2019版高考数学一轮复习 第10章 概率（课件+学案+练习）（打包12套）文.zip

课后作业夯关10． 1 随机事件的概率110．1 随机事件的概率[知识梳理]1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次实验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝ 为事件 A 出现的频nAn率．(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率．3．事件的关系与运算24．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤ P(A)≤1.3(2)必然事件的概率 P(E)＝1.(3)不可能事件的概率 P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)．(5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)＝1－ P(B)．[诊断自测]1．概念思辨(1)若事件 A， B， C 两两互斥，则 P(A)＋ P(B)＋ P(C)＝1.( )(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )(3)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．( )(4)事件 A 的对立事件 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含结果组成集合A－ 的补集．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(必修 A3P113T1)下列事件中不可能事件的个数为( )①如果 ab， cd，则 a－ db－ c；②对某中学的毕业生进行一次体检，每个学生的身高都超过 2 m；③某电视剧收视率为 40%；④从 10 个玻璃杯(其中 8 个正品，2 个次品)中，任取 2 个，2 个都是次品；⑤在不受外力作用的条件下，做匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析 ①是必然事件；②⑤是不可能事件；③④是随机事件．故选 B.(2)(必修 A3P124A 组 T6)一袋中装有 100 个除颜色不同外其余均相同的红球、白球、黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别为 0.40 和 0.35，那么黑球共有________个．答案 25解析 设红球、白球各有 x 个和 y 个，则Error!解得Error!所以黑球的个数为100－40－35＝25.3．小题热身(1)(2015·广东高考)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为( )A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1答案 B解析 记 3 件合格品分别为 A1， A2， A3,2 件次品分别为 B1， B2，从 5 件产品中任取 2件，有( A1， A2)，( A1， A3)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A2， A3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A3， B1)，(A3， B2)，( B1， B2)，共 10 种可能．其中恰有一件次品有 6 种可能，由古典概型概率公式得所求事件概率为 ＝0.6.故选 B.6104(2)(2017·浙江瑞安中学高三月考)一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，现将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于 15 的概率为________．答案 5108解析 将这颗骰子抛掷三次，共 63＝216(种)情况．而三次点数之和等于 15 的有 10个(555 共 1 个，456 共 6 个，366 共 3 个)．所以三次点数之和等于 15 的概率 P＝ ＝ .10216 5108题型 1 随机事件某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 A 为“只订甲报” ，事件 B 为 典 例“至少订一种报纸” ，事件 C 为“至多订一种报纸” ，事件 D 为“不订甲报” ，事件 E 为“一种报纸也不订” ．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A 与 C；(2) B 与 E；(3) B 与 C；(4) C 与 E.用集合的观点分析． A∩ B＝∅，则 A， B 为互斥事件； A∩ B＝∅且 A∪ B＝ U，则 A， B 为对立事件．解 (1)由于事件 C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报” ，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件．(2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故事件 B 与 E 是互斥事件；由于事件 B 发生会导致事件 E 一定不发生，且事件 E 发生会导致事件 B 一定不发生，故 B 与 E 还是对立事件．(3)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸” “只订乙报纸” “订甲、乙两种报纸” ，事件 C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订” “只订甲报纸” “只订乙报纸” ，由于这两个事件可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能，即事件 C 与事件E 有可能同时发生，故 C 与 E 不是互斥事件．方法技巧1．准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．见典例．2．判别互斥、对立事件的方法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．见典例．冲关针对训练5口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出 2 球，事件 A＝“取出的 2 球同色” ， B＝“取出的 2 球中至少有 1 个黄球” ， C＝“取出的 2 球至少有 1 个白球” ，D＝“取出的 2 球不同色” ， E＝“取出的 2 球中至多有 1 个白球” ．下列判断中正确的序号为________．① A 与 D 为对立事件；② B 与 C 是互斥事件；③ C 与 E 是对立事件；④ P(C∪ E)＝1；⑤ P(B)＝ P(C)．答案 ①解析 当取出的 2 个球中一黄一白时， B 与 C 都发生，②不正确．当取出的 2 个球中恰有一个白球时，事件 C 与 E 都发生，则③不正确．显然 A 与 D 是对立事件，①正确；C∪ E 不一定为必然事件， P(C∪ E)≤1，④不正确．由于 P(B)＝ ， P(C)＝ ，所以⑤不正确.45 35题型 2 随机事件的频率与概率(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投 典 例保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4≥5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数 0 1 2 3 4 ≥5频数 60 50 3030 20 10(1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费” ．求 P(A)的估计值；(2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求 P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．采用公式法 fn(A)＝ .nAn解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为 ＝0.55，故 P(A)的估计值为60＋ 502000.55.(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.6由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 ＝0.3，故 P(B)的估30＋ 30200计值为 0.3.(3)由所给数据得保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05调查的 200 名续保人的平均保费为0．85 a×0.30＋ a×0.25＋1.25 a×0.15＋1.5 a×0.15＋1.75 a×0.10＋2 a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.1925a.[结论探究 1] 若本例条件不变，结论变为“试求一续保人本年度的保费高于基本保费的估计值” ．解 1－ ＝0.45 或 ＝0.45.60＋ 50200 30＋ 30＋ 20＋ 10200[结论探究 2] 若本例条件不变，结论变为“试求一续保人本年度的保费不低于基本保费的估计值” ．解 1－ ＝0.7 或 ＝0.7.60200 50＋ 30＋ 30＋ 20＋ 10200方法技巧1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．(2)由频率与概率的关系得所求．见典例．2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键，由所给频率分布表，频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求．冲关针对训练(2018·福建基地综合)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售 1 件该商品可获利 50 元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损 10 元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利 30 元．(1)若商店一天购进该商品 10 件，求日利润 y(单位：元)关于日需求量 n(单位：件，n∈N)的函数解析式；(2)商店记录了 50 天该商品的日需求量 n(单位：件)，整理得下表：日需求量 n 8 9 10 11 12频数 9 11 15 10 5①假设该店在这 50 天内每天购进 10 件该商品，求这 50 天的日利润(单位：元)的平均数；②若该店一天购进 10 件该商品，以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润在区间[400,550]内的概率．解 (1)当日需求量 n≥10 时，7日利润为 y＝50×10＋( n－10)×30＝30 n＋200，当日需求量 na 的概率是( )A. B. C. D.45 35 25 15答案 D解析 令选取的 a， b 组成实数对( a， b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共 15 种情况，其中 ba 的有(1,2)，(1,3)，(2,3)3 种情况，所以 ba 的概率为 ＝ .故选 D.315 154．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数为 b，向量 m＝( a， b)， n＝(1,2)，则向量 m 与向量 n 不共线的概率是( )A. B. C. D.16 1112 112 118答案 B解析 若 m 与 n 共线，则 2a－ b＝0.而( a， b)的可能性情况为 6×6＝36 个．符合2a＝ b 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个．故共线的概率是 ＝ ，从而不共线的概率是336 1121－ ＝ .故选 B.112 11125．一个袋子里装有编号为 1,2，…，12 的 12 个相同大小的小球，其中 1 到 6 号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是( )A. B. C. D.116 316 14 716答案 B解析 据题意由于是有放回地抽取，故共有 12×12＝144 种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的情况共有 6×6－3×3＝27 种可能，故其概率为 ＝ .故选 B.27144 3166．(2018·湖南常德模拟)现有一枚质地均匀且表面分别标有 1,2,3,4,5,6 的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( )A. B. C. D.13 12 23 1136答案 D解析 将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为 6×6＝36(个)，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共 11 个．∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率 P＝ .故选 D.11367．(2018·安徽黄山模拟)从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取 3 个不同的数，则取出的 3 个11数可作为三角形的三边边长的概率是( )A. B. C. D.310 15 12 35答案 A解析 从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取 3 个不同的数的基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共 10 个，取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共 3 个，故所求概率 P＝ .故选 A.3108．(2018·河南开封月考)有 5 张卡片，上面分别写有数字 1,2,3,4,5.从这 5 张卡片中随机抽取 2 张，那么取出的 2 张卡片上的数字之积为偶数的概率为( )A. B. C. D.13 23 710 310答案 C解析 从 5 张卡片中随机抽 2 张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 种，2 张卡片上的数字之积为偶数的有 7 种，故所求概率 P＝ .7109．(2018·河南商丘模拟)已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ b2x＋1，若 a 是从 1,2,3 中任取13的一个数， b 是从 0,1,2 中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A. B. C. D.79 13 59 23答案 D解析 f′( x)＝ x2＋2 ax＋ b2，要使函数 f(x)有两个极值点，则有 Δ ＝(2 a)2－4 b20，即 a2b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值．满足 a2b2的有 6 个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为 ＝ .故选 D.69 2310．(2017·湖南郴州三模)从集合 A＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为 a，从集合B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为 b，则直线 ax－ y＋ b＝0 不经过第四象限的概率为( )A. B. C. D.29 13 49 14答案 A解析 ( a， b)所有可能的结果为(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共 9 种．由 ax－ y＋ b＝0 得 y＝ ax＋ b，当Error!时，直线不经过第四象限，符合条件的( a， b)的结果为(2,1)，(2,3)，共 2 种，∴直线 ax－ y＋ b＝0 不经过第四象限的概率 P＝ ，故选 A.29二、填空题1211．(2017·陕西模拟)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．答案 35解析 如图，从 A， B， C， D， O 这 5 个点中任取 2 个，共有( A， B)，( A， C)，…，( D， O)10 种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有( A， B)，( A， C)，(A， D)，( B， C)，( B， D)，( C， D)共 6 种，因此所求概率 P＝ ＝ .610 3512．(2017·云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队夺得女子乒乓球单37 14打冠军的概率为________．答案 1928解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军” ，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 ＋ ＝ .37 14 192813．一只袋子中装有 7 个红玻璃球，3 个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为 ，取得两个绿球的概率为 ，则取得两个同颜色的715 115球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．答案 815 1415解析 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因此事件 C“取得两个同色球” ，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为 P(C)＝ ＋ ＝ .715 115 815(2)由于事件 A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为 P(A)＝1－ P(B)＝1－ ＝ .115 141514．已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定131,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．答案 0.25解析 20 组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是 191,271,932,812,393，其频率为 ＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 0.25.520三、解答题15．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 ＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 3002＋ 16＋ 3690瓶的概率的估计值为 0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则 Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于 20，则 Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以， Y 的所有可能值为 900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为＝0.8，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.36＋ 25＋ 7＋ 49016．(2015·北京高考)某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买， “×”表示未购买．商品顾客人数 甲 乙 丙 丁100 √ × √ √14217 × √ × √200 √ √ √ ×300 √ × √ ×85 √ × × ×98 × √ × ×(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 ＝0.2.2001000(2)从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 ＝0.3.100＋ 2001000(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 ＝0.2，顾客同时购2001000买甲和丙的概率可以估计为 ＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为100＋ 200＋ 3001000＝0.1.1001000所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 第 10章 概率10． 1 随机事件的概率基础知识过关经典题型冲关110．1 随机事件的概率[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·湖南十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》 《十年》 《父亲》 《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )A. B. C. D.13 12 23 56答案 B解析 分别记《爱你一万年》 《十年》 《父亲》 《单身情歌》为 A1， A2， A3， A4，从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为 A1A2， A1A3， A1A4， A2A3， A2A4, A3A4，共 6个，其中 A1未被选取的结果有 3个，所以所求概率 P＝ ＝ .故选 B.36 122．(2018·广东中山模拟)从 1,2,3,4,5这 5个数中任取两个，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④ C．③ D．①③答案 C解析 从 1,2,3,4,5这 5个数中任取两个，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选 C.3．(2017·安徽“江南十校”联考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{1,2,3}中随机选取一个数为 b，则 ba的概率是( )A. B. C. D.45 35 25 15答案 D解析 令选取的 a， b组成实数对( a， b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共 15种情况，其中 ba的有(1,2)，(1,3)，(2,3)3 种情况，所以 ba的概率为 ＝ .故选 D.315 154．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数为 b，向量 m＝( a， b)， n＝(1,2)，则向量 m与向量 n不共线的概率是( )A. B. C. D.16 1112 112 118答案 B解析 若 m与 n共线，则 2a－ b＝0.而( a， b)的可能性情况为 6×6＝36 个．符合2a＝ b的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个．故共线的概率是 ＝ ，从而不共线的概率是 1－336 1122＝ .故选 B.112 11125．一个袋子里装有编号为 1,2，…，12 的 12个相同大小的小球，其中 1到 6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是( )A. B. C. D.116 316 14 716答案 B解析 据题意由于是有放回地抽取，故共有 12×12＝144 种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的情况共有 6×6－3×3＝27 种可能，故其概率为 ＝ .故选 B.27144 3166．(2018·湖南常德模拟)现有一枚质地均匀且表面分别标有 1,2,3,4,5,6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( )A. B. C. D.13 12 23 1136答案 D解析 将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为 6×6＝36(个)，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共 11个．∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率 P＝ .故选 D.11367．(2018·安徽黄山模拟)从 1,2,3,4,5这 5个数中任取 3个不同的数，则取出的 3个数可作为三角形的三边边长的概率是( )A. B. C. D.310 15 12 35答案 A解析 从 1,2,3,4,5这 5个数中任取 3个不同的数的基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共 10个，取出的 3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共 3个，故所求概率 P＝ .故选 A.3108．(2018·河南开封月考)有 5张卡片，上面分别写有数字 1,2,3,4,5.从这 5张卡片中随机抽取 2张，那么取出的 2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( )A. B. C. D.13 23 710 310答案 C解析 从 5张卡片中随机抽 2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10种，2 张卡片上的数字之积为偶数的有 7种，故所求概率 P＝ .71039．(2018·河南商丘模拟)已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ b2x＋1，若 a是从 1,2,3中任取13的一个数， b是从 0,1,2中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A. B. C. D.79 13 59 23答案 D解析 f′( x)＝ x2＋2 ax＋ b2，要使函数 f(x)有两个极值点，则有 Δ ＝(2 a)2－4 b20，即 a2b2.由题意知所有的基本事件有 9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a的取值，第二个数表示 b的取值．满足 a2b2的有 6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为 ＝ .故选 D.69 2310．(2017·湖南郴州三模)从集合 A＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为 a，从集合B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为 b，则直线 ax－ y＋ b＝0 不经过第四象限的概率为( )A. B. C. D.29 13 49 14答案 A解析 ( a， b)所有可能的结果为(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共 9种．由 ax－ y＋ b＝0 得 y＝ ax＋ b，当Error!时，直线不经过第四象限，符合条件的( a， b)的结果为(2,1)，(2,3)，共 2种，∴直线 ax－ y＋ b＝0 不经过第四象限的概率 P＝ ，故选 A.29二、填空题11．(2017·陕西模拟)从正方形四个顶点及其中心这 5个点中，任取 2个点，则这 2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．答案 35解析 如图，从 A， B， C， D， O这 5个点中任取 2个，共有( A， B)，( A， C)，…，( D， O)10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有( A， B)，( A， C)，(A， D)，( B， C)，( B， D)，( C， D)共 6种，因此所求概率 P＝ ＝ .610 3512．(2017·云南昆明质检)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单4打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠37 14军的概率为________．答案 1928解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军” ，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 ＋ ＝ .37 14 192813．一只袋子中装有 7个红玻璃球，3 个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为 ，取得两个绿球的概率为 ，则取得两个同颜色的球的715 115概率为________；至少取得一个红球的概率为________．答案 815 1415解析 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因此事件 C“取得两个同色球” ，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为 P(C)＝ ＋715＝ .115 815(2)由于事件 A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为 P(A)＝1－ P(B)＝1－ ＝ .115 141514．已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0到 9之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下 20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．答案 0.25解析 20 组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是 191,271,932,812,393，其频率为 ＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 0.25.520三、解答题15．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶 6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：5以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为 450瓶时，写出 Y的所有可能值，并估计 Y大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25的频率为 ＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶2＋ 16＋ 3690的概率的估计值为 0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450瓶时，若最高气温不低于 25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则 Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于 20，则 Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以， Y的所有可能值为 900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20的频率为＝0.8，因此 Y大于零的概率的估计值为 0.8.36＋ 25＋ 7＋ 49016．(2015·北京高考)某超市随机选取 1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买， “×”表示未购买．商品顾客人数 甲 乙 丙 丁100 √ × √ √217 × √ × √200 √ √ √ ×300 √ × √ ×85 √ × × ×98 × √ × ×(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这 1000位顾客中有 200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 ＝0.2.2001000(2)从统计表可以看出，在这 1000位顾客中，有 100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3种商品的概率可以估计为 ＝0.3.100＋ 20010006(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 ＝0.2，顾客同时购2001000买甲和丙的概率可以估计为 ＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为100＋ 200＋ 3001000＝0.1.1001000所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．课后作业夯关10． 2 古典概型110．2 古典概型[知识梳理]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)1n＝ .mn4．古典概型的概率公式P(A)＝ .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数[诊断自测]1．概念思辨(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. ( )2(2)事件 A， B 至少有一个发生的概率一定比 A， B 中恰有一个发生的概率大．( )(3)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，所有的基本事件构成集合 I，那么事件 A 的概率为 .( )cardAcardI(4)利用古典概型的概率可求“在边长为 2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于 1”的概率．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(必修 A3P134A 组 T5)在平面直角坐标系中点( x， y)，其中 x， y∈{0,1,2,3,4,5}，且 x≠ y，则点( x， y)在直线 y＝ x 的左上方的概率是( )A. B. C. D.13 12 14 23答案 B解析 在平面直角坐标系中满足 x， y∈{0,1,2,3,4,5}，且 x≠ y 的点( x， y)共有6×6－6＝30 个，而满足在直线 y＝ x 的左上方，即 yx 的点( x， y)的基本事件共有 15 个，故所求概率为 P＝ ＝ .故选 B.1530 12(2)(必修 A3P134A 组 T4)已知 A， B， C， D 是球面上的四个点，其中 A， B， C 在同一圆周上，若 D 不在 A， B， C 所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取 2 条，这两条直线是异面直线的概率等于________．答案 15解析 A， B， C， D 四点可构成一个以 D 为顶点的三棱锥，共 6 条棱，则所有基本事件有：( AB， BC)，( AB， AC)，( AB， AD)，( AB， BD)，( AB， CD)，( BC， CA)，( BC， BD)，(BC， AD)，( BC， CD)，( AC， AD)，( AC， BD)，( AC， CD)，( AD， BD)，( AD， CD)，( BD， CD)，共 15 个，其中满足条件的基本事件有：( AB， CD)，( BC， AD)，( AC， BD)，共 3 个，所以所求概率 P＝ ＝ .315 153．小题热身(1)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A. B. C. D.13 12 23 56答案 C解析 解法一：从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有 4 种，所以所求事件的概率 P＝ ＝ ，故选 C.46 23解法二：设红色和紫色的花在同一花坛为事件 A，则事件 A 包含 2 个基本事件：红紫与黄白，黄白与红紫．由解法一知共有 6 个基本事件，因此 P(A)＝ ＝ ，从而红色和紫色26 133的花不在同一花坛的概率是 P( )＝1－ P(A)＝ .故选 C.A－ 23(2)(2018·山西联考)从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这 5 个点中任取一个，这个点在圆 x2＋ y2＝2016 内部的概率是( )A. B. C. D.35 25 15 45答案 B解析 从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这 5 个点中任取一个的基本事件总数为 5，这个点在圆 x2＋ y2＝2016 内部包含的基本事件有(20,30)，(10,10)，共 2 个，∴这个点在圆 x2＋ y2＝2016 内部的概率 P＝ ，故选 B.25题型 1 简单古典概型的求解(2016·北京高考)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率 典 例 1为( )A. B. C. D.15 25 825 925考虑用树状图表示各种结果或用组合表示各种结果．答案 B解析 设其他 3 名学生为丙、丁、戊，从中任选 2 人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共 4＋3＋2＋1＝10 种．其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共 4 种，故甲被选中的概率为 ＝ .410 25(2017·山西一模)现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛，共有 2 道备 典 例 2选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )A. B. C. D.13 23 12 34答案 C解析 记两道题分别为 A， B，所有抽取的情况为 AAA, AAB， ABA， ABB， BAA， BAB， BBA， BBB(其中第 1 个，第 2 个分别表示两个女教师抽取的题目，第 3 个表示男教师抽取的题目)，共有 8 种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的4情况为 ABA， ABB， BAA， BAB，共 4 种．故所求事件的概率为 .故选 C.12方法技巧1．基本事件个数的确定方法列表法 此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求2.应用古典概型求某事件的步骤第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 A；第二步，分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m；第三步，利用公式 P(A)＝ ，求出事件 A 的概率．见典例 1,2.mn冲关针对训练(2018·安徽名校模拟)某车展展出甲、乙两种最新款式的汽车，现从参观人员中随机选取 100 人对这两种汽车均进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格，由统计信息可知，甲种汽车被评价为优秀的频率为 ，良好的频率为 ；乙种汽车被评价为优秀的频35 25率为 ，良好的频率是合格的频率的 5 倍．710(1)求这 100 人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数；(2)如果从这 100 人中按甲种汽车的评价等级用分层抽样的方法抽取 5 人，再从其他对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取 1 人进行座谈会，会后从这 7 人中随机抽取 2 人，求选取的 2 人评价都是优秀的概率．解 (1)因为对乙种汽车评价优秀的频率为 ，710故评价良好或合格的频率为 1－ ＝ .710 310设评价合格的频率为 x，则评价良好的频率为 5x，由题意可得 x＋5 x＝ ，310解得 x＝ .120所以这 100 人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数为 100× ＝95.(710＋ 5×120)(2)因为对甲种汽车评价优秀的频率为 ，良好的频率为 ，则用分层抽样的方法抽取 535 25人，其中有 3 人评价优秀，分别记为 A， B， C,2 人评价良好，分别记为 a， b.记抽取到对乙种汽车评价优秀、良好的 2 人分别为 D， d，则从这 7 人中随机抽取 2 人，不同的结果为{ A， B}，{ A， C}，{ A， a}，{ A， b}，{ A， D}，{A， d}，{ B， C}，{ B， a}，{ B， b}，{ B， D}，{ B， d}，{ C， a}，{ C， b}，{ C， D}，{ C， d}，{a， b}，{ a， D}，{ a， d}，{ b， D}，{ b， d}，{ D， d}，共 21 种．5记“选取的 2 人评价都是优秀”为事件 M，则事件 M 的结果为{ A， B}，{ A， C}，{ A， D}，{B， C}，{ B， D}，{ C， D}，共 6 种．所以选取的 2 人评价都是优秀的概率 P(M)＝ ＝ .621 27题型 2 复杂古典概型的求解(2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加 典 例活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为 x， y.奖励规则如下：①若 xy≤3，则奖励玩具一个；②若 xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．本题采用列表法计算事件数．解 用数对( x， y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 Ω 与点集S＝{( x， y)|x∈N， y∈N,1≤ x≤4,1≤ y≤4}一一对应．因为 S 中元素的个数是 4×4＝16，所以基本事件总数 n＝16.(1)记“ xy≤3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．P(A)＝ ，即小亮获得玩具的概率为 .516 5166(2)记“ xy≥8”为事件 B， “3 ，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．516 38516[结论探究] 本例中条件不变，试求小亮不能获得玩具的概率．解 由题意知当 xy＞3 时，小亮不能获得玩具，此时包含基本事件共 11 个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，而基本事件总数共 16 个，所以此事件概率为 P＝ .1116或根据对立事件求解： xy≤3 时包含事件个数为 5 个，故其获得玩具的概率为 ，则516不能获得玩具的概率为 1－ ＝ .516 1116方法技巧复杂古典概型的求解策略求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．冲关针对训练(2017·江西新余一中模拟)某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200 元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 5 次及以上收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80该公司从注册的会员中，随机抽取了 100 位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数 第 1 次 第 2次 第 3 次 第 4次 5 次及以上频数 60 20 10 5 5假设汽车美容一次，公司成本为 150 元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这 100 位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出 8 人，再从这 8 人中抽出 2 人发放纪念品，求抽出的 2 人中恰有 1 人消费两次的概率．解 (1)100 位会员中，至少消费两次的会员有 40 位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为 ＝0.4.40100(2)该会员第 1 次消费时，公司获得的利润为 200－150＝50(元)，7第 2 次消费时，公司获得的利润为 200×0.95－150＝40(元)，所以，公司获得的平均利润为 ＝45(元)．50＋ 402(3)因为 20∶10∶5∶5＝4∶2∶1∶1，所以用分层抽样方法抽出的 8 人中，消费 2 次的有 4 人，分别设为 A1， A2， A3， A4，消费 3 次的有 2 人，分别设为 B1， B2，消费 4 次和 5次及以上的各有 1 人，分别设为 C， D，从中抽出 2 人，抽到 A1的有A1A2， A1A3， A1A4， A1B1， A1B2， A1C， A1D，共 7 种；去掉 A1后，抽到 A2的有A2A3， A2A4， A2B1， A2B2， A2C， A2D，共 6 种；……去掉 A1， A2， A3， A4， B1， B2后，抽到 C 的有： CD，共 1 种，总的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28 种，其中恰有 1 人消费两次的抽取方法有 4＋4＋4＋4＝16 种，所以，抽出的 2 人中恰有 1 人消费两次的概率为 ＝ .1628 47题型 3 古典概型与统计的综合问题(2018·安徽阶段测试)某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩 典 例按 1∶20 进行分层抽样，随机抽取了 20 名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：8(1)求表中 a， b 的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于 10 的概率．解 (1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有 2 人，在[110,130)范围内的有 3 人，∴ a＝0.1， b＝3.∵成绩在[90,110)范围内的频率为 1－0.1－0.25－0.25＝0.4，∴成绩在[90,110)范围内的样本数为 20×0.4＝8，估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω ＝{(100,102), (100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共 21 个基本事件，设事件 A＝“取出的两个样本中数字之差小于或等于 10”，则 A＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共 10 个基本事件，∴ P(A)＝ .1021方法技巧求解古典概型与统计交汇问题的思路1．依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息．2．选择恰当的方法找出符合条件的基本事件总数及所求事件包含的基本事件数．3．进行统计与古典概型概率的正确计算．冲关针对训练(2018·广东五校诊断)某市为庆祝北京夺得 2022 年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动，组织方从参加活动的群众中随机抽取120 名群众，按他们的年龄分组：第 1 组[20,30)，第 2 组[30,40)，第 3 组[40,50)，第 4组[50,60)，第 5 组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．9(1)若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访，估计被采访人恰好在第 1 组或第 4组的概率；(2)已知第 1 组群众中男性有 3 名，组织方要从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队，求至少有 1 名女性群众的概率．解 (1)设第 1 组[20,30)的频率为 f1，则由题意可知，f1＝1－(0.010＋0.035＋0.030＋0.020)×10＝0.05.被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的频率为 0.05＋0.020×10＝0.25.∴估计被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率为 0.25.(2)第 1 组[20,30)的人数为 0.05×120＝6.∴第 1 组中共有 6 名群众，其中女性群众共 3 名．记第 1 组中的 3 名男性群众分别为 A， B， C,3 名女性群众分别为 x， y， z，从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队包含( A， B)，( A， C)，( A， x)，( A， y)，(A， z)，( B， C)，( B， x)，( B， y)，( B， z)，( C， x)，( C， y)，( C， z)，( x， y)，( x， z)，(y， z)，共 15 个基本事件．至少有一名女性群众包含( A， x)，( A， y)，( A， z)，( B， x)，( B， y)，( B， z)，( C， x)，(C， y)(C， z)，( x， y)，( x， z)，( y， z)，共 12 个基本事件．∴从第 1 组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队，至少有 1 名女性群众的概率为＝ .1215 451．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D.110 15 310 25答案 D10解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，∴所求概率 P＝ ＝ .故选 D.1025 252．(2017·山东高考)从分别标有 1,2，…，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B. C. D.518 49 59 79答案 C解析 ∵9 张卡片中有 5 张奇数卡片，4 张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，∴抽取两次共有 9×8＝72 种基本事件，其中满足卡片上数字奇偶性不同共有 4×5＋5×4＝40 种基本事件，故抽取到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ＝ .故选 C.4072 593．(2017·天津高考)有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B. C. D.45 35 25 15答案 C解析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概率 P＝ ＝ .故选 C.410 254．(2018·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a， b，则直线ax＋ by＝0 与圆( x－2) 2＋ y2＝2 有公共点的概率为________．答案 712解析 a＝1 时， b＝1,2，…6，共 6 种情况； a＝2 时， b＝2,3，…6，共 5 种情况；a＝3 时， b＝3,4,5,6，共 4 种情况； a＝4 时， b＝4,5,6，共 3 种情况； a＝5 时，b＝5,6，共 2 种情况； a＝6 时， b＝6，共 1 种情况．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是 12,11,10 的概率依次是11P1， P2， P3，则( )A． P1＝ P2＜ P3 B． P1＜ P2＜ P3C． P1＜ P2＝ P3 D． P3＝ P2＜ P1答案 B解析 先后抛掷两枚骰子点数之和共有 36 种可能，而点数之和为 12,11,10 的概率分别为 P1＝ ， P2＝ ， P3＝ .故选 B.136 118 1122．(2017·浙江金丽衢十二校联考)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A. B. C. D.12 13 23 34答案 B解析 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)，共 2 种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为 .故选 B.133．从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )A. B. C. D.12 13 14 16答案 B解析 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的(1,3)，(2,4)，故所求概率是 ＝ .26 13故选 B.4．(2018·山西朔州模拟)某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票 2 张，两元餐票 2 张，五元餐票 1 张，若他从口袋中随机地摸出 2 张，则其面值之和不少于四元的概率为( )A. B. C. D.310 25 12 35答案 C解析 小明口袋里共有 5 张餐票，随机地摸出 2 张，基本事件总数 n＝10，其面值之和不少于四元包含的基本事件数 m＝5，故其面值之和不少于四元的概率为 ＝ ＝ .故选 C.mn 510 125．(2018·保定模拟)甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为 a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为 b，且 a， b∈{1,2,3}，若| a－ b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀” ，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A. B. C. D.13 59 23 79答案 D解析 甲任想一数字有 3 种结果，乙猜数字有 3 种结果，基本条件总数为 3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件 A，则 A 的对立事件 B 为“| a－ b|＞1” ，即| a－ b|＝2，12包含 2 个基本事件，∴ P(B)＝ .∴ P(A)＝1－ ＝ .故选 D.29 29 796．(2018·合肥模拟)从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A. B. C. D.13 512 12 712答案 A解析 设 2 名男生记为 A1， A2,2 名女生记为 B1， B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2， A1B1， A1B2， A2B1， A2B2， B1B2， A2A1， B1A1， B2A1， B1A2， B2A2， B2B112 种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有 A1B1， A1B2， A2B1， A2B24 种情况，则发生的概率为 P＝ ＝ ，故选 A.412 137．(2017·银川模拟)连掷骰子两次得到的点数分别记为 a 和 b，则使直线 3x－4 y＝0与圆( x－ a)2＋( y－ b)2＝4 相切的概率为( )A. B. C. D.16 118 19 13答案 B解析 连掷骰子两次总的试验结果有 36 种，要使直线 3x－4 y＝0 与圆( x－ a)2＋( y－ b)2＝4 相切，则 ＝2，即满足|3 a－4 b|＝10，符合题意的( a， b)有(6,2)，(2,4)，|3a－ 4b|5共 2 种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为 P＝ .故选 B.1188．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为 a， b，那么直线 ＋ ＝1 的斜率 k≥－xa yb的概率为( )12A. B. C. D.12 13 34 14答案 D解析 记 a， b 的取值为数对( a， b)，由题意知( a， b)的所有可能取值有 36 种．由直线 ＋ ＝1 的斜率 k＝－ ≥－ ，知 ≤ ，那么满足题意的( a， b)可能的取值为(2,1)，xa yb ba 12 ba 12(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有 9 种，所以所求概率为 ＝ .故选 D.936 149．(2018·太原模拟)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m， n，向量 a＝( m， n)与向量 b＝(1,0)的夹角为 α ，则 α ∈ 的概率为( )(0，π 4)A. B. C. D.518 512 12 71213答案 B解析 解法一：依题意，向量 a＝( m， n)共有 6×6＝36(个)，其中满足向量 a＝( m， n)与向量 b＝(1,0)的夹角 α ∈ ，即 n 的概率是 ________．y2b2 5答案 16解析 由 e＝ ，得 b2a.当 a＝1 时， b＝3,4,5,6 四种情况；当 a＝2 时，1＋ b2a2 5b＝5,6 两种情况，总共有 6 种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数( a， b)共有 36 种结果．∴所求事件的概率 P＝ ＝ .636 1613．(2018·湖南长沙模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为 a， b，则使得直线 bx＋ ay＝1 与圆 x2＋ y2＝1 相交且所得弦长不超过 的概率为________．423答案 19解析 根据题意，得到的点数所形成的数组( a， b)共有 6×6＝36 种，其中满足直线bx＋ ay＝1 与圆 x2＋ y2＝1 相交且所得弦长不超过 ，则圆心到直线的距离不小于 ，即423 131＞ ≥ ，即 1＜ a2＋ b2≤9 的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)四种，故直线1a2＋ b2 13bx＋ ay＝1 与圆 x2＋ y2＝1 相交且所得弦长不超过 的概率为 ＝ .423 436 1914．(2017·宿迁模拟)已知 k∈Z， ＝( k,1)， ＝(2,4)，若| |≤4，则△ ABC 是AB→ AC→ AB→ 直角三角形的概率是________．答案 3715解析 因为| |＝ ≤4，所以－ ≤ k≤ ，因为 k∈Z，所以AB→ k2＋ 1 15 15k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ ABC 为直角三角形时，应有 AB⊥ AC，或 AB⊥ BC，或AC⊥ BC，由 · ＝0，得 2k＋4＝0，所以 k＝－2，因为 ＝ － ＝(2－ k,3)，由 ·AB→ AC→ BC→ AC→ AB→ AB→ ＝0，得 k(2－ k)＋3＝0，所以 k＝－1 或 3，由 · ＝0，得 2(2－ k)＋12＝0，所以BC→ AC→ BC→ k＝8(舍去)，故使△ ABC 为直角三角形的 k 值为－2，－1 或 3，所以所求概率 P＝ .37三、解答题15．为了解收购的每只小龙虾的重量，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了 40 只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下．从甲水产养殖场中抽取的 40 只小龙虾的重量的频数分布表重量/克 [5,15) [15,25)[25,35)[35,45)[45,55]频数 2 8 16 10 4从乙水产养殖场中抽取的 40 只小龙虾的重量的频数分布表重量/克 [5,15) [15,25)[25,35)[35,45)[45,55]频数 2 6 18 10 4(1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的 40 只小龙虾的重量的频率分布直方图；(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：重量/克 [5,25) [25,45) [45,55]16等级 三级 二级 一级若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由．(3)从乙水产养殖场抽取的重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中利用分层抽样的方法抽取 6 只，再从这 6 只中随机抽取 2 只，求至少有 1 只的重量在[15,25)内的概率．解 (1)(2)若把频率看作相应的概率，则“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为 ＝0.75，16＋ 10＋ 440“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为 ＝0.8，18＋ 10＋ 440所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高．(3)用分层抽样的方法从乙水产养殖场重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中抽取 6 只，则重量在[5,15)内的有 1 只，在[15,25)内的有 3 只，在[45,55]内的有 2 只， 记重量在[5,15)内的 1 只为 x，在[15,25)内的 3 只分别为 y1， y2， y3，在[45,55]内的2 只分别为 z1， z2，从中任取 2 只，可能的情况有( x， y1)，( x， y2)，( x， y3)，( x， z1)，(x， z2)，( y1， y2)，( y1， y3)，( y1， z1)，( y1， z2)，( y2， y3)，( y2， z1)，( y2， z2)，(y3， z1)，( y3， z2)，( z1， z2)，共 15 种；记“任取 2 只，至少有 1 只的重量在[15,25)内”为事件 A，则事件 A 包含的情况有(x， y1)，( x， y2)，( x， y3)，( y1， y2)，( y1， y3)，( y1， z1)，( y1， z2)，( y2， y3)，( y2， z1)，(y2， z2)，( y3， z1)，( y3， z2)，共 12 种．所以 P(A)＝ ＝ .1215 4516．(2017·石景山区一模)“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指17标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据 GB/T18801－2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：累积净化量(克) (3,5](5,8](8,12]12 以上等级 P1 P2 P3 P4为了了解一批空气净化器(共 2000 台)的质量，随机抽取 n 台机器作为样本进行估计，已知这 n 台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，均匀分组，其中累积净化量在(4,6]的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7 和 5.9，并绘制了如下频率分布直方图．(1)求 n 的值及频率分布直方图中的 x 值；(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为 P2的空气净化器有多少台？(3)从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取 2 台，求恰好有 1 台等级为 P2的概率．解 (1)∵在(4,6]之间的数据一共有 6 个，再由频率分布直方图得：落在(4,6]之间的频率为 0.03×2＝0.06，∴ n＝ ＝100，60.06由频率分布直方图的性质得：(0.03＋ x＋0.12＋0.14＋0.15)×2＝1，解得 x＝0.06.(2)由频率分布直方图可知：落在(6,8]之间共：0.12×2×100＝24 台，又∵在(5,6]之间共 4 台，∴落在(5,8]之间共 28 台，∴估计这批空气净化器(共 2000 台)中等级为 P2的空气净化器有 560 台．(3)设“恰好有 1 台等级为 P2”为事件 B，18依题意落在(4,6]之间共 6 台，属于国标 P2级的有 4 台，分别设为a1， a2， b1， b2， b3， b4，则从(4,6]中随机抽取 2 台，基本事件为( a1， a2)，( a1， b1)，( a1， b2)，( a1， b3)，(a1， b4)，( a2， b1)，( a2， b2)，( a2， b3)，( a2， b4)，( b1， b2)，( b1， b3)，( b1， b4)，(b2， b3)，( b2， b4)，( b3， b4)，共 15 种．事件 B 包含的基本事件为( a1， b1)，( a1， b2)，( a1， b3)，( a1， b4)，( a2， b1)，( a2， b2)，(a2， b3)，( a2， b4)，共 8 种．∴恰好有 1 台等级为 P2的概率 P(B)＝ ＝ .mn 815