ 25BC→ ∴ － ＝ ＝ ，AP→ AD→ DP→ 25BC→ 11∴| |＝ | |.DP→ 25BC→ ∵ D 是 AB 的中点，∴ AD＝ AB，12∴ ＝ ＝ ，故选 C.S△ APDS△ ABC12·AD·DPsin∠ ADP12·AB·BCsin∠ ABC 151．(2017·郴州三模)在△ ABC 中， M 为边 BC 上任意一点， N 为 AM 中点，＝ λ ＋ μ ，则 λ ＋ μ 的值为( )AN→ AB→ AC→ A. B. C. D．112 13 14答案 A解析 设 ＝ t ，BM→ BC→ 则 ＝ ＝ ( ＋ )＝ ＋AN→ 12AM→ 12AB→ BM→ 12AB→ 12BM→ ＝ ＋ t ＝ ＋ ( － )12AB→ 12BC→ 12AB→ t2AC→ AB→ ＝ ＋(12－ t2)AB→ t2AC→ ∴ λ ＝ － ， μ ＝12 t2 t2∴ λ ＋ μ ＝ .故选 A.122．(2018·淮南模拟)在△ ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 ＝3 ，点 O 在线BC→ CD→ 段 CD 上(与点 C、 D 不重合)，若 ＝ x ＋(1－ x) ，则 x 的取值范围是( )AO→ AB→ AC→ A. B.(0，12) (0， 13)C. D.(－12， 0) (－ 13， 0)答案 D解析 设 C ＝ y ，则 ＝ ＋ ＝ ＋ yO→ BC→ AO→ AC→ CO→ AC→ BC→ ＝ ＋ y( － )AC→ AC→ AB→ ＝－ y ＋(1＋ y) ，AB→ AC→ 12∵ ＝3 ，BC→ CD→ 点 O 在线段 CD 上(与点 C、 D 不重合)，∴ y∈ ，(0，13)∵ ＝ x ＋(1－ x) ，AO→ AB→ AC→ ∴ x∈ ，(－13， 0)故选 D.3．(2018·湖北模拟)若 M 为△ ABC 内一点， ＝ ＋ ，则△ ABM 和△ ABC 的面积AM→ 13AB→ 14AC→ 之比为( )A. B. C. D.14 13 12 23答案 A解析 设 ＝ ， ＝ ，以 AD， AE 为邻边作平行四边形 ADME，延长 EM 交 BC 与AD→ 13AB→ AE→ 14AC→ F，连接 BM，则 EF∥ AB，∴ ＝ ＝ .故选 A.S△ ABMS△ ABC AEAC 144．(2014·全国卷Ⅰ)已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 ＝ ( ＋ )，则 与 的AO→ 12AB→ AC→ AB→ AC→ 夹角为________．答案 90°13解析 由 ＝ 可知 O 为 BC 的中点，即 BC 为圆 O 的直径，又因为直径所对的AO→ 12(AB→ ＋ AC→ )圆周角为直角，所以∠ BAC＝90°，所以 与 的夹角为 90°.AB→ AC→ [基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点 O， P， Q， E， F， G， H，则 ＋OP→ ＝( )OQ→ A.OH→ B.OG→ C.EO→ D.FO→ 答案 D解析 在方格纸上作出 ＋ ，如图所示，则容易看出 ＋ ＝ ，故选 D.OP→ OQ→ OP→ OQ→ FO→ 142．已知 A， B， C 三点不共线，且点 O 满足 ＋ ＋ ＝0，则下列结论正确的是( )OA→ OB→ OC→ A. ＝ ＋ B. ＝ ＋OA→ 13AB→ 23BC→ OA→ 23AB→ 13BC→ C. ＝ － D. ＝－ －OA→ 13AB→ 23BC→ OA→ 23AB→ 13BC→ 答案 D解析 ∵ ＋ ＋ ＝0，∴ O 为△ ABC 的重心，∴ ＝－ × ( ＋ )＝－ ( ＋ )OA→ OB→ OC→ OA→ 23 12AB→ AC→ 13AB→ AC→ ＝－ ( ＋ ＋ )＝－ (2 ＋ )＝－ － .故选 D.13AB→ AB→ BC→ 13 AB→ BC→ 23AB→ 13BC→ 3．(2017·衡水中学三调)在△ ABC 中， ＝ ， P 是直线 BN 上的一点，且满足 ＝ mAN→ 14NC→ AP→ ＋ ，则实数 m 的值为( )AB→ 25AC→ A．－4 B．－1 C．1 D．4答案 B解析 根据题意设 ＝ n (n∈R)，则 ＝ ＋ ＝ ＋ n ＝ ＋ n( － )＝ ＋ nBP→ BN→ AP→ AB→ BP→ AB→ BN→ AB→ AN→ AB→ AB→ ＝(1 － n) ＋ ，又 ＝ m ＋ ，(15AC→ － AB→ ) AB→ n5AC→ AP→ AB→ 25AC→ ∴Error!解得Error!故选 B.4．(2018·石家庄一模) A， B， C 是圆 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点D(点 O 与点 D 不重合)，若 ＝ λ ＋ μ (λ ， μ ∈R)，则 λ ＋ μ 的取值范围是( )OC→ OA→ OB→ A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1， ] D．(－1,0)2答案 B解析 设 ＝ m ，则 m1，因为 ＝ λ ＋ μ ，OC→ OD→ OC→ OA→ OB→ 所以 m ＝ λ ＋ μ ，即 ＝ ＋ ，又知 A， B， D 三点共线，所以OD→ OA→ OB→ OD→ λ mOA→ μ mOB→ 15＋ ＝1，即 λ ＋ μ ＝ m，所以 λ ＋ μ 1，故选 B.λ m μ m5．(2018·广东模拟)已知点 O， A， B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且＝ ，则( )OP→ 3OA→ － OB→ 2A．点 P 在线段 AB 上B．点 P 在线段 AB 的反向延长线上C．点 P 在线段 AB 的延长线上D．点 P 不在直线 AB 上答案 B解析 ＝ ＝ － ＝ ＋ ( － )＝ ＋ ，即 － ＝ ＝ ，所OP→ 3OA→ － OB→ 2 32OA→ 12OB→ OA→ 12OA→ OB→ OA→ 12BA→ OP→ OA→ AP→ 12BA→ 以点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故选 B.6．(2017·广东七校联考)已知向量 i， j 不共线，且 ＝ i＋ mj， ＝ ni＋ j， m≠1，AB→ AD→ 若 A， B， D 三点共线，则实数 m， n 应满足的条件是( )A． m＋ n＝1 B． m＋ n＝－1C． mn＝1 D． mn＝－1答案 C解析 因为 A， B， D 三点共线，所以 ∥ ，存在非零实数 λ ，使得 ＝ λ ，即AB→ AD→ AB→ AD→ i＋ mj＝ λ (ni＋ j)，所以(1－ λn )i＋( m－ λ )j＝0，又因为 i 与 j 不共线，所以Error!则mn＝1，故选 C.7．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量 a， b，均有：| a|－| b||a|＋| b|；②对任意两向量 a， b， a－ b 与 b－ a 是相反向量；③在△ ABC 中， ＋ － ＝0；AB→ BC→ AC→ ④在四边形 ABCD 中，( ＋ )－( ＋ )＝0；AB→ BC→ CD→ DA→ ⑤ － ＝ .AB→ AC→ BC→ A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．②③答案 D解析 ①假命题．∵当 b＝0 时，| a|－| b|＝| a|＋| b|.∴①不成立．②真命题．∵( a－ b)＋( b－ a)＝ a＋(－ b)＋ b＋(－ a)＝ a＋(－ a)＋ b＋(－ b)＝( a－ a)＋( b－ b)＝0，∴ a－ b 与 b－ a 是相反向量．②成立．16③真命题．∵ ＋ － ＝ － ＝0，∴③成立．AB→ BC→ AC→ AC→ AC→ ④假命题．∵ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，AB→ BC→ AC→ CD→ DA→ CA→ ∴( ＋ )－( ＋ )＝ － ＝ ＋ ≠0.AB→ BC→ CD→ DA→ AC→ CA→ AC→ AC→ ∴该命题不成立．⑤假命题．∵ － ＝ ＋ ＝ ≠ ，∴该命题不成立．故选 D.AB→ AC→ AB→ CA→ CB→ BC→ 8．(2018·泉州模拟)已知 D， E， F 分别为△ ABC 的边 BC， CA， AB 的中点，且 ＝ a，BC→ ＝ b，给出下列命题：CA→ ① ＝ a－ b；② ＝ a＋ b；③ ＝－ a＋ b；④ ＋ ＋ ＝0.其中正确的是( )AD→ 12 BE→ 12 CF→ 12 12 AD→ BE→ CF→ A．①② B．②③ C．③④ D．②③④答案 D解析 由 ＝ a， ＝ b，则 ＝ ＋ ＝－ a－ b. ＝ ＋ ＝ a＋ b，BC→ CA→ AD→ 12CB→ AC→ 12 BE→ BC→ 12CA→ 12＝ ( ＋ )＝ (－ a＋ b)＝－ a＋ b.CF→ 12CB→ CA→ 12 12 12所以 ＋ ＋ ＝－ b－ a＋ a＋ b＋ b－ a＝0，所以命题②③④正确．故选 D.AD→ BE→ CF→ 12 12 12 129．(2018·兰州模拟)若点 M 是△ ABC 所在平面内的一点，且满足 5 ＝ ＋3 ，则△AM→ AB→ AC→ ABM 与△ ABC 的面积比为( )A. B. C. D.15 25 35 45答案 C解析 如图，连接 AM， BM，延长 AC 到 D 使 AD＝3 AC，延长 AM 到 E 使 AE＝5 AM，因为 5＝ ＋3 ，所以 ＝5 －3 ＝ － ＝ .AM→ AB→ AC→ AB→ AM→ AC→ AE→ AD→ DE→ 17连接 BE，则四边形 ABED 是平行四边形(向量 AB 和向量 DE 平行且模相等)．由于 ＝3 ，所以 S△ ABC＝ S△ ABD.AD→ AC→ 13因为 ＝ ，所以 S△ AMB＝ S△ ABE，在平行四边形 ABED 中， S△ ABD＝ S△ ABE＝ S▱ABED，AM→ 15AE→ 15 12故 ＝ ＝ .故选 C.S△ ABMS△ ABC15S△ ABE13S△ ABD 3510．(2018·伊宁市模拟)若 O 为△ ABC 所在平面内一点，且 ＋2 ＋3 ＝0，则 S△OA→ OB→ OC→ OBC∶ S△ AOC∶ S△ ABO＝( )A．3∶2∶1 B．2∶1∶3 C．1∶3∶2 D．1∶2∶3答案 D解析 如图所示，延长 OB 到 D，使得 BD＝ OB，延长 OC 到 E，使得 CE＝2 OC.连接AD， DE， AE.∵ ＋2 ＋3 ＝0，OA→ OB→ OC→ ∴点 O 为△ ADE 的重心．∴ S△ OBC＝ S△ ODE＝ × S△ ADE＝ S△ ADE；16 16 13 11818S△ AOC＝ S△ OAE＝ × S△ ADE＝ S△ ADE；13 13 13 19S△ ABO＝ S△ OAD＝ × S△ ADE＝ S△ ADE.12 12 13 16∴ S△ OBC∶ S△ AOC∶ S△ ABO＝ ∶ ∶ ＝1∶2∶3.118 19 16故选 D.二、填空题11．(2018·广西模拟)如图所示，在△ ABC 中， ＝ ， P 是 BN 上的一点，若 ＝ mAN→ 13AC→ AP→ ＋ ，则实数 m 的值为________．AB→ 211AC→ 答案 511解析 注意到 N， P， B 三点共线，因此有 ＝ m ＋ ＝ m ＋ ，从而AP→ AB→ 211AC→ AB→ 611AN→ m＋ ＝1⇒ m＝ .611 51112．已知 a， b 是两个不共线的非零向量，且 a 与 b 起点相同．若 a， tb， (a＋ b)三13向量的终点在同一直线上，则 t＝________.答案 12解析 ∵ a， tb， (a＋ b)三向量的终点在同一条直线上，且 a 与 b 起点相13同．∴ a－ tb 与 a－ (a＋ b)共线，即 a－ tb 与 a－ b 共线，∴存在实数 λ ，使 a－ tb＝13 23 13λ ，∴Error! 解得 λ ＝ ， t＝ ，所以若 a， tb， (a＋ b)三向量的终点在同一(23a－ 13b) 32 12 13条直线上，则 t＝ .1213．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量 ， ， ，其中 与OA→ OB→ OC→ OA→ 19的夹角为 120°， 与 的夹角为 30°，且| |＝| |＝1，| |＝2 .若 ＝ λ ＋ μOB→ OA→ OC→ OA→ OB→ OC→ 3 OC→ OA→ (λ ， μ ∈R)，则 λ ＋ μ 的值为________．OB→ 答案 6解析 如图，作平行四边形 OB1CA1，则 ＝ ＋ ，因为 与 的夹角为 120°，OC→ OB1→ OA1→ OA→ OB→ 与 的夹角为 30°，所以∠ B1OC＝90°.OA→ OC→ 在 Rt△ OB1C 中，∠ OCB1＝30°，| OC|＝2 ，3所以| OB1|＝2，| B1C|＝4，所以| OA1|＝| B1C|＝4，所以 ＝4 ＋2 ，所以 λ ＝4， μ ＝2，所以 λ ＋ μ ＝6.OC→ OA→ OB→ 14．(2018·沈阳模拟)如图所示，在△ ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M， N，若 ＝ m ， ＝ n ，则 m＋ n 的值为________．AB→ AM→ AC→ AN→ 答案 2解析 连接 AO，∵ O 是 BC 的中点，20∴ ＝ ( ＋ )．AO→ 12AB→ AC→ 又∵ ＝ m ， ＝ n ，∴ ＝ ＋ .AB→ AM→ AC→ AN→ AO→ m2AM→ n2AN→ ∵ M， O， N 三点共线，∴ ＋ ＝1.∴ m＋ n＝2.m2 n2三、解答题15．设两个非零向量 a 与 b 不共线．(1)若 ＝ a＋ b， ＝2 a＋8 b， ＝3( a－ b)．求证： A， B， D 三点共线；AB→ BC→ CD→ (2)试确定实数 k，使 ka＋ b 和 a＋ kb 共线．解 (1)证明：∵ ＝ a＋ b， ＝2 a＋8 b， ＝3( a－ b)，AB→ BC→ CD→ ∴ ＝ ＋ ＝2 a＋8 b＋3( a－ b)＝2 a＋8 b＋3 a－3 b＝5( a＋ b)＝5 ，∴ ， 共线．BD→ BC→ CD→ AB→ AB→ BD→ 又它们有公共点 B，∴ A， B， D 三点共线．(2)∵ ka＋ b 与 a＋ kb 共线，∴存在实数 λ ，使 ka＋ b＝ λ (a＋ kb)，即 ka＋ b＝ λ a＋ λk b.∴( k－ λ )a＝( λk －1) b.∵ a， b 是不共线的两个非零向量，∴ k－ λ ＝ λk －1＝0，∴ k2－1＝0，∴ k＝±1.16．如图所示，在△ ABO 中， ＝ ， ＝ ， AD 与 BC 相交于点 M，设OC→ 14OA→ OD→ 12OB→ ＝ a， ＝ b.试用 a 和 b 表示向量 .OA→ OB→ OM→ 解 设 ＝ ma＋ nb，OM→ 则 ＝ － ＝ ma＋ nb－ a＝( m－1) a＋ nb.AM→ OM→ OA→ ＝ － ＝ － ＝－ a＋ b.AD→ OD→ OA→ 12OB→ OA→ 1221又∵ A， M， D 三点共线，∴ 与 共线．AM→ AD→ ∴存在实数 t，使得 ＝ t ，AM→ AD→ 即( m－1) a＋ nb＝ t .(－ a＋12b)∴( m－1) a＋ nb＝－ ta＋ tb.12∴Error!消去 t，得 m－1＝－2 n，即 m＋2 n＝1.①又∵ ＝ － ＝ ma＋ nb－ a＝ a＋ nb，CM→ OM→ OC→ 14 (m－ 14)＝ － ＝ b－ a＝－ a＋ b.CB→ OB→ OC→ 14 14又∵ C， M， B 三点共线，∴ 与 共线，CM→ CB→ ∴存在实数 t1，使得 ＝ t1 ，CM→ CB→ ∴ a＋ nb＝ t1 ，(m－14) (－ 14a＋ b)∴Error!消去 t1，得 4m＋ n＝1.②由 ①②得 m＝ ， n＝ ，∴ ＝ a＋ b.17 37 OM→ 17 37 第 4章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 基础知识过关经典题型冲关14．1 平面向量的概念及线性运算[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点 O， P， Q， E， F， G， H，则 ＋OP→ ＝( )OQ→ A.OH→ B.OG→ C.EO→ D.FO→ 答案 D解析 在方格纸上作出 ＋ ，如图所示，则容易看出 ＋ ＝ ，故选 D.OP→ OQ→ OP→ OQ→ FO→ 22．已知 A， B， C 三点不共线，且点 O 满足 ＋ ＋ ＝0，则下列结论正确的是( )OA→ OB→ OC→ A. ＝ ＋ B. ＝ ＋OA→ 13AB→ 23BC→ OA→ 23AB→ 13BC→ C. ＝ － D. ＝－ －OA→ 13AB→ 23BC→ OA→ 23AB→ 13BC→ 答案 D解析 ∵ ＋ ＋ ＝0，∴ O 为△ ABC 的重心，∴ ＝－ × ( ＋ )＝－ ( ＋ )OA→ OB→ OC→ OA→ 23 12AB→ AC→ 13AB→ AC→ ＝－ ( ＋ ＋ )＝－ (2 ＋ )＝－ － .故选 D.13AB→ AB→ BC→ 13 AB→ BC→ 23AB→ 13BC→ 3．(2017·衡水中学三调)在△ ABC 中， ＝ ， P 是直线 BN 上的一点，且满足 ＝ mAN→ 14NC→ AP→ ＋ ，则实数 m 的值为( )AB→ 25AC→ A．－4 B．－1 C．1 D．4答案 B解析 根据题意设 ＝ n (n∈R)，则 ＝ ＋ ＝ ＋ n ＝ ＋ n( － )＝ ＋ nBP→ BN→ AP→ AB→ BP→ AB→ BN→ AB→ AN→ AB→ AB→ ＝(1 － n) ＋ ，又 ＝ m ＋ ，(15AC→ － AB→ ) AB→ n5AC→ AP→ AB→ 25AC→ ∴Error! 解得Error!故选 B.4．(2018·石家庄一模) A， B， C 是圆 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D(点O 与点 D 不重合)，若 ＝ λ ＋ μ (λ ， μ ∈R)，则 λ ＋ μ 的取值范围是( )OC→ OA→ OB→ A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1， ] D．(－1,0)2答案 B解析 设 ＝ m ，则 m1，因为 ＝ λ ＋ μ ，OC→ OD→ OC→ OA→ OB→ 所以 m ＝ λ ＋ μ ，即 ＝ ＋ ，又知 A， B， D 三点共线，所以OD→ OA→ OB→ OD→ λ mOA→ μ mOB→ ＋ ＝1，即 λ ＋ μ ＝ m，所以 λ ＋ μ 1，故选 B.λ m μ m5．(2018·广东模拟)已知点 O， A， B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且＝ ，则( )OP→ 3OA→ － OB→ 2A．点 P 在线段 AB 上B．点 P 在线段 AB 的反向延长线上C．点 P 在线段 AB 的延长线上D．点 P 不在直线 AB 上答案 B3解析 ＝ ＝ － ＝ ＋ ( － )＝ ＋ ，即 － ＝ ＝ ，所以OP→ 3OA→ － OB→ 2 32OA→ 12OB→ OA→ 12OA→ OB→ OA→ 12BA→ OP→ OA→ AP→ 12BA→ 点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故选 B.6．(2017·广东七校联考)已知向量 i， j 不共线，且 ＝ i＋ mj， ＝ ni＋ j， m≠1，若AB→ AD→ A， B， D 三点共线，则实数 m， n 应满足的条件是( )A． m＋ n＝1 B． m＋ n＝－1C． mn＝1 D． mn＝－1答案 C解析 因为 A， B， D 三点共线，所以 ∥ ，存在非零实数 λ ，使得 ＝ λ ，即AB→ AD→ AB→ AD→ i＋ mj＝ λ (ni＋ j)，所以(1－ λn )i＋( m－ λ )j＝0，又因为 i 与 j 不共线，所以Error!则mn＝1，故选 C.7．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量 a， b，均有：| a|－| b||a|＋| b|；②对任意两向量 a， b， a－ b 与 b－ a 是相反向量；③在△ ABC 中， ＋ － ＝0；AB→ BC→ AC→ ④在四边形 ABCD 中，( ＋ )－( ＋ )＝0；AB→ BC→ CD→ DA→ ⑤ － ＝ .AB→ AC→ BC→ A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．②③答案 D解析 ①假命题．∵当 b＝0 时，| a|－| b|＝| a|＋| b|.∴①不成立．②真命题．∵( a－ b)＋( b－ a)＝ a＋(－ b)＋ b＋(－ a)＝ a＋(－ a)＋ b＋(－ b)＝( a－ a)＋( b－ b)＝0，∴ a－ b 与 b－ a 是相反向量．②成立．③真命题．∵ ＋ － ＝ － ＝0，∴③成立．AB→ BC→ AC→ AC→ AC→ ④假命题．∵ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，AB→ BC→ AC→ CD→ DA→ CA→ ∴( ＋ )－( ＋ )＝ － ＝ ＋ ≠0.AB→ BC→ CD→ DA→ AC→ CA→ AC→ AC→ ∴该命题不成立．⑤假命题．∵ － ＝ ＋ ＝ ≠ ，∴该命题不成立．故选 D.AB→ AC→ AB→ CA→ CB→ BC→ 8．(2018·泉州模拟)已知 D， E， F 分别为△ ABC 的边 BC， CA， AB 的中点，且 ＝ a，BC→ 4＝ b，给出下列命题：CA→ ① ＝ a－ b；② ＝ a＋ b；③ ＝－ a＋ b；④ ＋ ＋ ＝0.其中正确的是( )AD→ 12 BE→ 12 CF→ 12 12 AD→ BE→ CF→ A．①② B．②③ C．③④ D．②③④答案 D解析 由 ＝ a， ＝ b，则 ＝ ＋ ＝－ a－ b. ＝ ＋ ＝ a＋ b，BC→ CA→ AD→ 12CB→ AC→ 12 BE→ BC→ 12CA→ 12＝ ( ＋ )＝ (－ a＋ b)＝－ a＋ b.CF→ 12CB→ CA→ 12 12 12所以 ＋ ＋ ＝－ b－ a＋ a＋ b＋ b－ a＝0，所以命题②③④正确．故选 D.AD→ BE→ CF→ 12 12 12 129．(2018·兰州模拟)若点 M 是△ ABC 所在平面内的一点，且满足 5 ＝ ＋3 ，则△AM→ AB→ AC→ ABM 与△ ABC 的面积比为( )A. B. C. D.15 25 35 45答案 C解析 如图，连接 AM， BM，延长 AC 到 D 使 AD＝3 AC，延长 AM 到 E 使 AE＝5 AM，因为 5＝ ＋3 ，所以 ＝5 －3 ＝ － ＝ .AM→ AB→ AC→ AB→ AM→ AC→ AE→ AD→ DE→ 连接 BE，则四边形 ABED 是平行四边形(向量 AB 和向量 DE 平行且模相等)．由于 ＝3 ，所以 S△ ABC＝ S△ ABD.AD→ AC→ 13因为 ＝ ，所以 S△ AMB＝ S△ ABE，在平行四边形 ABED 中， S△ ABD＝ S△ ABE＝ S▱ABED，AM→ 15AE→ 15 12故 ＝ ＝ .故选 C.S△ ABMS△ ABC15S△ ABE13S△ ABD 35510．(2018·伊宁市模拟)若 O 为△ ABC 所在平面内一点，且 ＋2 ＋3 ＝0，则 S△OA→ OB→ OC→ OBC∶ S△ AOC∶ S△ ABO＝( )A．3∶2∶1 B．2∶1∶3 C．1∶3∶2 D．1∶2∶3答案 D解析 如图所示，延长 OB 到 D，使得 BD＝ OB，延长 OC 到 E，使得 CE＝2 OC.连接AD， DE， AE.∵ ＋2 ＋3 ＝0，OA→ OB→ OC→ ∴点 O 为△ ADE 的重心．∴ S△ OBC＝ S△ ODE＝ × S△ ADE＝ S△ ADE；16 16 13 118S△ AOC＝ S△ OAE＝ × S△ ADE＝ S△ ADE；13 13 13 19S△ ABO＝ S△ OAD＝ × S△ ADE＝ S△ ADE.12 12 13 16∴ S△ OBC∶ S△ AOC∶ S△ ABO＝ ∶ ∶ ＝1∶2∶3.118 19 16故选 D.二、填空题11．(2018·广西模拟)如图所示，在△ ABC 中， ＝ ， P 是 BN 上的一点，若AN→ 13AC→ ＝ m ＋ ，则实数 m 的值为________．AP→ AB→ 211AC→ 6答案 511解析 注意到 N， P， B 三点共线，因此有 ＝ m ＋ ＝ m ＋ ，从而AP→ AB→ 211AC→ AB→ 611AN→ m＋ ＝1⇒ m＝ .611 51112．已知 a， b 是两个不共线的非零向量，且 a 与 b 起点相同．若 a， tb， (a＋ b)三向13量的终点在同一直线上，则 t＝________.答案 12解析 ∵ a， tb， (a＋ b)三向量的终点在同一条直线上，且 a 与 b 起点相同．∴ a－ tb13与 a－ (a＋ b)共线，即 a－ tb 与 a－ b 共线，∴存在实数 λ ，使 a－ tb＝13 23 13λ ，∴Error! 解得 λ ＝ ， t＝ ，所以若 a， tb， (a＋ b)三向量的终点在同一(23a－ 13b) 32 12 13条直线上，则 t＝ .1213．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量 ， ， ，其中 与 的OA→ OB→ OC→ OA→ OB→ 夹角为 120°， 与 的夹角为 30°，且| |＝| |＝1，| |＝2 .若OA→ OC→ OA→ OB→ OC→ 3＝ λ ＋ μ (λ ， μ ∈R)，则 λ ＋ μ 的值为________．OC→ OA→ OB→ 答案 6解析 如图，作平行四边形 OB1CA1，则 ＝ ＋ ，因为 与 的夹角为 120°，OC→ OB1→ OA1→ OA→ OB→ 与 的夹角为 30°，所以∠ B1OC＝90°.OA→ OC→ 7在 Rt△ OB1C 中，∠ OCB1＝30°，| OC|＝2 ，3所以| OB1|＝2，| B1C|＝4，所以| OA1|＝| B1C|＝4，所以 ＝4 ＋2 ，所以 λ ＝4， μ ＝2，所以 λ ＋ μ ＝6.OC→ OA→ OB→ 14．(2018·沈阳模拟)如图所示，在△ ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M， N，若 ＝ m ， ＝ n ，则 m＋ n 的值为________．AB→ AM→ AC→ AN→ 答案 2解析 连接 AO，∵ O 是 BC 的中点，∴ ＝ ( ＋ )．AO→ 12AB→ AC→ 又∵ ＝ m ， ＝ n ，∴ ＝ ＋ .AB→ AM→ AC→ AN→ AO→ m2AM→ n2AN→ ∵ M， O， N 三点共线，∴ ＋ ＝1.∴ m＋ n＝2.m2 n2三、解答题15．设两个非零向量 a 与 b 不共线．(1)若 ＝ a＋ b， ＝2 a＋8 b， ＝3( a－ b)．求证： A， B， D 三点共线；AB→ BC→ CD→ (2)试确定实数 k，使 ka＋ b 和 a＋ kb 共线．解 (1)证明：∵ ＝ a＋ b， ＝2 a＋8 b， ＝3( a－ b)，AB→ BC→ CD→ ∴ ＝ ＋ ＝2 a＋8 b＋3( a－ b)＝2 a＋8 b＋3 a－3 b＝5( a＋ b)＝5 ，∴ ， 共线．BD→ BC→ CD→ AB→ AB→ BD→ 又它们有公共点 B，∴ A， B， D 三点共线．(2)∵ ka＋ b 与 a＋ kb 共线，∴存在实数 λ ，使 ka＋ b＝ λ (a＋ kb)，即 ka＋ b＝ λ a＋ λk b.∴( k－ λ )a＝( λk －1) b.∵ a， b 是不共线的两个非零向量，∴ k－ λ ＝ λk －1＝0，∴ k2－1＝0，∴ k＝±1.816．如图所示，在△ ABO 中， ＝ ， ＝ ， AD 与 BC 相交于点 M，设OC→ 14OA→ OD→ 12OB→ ＝ a， ＝ b.试用 a 和 b 表示向量 .OA→ OB→ OM→ 解 设 ＝ ma＋ nb，OM→ 则 ＝ － ＝ ma＋ nb－ a＝( m－1) a＋ nb.AM→ OM→ OA→ ＝ － ＝ － ＝－ a＋ b.AD→ OD→ OA→ 12OB→ OA→ 12又∵ A， M， D 三点共线，∴ 与 共线．AM→ AD→ ∴存在实数 t，使得 ＝ t ，AM→ AD→ 即( m－1) a＋ nb＝ t .(－ a＋12b)∴( m－1) a＋ nb＝－ ta＋ tb.12∴Error! 消去 t，得 m－1＝－2 n，即 m＋2 n＝1.①又∵ ＝ － ＝ ma＋ nb－ a＝ a＋ nb，CM→ OM→ OC→ 14 (m－ 14)＝ － ＝ b－ a＝－ a＋ b.CB→ OB→ OC→ 14 14又∵ C， M， B 三点共线，∴ 与 共线，CM→ CB→ ∴存在实数 t1，使得 ＝ t1 ，CM→ CB→ ∴ a＋ nb＝ t1 ，(m－14) (－ 14a＋ b)∴Error!消去 t1，得 4m＋ n＝1.②由 ①②得 m＝ ， n＝ ，∴ ＝ a＋ b.17 37 OM→ 17 37