2019版高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语（课件+学案+练习）（打包12套）理.zip

课后作业夯关1.1 集合的概念与运算11．1 集合的概念与运算[知识梳理]1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2．集合间的基本关系23．集合的基本运算4．集合的运算性质(1)并集的性质： A∪∅＝ A； A∪ A＝ A； A∪ B＝ B∪ A； A∪ B＝ A⇔B⊆A.(2)交集的性质： A∩∅＝∅ ； A∩ A＝ A； A∩ B＝ B∩ A； A∩ B＝ A⇔A⊆B.(3)补集的性质： A∪(∁ UA)＝ U； A∩(∁ UA)＝∅ ；∁ U(∁UA)＝ A；∁ U(A∪ B)＝(∁ UA)∩(∁ UB)；∁U(A∩ B)＝(∁ UA)∪(∁ UB)．(4)若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数为 2n个，非空子集个数为 2n－1 个，真子集有 2n－1 个，非空真子集的个数为 2n－2 个．3[诊断自测]1．概念思辨(1)直线 y＝ x＋3 与 y＝－2 x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )(2)若集合 A＝{ x|y＝ x2}， B＝{ y|y＝ x2}， C＝{( x， y)|y＝ x2}，则 A， B， C 表示同一个集合．( )(3)设集合 A＝{0,1}，若 B＝{ x|x⊆A}，则 A⊆B.( )(4)设集合 A＝{ x|ax＝1}， B＝{ x|x2＝1}，若 A⊆B，则 a＝1 或－1.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．教材衍化(1)(必修 A1P12T5)若集合 P＝{ x|x≥5}， Q＝{ x|5≤ x≤7}，则 P 与 Q 的关系是( )A． P＝ Q B． PQ C． PQ D． P⊄Q答案 C解析 因为集合 P＝{ x|x≥5}， Q＝{ x|5≤ x≤7}，所以 QP.故选 C.(2)(必修 A1P12T2)已知 A＝{( x， y)|4x＋ y＝6}， B＝{( x， y)|3x＋2 y＝7}，则A∩ B＝________.答案 {(1,2)}解析 A∩ B＝{( x， y)|4x＋ y＝6}∩{( x， y)|3x＋2 y＝7}＝Error!＝{(1,2)}．3．小题热身(1)已知集合 A＝{ x|－37}， B＝{ x|x2 m－1，则 m6.综上可知 m 的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)．[条件探究 2] 典例 2 中的 A 改为 A＝{ x|－3≤ x≤7}， B 改为 B＝{ x|m＋1≤ x≤2 m－1}，又该如何求解？解 当 B＝∅时，满足 B⊆A，此时有 m＋12 m－1，即 m0}， B＝{ x|－ 2 或 x0}，则 典 例A∩ B＝( )A. B.(－ 3， －32) (－ 3， 32)7C. D.(1，32) (32， 3)本题用数形结合法．答案 D解析 易知 A＝(1,3)， B＝ ，∴ A∩ B＝ .故选 D.(32， ＋ ∞ ) (32， 3)角度 2 求并集(2018·浙江模拟)已知集合 P＝{ x|－10}， B＝{ x|y＝lg 典 例(x－1)}，则(∁ UA)∩ B＝( )A．{ x|x2 或 x0，即 x(x－2)0，得 x2，故 A＝{ x|x2}．集合 B 是函数 y＝lg (x－1)的定义域，由 x－10，解得 x1，所以 B＝{ x|x1}．易知∁UA＝ {x|0≤ x≤2} ，所以(∁ UA)∩ B＝{ x|0≤ x≤2}∩{ x|x1}＝{ x|11} D． A∩ B＝∅答案 A解析 ∵ B＝{ x|3x＜1}，∴ B＝{ x|x＜0}．又 A＝{ x|x＜1}，∴ A∩ B＝{ x|x＜0}， A∪ B＝{ x|x＜1}．故选 A.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合 A＝{( x， y)|x2＋ y2＝1}， B＝{( x， y)|y＝ x}，则 A∩ B中元素的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0答案 B解析 集合 A 表示以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆上的所有点的集合，集合 B 表示直线 y＝ x 上的所有点的集合．由图形可知，直线与圆有两个交点，所以 A∩ B 中元素的个数为 2.故选 B.3．(2018·武昌调研)设 A， B 是两个非空集合，定义集合 A－ B＝{ x|x∈ A，且x∉B}．若 A＝{ x∈N|0≤ x≤5} ， B＝{ x|x2－7 x＋101}，则(∁ RA)∩ B＝( )A．[1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(0,1) D．[0,1]答案 A解析 依题意得， A＝{ x|00}，故(∁ RA)∩ B＝{ x|x≥1}＝[1，＋∞)．故选 A.5．若集合 M＝{ x||x|≤1}， N＝{ y|y＝ x2，| x|≤1}，则( )A． M＝ N B． M⊆NC． N⊆M D． M∩ N＝∅答案 C解析 M＝{ x||x|≤1}＝[－1,1]， N＝{ y|y＝ x2，| x|≤1}＝[0,1]，所以 N⊆M.故选 C.6．(2017·山西模拟)设全集 U＝R，集合 A＝{ x∈N| x20 可解得－60}，集合B＝{ x|x2－2 ax－1≤0， a0}，若 A∩ B 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是( )A. B.(0，34) [34， 43)C. D．(1，＋∞)[34， ＋ ∞ )答案 B解析 A＝{ x|x2＋2 x－30}＝{ x|x1 或 x0)，f(0)＝－112}所以 2m－1≤ ，解得 m≤ .故 m 的最大值为 .12 34 3413．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集 A 具有性质 P：当 a∈ A 时，必有 6－ a∈ A.则具有性质 P 的集合 A 的个数是________．答案 7解析 由条件可知，有 1 必有 5；有 2 必有 4；3 可单独也可与 1,5 或 2,4 在一起．满足题意的子集有{3}、{1,5}、{2,4}、{3,1,5}、{3,2,4}、{1,5,2,4}、{3,1,5,2,4}，共 7个．14．已知集合 A＝{ a， b,2}， B＝{2， b2,2a}，且 A∩ B＝ A∪ B，则 a＝________.答案 0 或14解析 由于 A＝{2， a， b}， B＝{2 a,2， b2}，因 A∩ B＝ A∪ B，故 A＝ B，因此 A， B 中的元素对应相等，得Error!或Error! 解得Error!或Error!或Error!由集合中元素的互异性，得Error! 或Error!所以 a 的值为 0 或 .14三、解答题15．(2018·运城模拟)设集合 A＝{ x|x2＋4 x＝0， x∈R}， B＝{ x|x2＋2( a＋1)x＋ a2－1＝0， x∈R}．若 B⊆A，求实数 a 的取值范围．解 A＝{ x|x2＋4 x＝0， x∈R}＝{－4,0}．∵ B⊆A，∴ B＝ A 或 BA.①当 A＝ B，即 B＝{－4,0}时，则－4 和 0 是方程 x2＋2( a＋1) x＋ a2－1＝0 的两根，代入解得 a＝1.14②当 BA 时，分两种情况：若 B＝∅，则 Δ ＝4( a＋1) 2－4( a2－1)－2 时， B＝( m－1,2 m＋1)，因此，要 B⊆A，则只要Error!⇒－1≤ m≤2.综上所述， m 的取值范围是{ m|m＝－2 或－1≤ m≤2}． 第 1章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算基础知识过关经典题型冲关11．1 集合的概念与运算[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·山西八校联考)已知集合 A＝{ x|x2－2 x－3≤0}， B＝{ x|01}，则(∁ RA)∩ B＝( )A．[1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(0,1) D．[0,1]答案 A解析 依题意得， A＝{ x|00}，故(∁ RA)∩ B＝{ x|x≥1}＝[1，＋∞)．故选 A.5．若集合 M＝{ x||x|≤1}， N＝{ y|y＝ x2，| x|≤1}，则( )A． M＝ N B． M⊆NC． N⊆M D． M∩ N＝∅答案 C解析 M＝{ x||x|≤1}＝[－1,1]， N＝{ y|y＝ x2，| x|≤1}＝[0,1]，所以 N⊆M.故选 C.6．(2017·山西模拟)设全集 U＝R，集合 A＝{ x∈N| x20可解得－60}，集合B＝{ x|x2－2 ax－1≤0， a0}，若 A∩ B中恰含有一个整数，则实数 a的取值范围是( )A. B.(0，34) [34， 43)C. D．(1，＋∞)[34， ＋ ∞ )答案 B解析 A＝{ x|x2＋2 x－30}＝{ x|x1或 x0)，f(0)＝－112}所以 2m－1≤ ，解得 m≤ .故 m的最大值为 .12 34 3413．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集 A具有性质 P：当 a∈ A时，必有 6－ a∈ A.则具有性质 P的集合 A的个数是________．答案 7解析 由条件可知，有 1必有 5；有 2必有 4；3 可单独也可与 1,5或 2,4在一起．满足题意的子集有{3}、{1,5}、{2,4}、{3,1,5}、{3,2,4}、{1,5,2,4}、{3,1,5,2,4}，共 7个．14．已知集合 A＝{ a， b,2}， B＝{2， b2,2a}，且 A∩ B＝ A∪ B，则 a＝________.答案 0 或14解析 由于 A＝{2， a， b}， B＝{2 a,2， b2}，因 A∩ B＝ A∪ B，故 A＝ B，因此 A， B中的元素对应相等，得Error!或Error!解得Error!4或Error! 或Error!由集合中元素的互异性，得Error!或Error!所以 a的值为 0或 .14三、解答题15．(2018·运城模拟)设集合 A＝{ x|x2＋4 x＝0， x∈R}， B＝{ x|x2＋2( a＋1)x＋ a2－1＝0， x∈R}．若 B⊆A，求实数 a的取值范围．解 A＝{ x|x2＋4 x＝0， x∈R}＝{－4,0}．∵ B⊆A，∴ B＝ A或 B A.①当 A＝ B，即 B＝{－4,0}时，则－4 和 0是方程 x2＋2( a＋1) x＋ a2－1＝0 的两根，代入解得 a＝1.②当 B A时，分两种情况：若 B＝∅，则 Δ ＝4( a＋1) 2－4( a2－1)－2 时， B＝( m－1,2 m＋1)，因此，要 B⊆A，则只要Error! ⇒－1≤ m≤2.综上所述， m的取值范围是{ m|m＝－2 或－1≤ m≤2}．课后作业夯关1． 2 命题及其关系、充分条件与必要条件11．2 命题及其关系、充分条件与必要条件[知识梳理]1．命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系2(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题，在四种形式的命题中真命题的个数只能是 0,2,4.(3)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；②当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提；③对于有多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提．3．充要条件(1)集合与充要条件3(2)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若 p是 q的充分条件，则 q是 p的必要条件，即“ p⇒q”⇔“q⇐p”．②传递性：若 p是 q的充分(必要)条件， q是 r的充分(必要)条件，则 p是 r的充分(必要)条件，即“ p⇒q且 q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且 q⇐r”⇒“p⇐r”)．[诊断自测]1．概念思辨(1)“x2＋2 x－3－1”是“ x0”的充分不必要条件. ( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(选修 A2－1P 8T2)命题“若 x， y都是偶数，则 x＋ y也是偶数”的逆否命题是( )A．若 x＋ y是偶数，则 x与 y不都是偶数B．若 x＋ y是偶数，则 x与 y都不是偶数C．若 x＋ y不是偶数，则 x与 y不都是偶数D．若 x＋ y不是偶数，则 x与 y都不是偶数答案 C解析 若命题为“若 p，则 q”，命题的逆否命题为“若非 q，则非 p”，所以原命题的逆否命题是“若 x＋ y不是偶数，则 x与 y不都是偶数” ．故选 C.(2)(选修 A2－1P 10T4)x2－3 x＋2≠0 是 x≠1 的________条件．答案 充分不必要解析 若 x2－3 x＋2≠0，则 x≠1 且 x≠2，此时充分性成立，当 x＝2 时，满足x≠1，但此时 x2－3 x＋2＝0 成立，即必要性不成立，即 x2－3 x＋2≠0 是 x≠1 的充分不必要条件．3．小题热身(1)(2017·浙江高考)已知等差数列{ an}的公差为 d，前 n项和为 Sn，则“ d＞0”是“S4 ＋ S6＞2 S5”的( )4A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 解法一：∵数列{ an}是公差为 d的等差数列，∴ S4＝4 a1＋6 d， S5＝5 a1＋10 d， S6＝6 a1＋15 d，∴ S4＋ S6＝10 a1＋21 d,2S5＝10 a1＋20 d.若 d0，则 21d20d,10a1＋21 d10a1＋20 d，即 S4＋ S62S5.若 S4＋ S62S5，则 10a1＋21 d10a1＋20 d，即 21d20d，∴ d0.∴“ d0”是“ S4＋ S62S5”的充分必要条件．故选 C.解法二：∵ S4＋ S62S5⇔S4＋ S4＋ a5＋ a62(S4＋ a5)⇔a6a5⇔a5＋ da5⇔d0，∴“ d0”是“ S4＋ S62S5”的充分必要条件．故选 C.(2)(2017·山东潍坊高三期末)命题“若 x＝5，则 x2－8 x＋15＝0” ，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( )A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个答案 B解析 原命题“若 x＝5，则 x2－8 x＋15＝0”为真命题，又当 x2－8 x＋15＝0 时，x＝3 或 5.故其逆命题：“若 x2－8 x＋15＝0，则 x＝5”为假命题．又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题．故选 B.题型 1 四种命题的关系及真假判断 已知：命题“若函数 f(x)＝e x－ mx在(0，＋∞)上是增函数，则 m≤1” ，则 典 例 1下列结论正确的是( )A．否命题是“若函数 f(x)＝e x－ mx在(0，＋∞)上是减函数，则 m1”，是真命题B．逆命题是“若 m≤1，则函数 f(x)＝e x－ mx在(0，＋∞)上是增函数” ，是假命题C．逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)＝e x－ mx在(0，＋∞)上是减函数” ， 是真命题D．逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)＝e x－ mx在(0，＋∞)上不是增函数” ，是真命题本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断．答案 D解析 由 f(x)＝e x－ mx在(0，＋∞)上是增函数，则 f′( x)＝e x－ m≥0 在(0，＋∞)上恒成立，∴ m≤1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若 m1，则函数 f(x)＝e x－ mx在(0，＋∞)5上不是增函数”是真命题．故选 D.(2018·黄梅期末)给出下列命题： 典 例 2①命题“若 b2－4 acb0，则 0”的逆否命题；3a3b④“若 m1，则 mx2－2( m＋1) x＋( m－3)0 的解集为 R”的逆命题．其中真命题的序号为________．分清原命题的条件与结论写出所要命题，进行判断．答案 ①②③解析 ①命题“若 b2－4 acb0，则 0”是真命题，∴它的逆否命题也是真命题；3a3b④命题“若 m1，则 mx2－2( m＋1) x＋( m－3)0 的解集为 R”的逆命题是“若mx2－2( m＋1) x＋( m－3)0 的解集为 R，则 m1”是假命题，∵不等式的解集为 R时，Error!的解集为∅，∴逆命题是假命题；∴真命题有①②③.方法技巧四种命题关系及真假判断的方法1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若 p，则 q”的形式，应先改写成“若 p，则 q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．例如典例 2.2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．见教材衍化 2.3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．例如冲关针对训练 2.冲关针对训练1．(2018·陕西模拟)原命题为“若 z1， z2互为共轭复数，则| z1|＝| z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假答案 B6解析 先证原命题为真：当 z1， z2互为共轭复数时，设 z1＝ a＋ bi(a， b∈R)，则z2＝ a－ bi，则| z1|＝| z2|＝ ，∴原命题为真，故逆否命题为真；再证逆命题为假：a2＋ b2取 z1＝1， z2＝i，满足| z1|＝| z2|，但是 z1， z2不互为共轭复数，∴逆命题为假，故否命题也为假．故选 B.2．(2017·沐阳县期中)以下四个命题中是真命题的有________(填序号)．①命题“若 xy＝1，则 x， y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③命题“若 A∩ B＝ B，则 A⊆B”的逆否命题．答案 ①②解析 对于①，命题“若 xy＝1，则 x， y互为倒数”的逆命题是“若 x， y互为倒数，则 xy＝1” ，它是真命题；对于②，命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等” ，它是真命题；对于③，命题“若 A∩ B＝ B，则 A⊆B”是假命题，∴它的逆否命题也是假命题；综上，正确的命题是①②.题型 2 充分条件与必要条件的判定角度 1 利用定义判断充分、必要条件(2018·赣中南五校联考)已知 α ， β 均为第一象限角，那么 α β 是 典 例sinα sinβ 的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件利用定义结合特殊值法进行判断．答案 D解析 由 α ， β 均为第一象限角，可取 α ＝2π＋ ， β ＝ ，有 α β ，但π3 π3sinα ＝sin β ，即 α β 不是 sinα sinβ 的充分条件；又由 α ， β 均为第一象限角，可取 α ＝ ， β ＝2π＋ ，有 sinα sinβ 成立，但 α β 不是 sinα sinβ 的π3 π6必要条件，综上所述， α β 是 sinα sinβ 的既不充分也不必要条件．故选 D.角度 2 等价转化法判断充分、必要条件(2018·阳山模拟)“ a≠1 或 b≠2”是“ a＋ b≠3”的( ) 典 例A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件C．充要条件 D．充分不必要条件用等价转化法．答案 A解析 由题意得：∵命题“若 a≠1 或 b≠2，则 a＋ b≠3”与命题“若 a＋ b＝3，则 a＝1 且 b＝2”互为7逆否命题．∴判断命题“若 a≠1 或 b≠2，则 a＋ b≠3”的真假只要判断命题“若 a＋ b＝3，则a＝1 且 b＝2”的真假即可．因为命题“若 a＋ b＝3，则 a＝1 且 b＝2”显然是假命题．所以命题“若 a≠1 或 b≠2，则 a＋ b≠3”是假命题，∴ a≠1 或 b≠2 推不出 a＋ b≠3.同理“若 a＝1 且 b＝2，则 a＋ b＝3”是真命题，∴命题“若 a＋ b≠3，则 a≠1 或 b≠2”是真命题．∴ a＋ b≠3⇒ a≠1 或 b≠2.∴“ a≠1 或 b≠2”是“ a＋ b≠3”的必要不充分条件．故选 A.角度 3 集合法判断充分、必要条件(2017·天津高考)设 θ ∈R，则“ ＜ ”是“sin θ 典 例 |θ － π12| π12＜ ”的( )12A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件用集合法．答案 A解析 ∵ ＜ ⇔－ ＜ θ － ＜ ⇔0＜ θ ＜ ，sin θ ＜ ⇔θ ∈|θ －π12| π12 π12 π12 π12 π6 12， k∈Z，(2kπ －7π6， 2kπ ＋ π6) ， k∈Z，(0，π6) (2kπ － 7π6， 2kπ ＋ π6)∴“ 112用数形结合法．答案 A解析 因为函数 f(x)过点(1,0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2 x＋ a(x≤0)没有零点⇔函数 y＝2 x(x≤0)与直线 y＝ a无公共点．由数形结合，可得a≤0 或 a1.8观察选项，根据集合间关系{ a|a1}．故选 A.方法技巧充分条件和必要条件的三种判断方法1．定义法：可按照以下三个步骤进行(1)确定条件 p是什么，结论 q是什么；(2)尝试由条件 p推结论 q，由结论 q推条件 p；(3)确定条件 p和结论 q的关系．见角度 1典例．2．等价转化法：对于含否定形式的命题，如綈 p是綈 q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求 q是 p的什么条件．见角度 2典例．3．集合法：根据 p，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若 A⊆B，则 p是 q的充分条件或 q是 p的必要条件；若 AB，则 p是 q的充分不必要条件，若 A＝B，则 p是 q的充要条件．见角度 3典例．冲关针对训练1．(2018·石家庄模拟)命题 p：| x|0，若綈 p是綈 q的充分不必要条件，则 a的取10值范围为________．答案 [－1,6]解析 ∵綈 p是綈 q的充分不必要条件，∴ q是 p的充分不必要条件．对于 p，| x－ a|0)，且綈 p|1－x－ 13 |是綈 q的必要而不充分条件，则实数 m的取值范围为________．答案 [9，＋∞)解析 解法一：由 ≤2，得－2≤ x≤10，|1－x－ 13 |∴綈 p对应的集合为{ x|x10或 x10或 x0)，得 1－ m≤ x≤1＋ m(m0)，∴綈 q对应的集合为{ x|xm＋1 或 x0}，设 B＝{ x|xm＋1 或 x0}．∵綈 p是綈 q的必要而不充分的条件，∴ BA，∴Error!且不能同时取得等号．解得 m≥9，∴实数 m的取值范围为[9，＋∞)．解法二：∵綈 p是綈 q必要而不充分条件，∴ q是 p的必要而不充分条件，即 p是 q的充分而不必要条件，由 x2－2 x＋1－ m2≤0( m0)，得 1－ m≤ x≤1＋ m(m0)．∴ q对应的集合为{x|1－ m≤ x≤1＋ m， m0}，设 M＝{ x|1－ m≤ x≤1＋ m， m0}，又由 ≤2，得－2≤ x≤10，|1－x－ 13 |∴ p对应的集合为{ x|－2≤ x≤10}．设 N＝{ x|－2≤ x≤10}，由 p是 q的充分而不必要条件知 NM，∴Error!且不能同时取等号，解得 m≥9.∴实数 m的取值范围为[9，＋∞)．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．下列命题中是真命题的是( )①“若 x2＋ y2≠0，则 x， y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若 x－3 是有理数，则 x是无理数”的逆否命题． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③答案 B12解析 对于①，其否命题是“若 x2＋ y2＝0，则 x， y全为零” ，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形” ，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选 B.2．(2018·河南八市联考)命题“若 ab，则 a＋ cb＋ c”的否命题是( )A．若 a≤ b，则 a＋ c≤ b＋ c B．若 a＋ c≤ b＋ c，则 a≤ bC．若 a＋ cb＋ c，则 ab D．若 ab，则 a＋ c≤ b＋ c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若 ab，则 a＋ cb＋ c”的否命题是“若 a≤ b，则 a＋ c≤ b＋ c”．故选 A.3．(2018·曲阜模拟)已知 p：函数 f(x)＝| x＋ a|在(－∞，－1)上是单调函数， q：函数 g(x)＝log a(x＋1)( a0且 a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈 p是 q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 易知 p成立⇔ a≤1， q成立⇔ a1，所以綈 p成立⇔ a1，则綈 p是 q的充要条件．故选 C.4．下列命题正确的是( )A．若 p∨ q为真命题，则 p∧ q为真命题B． “a0， b0”是“ ＋ ≥2”的充分必要条件ba abC．命题“若 x2－3 x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2，则x2－3 x＋2≠0”D．命题 p：∃ x∈R， x2＋ x－10， b0，则 ＋ ≥2，又当 a0， b0”是“ ＋ ≥2”的充分不必要条件，故 B错误；命题“若 x2－3 x＋2＝0，则ba abx＝1 或 x＝2”的逆否命题为“若 x≠1 且 x≠2，则 x2－3 x＋2≠0” ，故 C错误，易知 D正确．故选 D.5． “a0时，－ a＋11；当 a0)，则 a， b之间的关系是( )A． b≥ B． ba2 a2 b2 b2答案 A解析 ∵ f(x)＝2 x＋3，且| f(x)－1|0)，∴ ⊆(－ b－1， b－1)，(－ 2－ a2 ， － 2＋ a2 )∴Error!14解得 b≥ .故选 A.a29．(2018·江西一联)已知 i为虚数单位， a为实数，复数 z＝(1－2i)( a＋i)在复平面内对应的点为 M，则“ a0”是“点 M在第四象限”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B解析 复数 z＝(1－2i)( a＋i)＝ a＋2－2 ai＋i＝ a＋2＋(1－2 a)i在复平面内对应的点为 M(a＋2,1－2 a)．若 a0，则 a＋20，但 1－2 a的正负不确定，所以点 M是否在第四象限也是不确定的；若点 M在第四象限，则Error!解得 a ，此时可推出 a0.所以“ a0”是12“点 M在第四象限”的必要不充分条件．故选 B.10．(2017·湖北七市联考)已知圆 C：( x－1) 2＋ y2＝ r2(r0)．设 p：00时， A＝{ x|a0时，有Error!解得 1m； s(x)： x2＋ mx＋10.如果∀x∈R， r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题，则实数 m的取值范围是 ________．答案 (－∞，－2]∪[－ ，2)2解析 由 sinx＋cos x＝ sin ，2 (x＋π4)得 sinx＋cos x的最小值为－ .2若∀ x∈R 时，命题 r(x)为真命题，则 m0 恒成立，则 Δ ＝ m2－41时， a2－ a，此时集合 N＝{ x|2－ a ；94当 a 或 a－ .94 14 第 1章 集合与常用逻辑用语1． 2 命题及其关系、充分条件与必要条件基础知识过关经典题型冲关11．2 命题及其关系、充分条件与必要条件[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．下列命题中是真命题的是( )①“若 x2＋ y2≠0，则 x， y 不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若 x－3 是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③答案 B解析 对于①，其否命题是“若 x2＋ y2＝0，则 x， y 全为零” ，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形” ，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选 B.2．(2018·河南八市联考)命题“若 ab，则 a＋ cb＋ c”的否命题是( )A．若 a≤ b，则 a＋ c≤ b＋ c B．若 a＋ c≤ b＋ c，则 a≤ bC．若 a＋ cb＋ c，则 ab D．若 ab，则 a＋ c≤ b＋ c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若 ab，则 a＋ cb＋ c”的否命题是“若 a≤ b，则 a＋ c≤ b＋ c”．故选 A.3．(2018·曲阜模拟)已知 p：函数 f(x)＝| x＋ a|在(－∞，－1)上是单调函数， q：函数 g(x)＝log a(x＋1)( a0 且 a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈 p 是 q 的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 C解析 易知 p 成立⇔ a≤1， q 成立⇔ a1，所以綈 p 成立⇔ a1，则綈 p 是 q 的充要条件．故选 C.4．下列命题正确的是( )A．若 p∨ q 为真命题，则 p∧ q 为真命题B． “a0， b0”是“ ＋ ≥2”的充分必要条件ba abC．命题“若 x2－3 x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2，则x2－3 x＋2≠0”D．命题 p：∃ x∈R， x2＋ x－10， b0，则 ＋ ≥2，又当 a0， b0”是“ ＋ ≥2”的充分不必要条件，故 B 错误；命题“若 x2－3 x＋2＝0，则ba abx＝1 或 x＝2”的逆否命题为“若 x≠1 且 x≠2，则 x2－3 x＋2≠0” ，故 C 错误，易知 D 正确．故选 D.5． “a0 时，－ a＋11；当 a0)，则 a， b 之间的关系是( )A． b≥ B． ba2 a2 b2 b2答案 A解析 ∵ f(x)＝2 x＋3，且| f(x)－1|0)，∴ ⊆(－ b－1， b－1)，(－ 2－ a2 ， － 2＋ a2 )∴Error!解得 b≥ .故选 A.a29．(2018·江西一联)已知 i 为虚数单位， a 为实数，复数 z＝(1－2i)( a＋i)在复平面内对应的点为 M，则“ a0”是“点 M 在第四象限”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B解析 复数 z＝(1－2i)( a＋i)＝ a＋2－2 ai＋i＝ a＋2＋(1－2 a)i 在复平面内对应的点为 M(a＋2,1－2 a)．若 a0，则 a＋20，但 1－2 a 的正负不确定，所以点 M 是否在第四象限也是不确定的；若点 M 在第四象限，则Error!解得 a ，此时可推出 a0.所以“ a0”是12“点 M 在第四象限”的必要不充分条件．故选 B.10．(2017·湖北七市联考)已知圆 C：( x－1) 2＋ y2＝ r2(r0)．设 p：00 时， A＝{ x|a0 时，有Error!解得 1m； s(x)： x2＋ mx＋10.如果∀x∈R， r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题，则实数 m 的取值范围是 ________．答案 (－∞，－2]∪[－ ，2)2解析 由 sinx＋cos x＝ sin ，2 (x＋π 4)得 sinx＋cos x 的最小值为－ .2若∀ x∈R 时，命题 r(x)为真命题，则 m0 恒成立，则 Δ ＝ m2－41 时， a2－ a，此时集合 N＝{ x|2－ a ；946当 a 或 a－ .94 14课后作业夯关1． 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词11．3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[知识梳理]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2)概念用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“ p 且 q”，记作 p∧ q；用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“ p 或 q”，记作 p∨ q；对命题 p 的结论进行否定，得到复合命题“非 p”，记作綈 p.(3)命题 p∧ q， p∨ q，綈 p 的真假判断2(4)命题的否定与否命题的区别①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若 p，则 q”的否定为“若 p，则綈 q”，而否命题为“若綈 p，则綈 q”．②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题34．复合命题的否定(1)“綈 p”的否定是“ p”；(2)“p∨ q”的否定是“(綈 p)∧(綈 q)”；(3)“p∧ q”的否定是“(綈 p)∨(綈 q)”．[诊断自测]1．概念思辨(1)若 p∧ q 为真，则 p∨ q 必为真；反之，若 p∨ q 为真，则 p∧ q 必为真．( )(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．( )(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( )(4)∃x0∈ M， p(x0)与∀ x∈ M，綈 p(x)的真假性相反．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(选修 A2－1P 27T3)命题“∀ x0，都有 x2－ x＋3≤0”的否定是 ( )A．∃ x0，使得 x2－ x＋3≤0B．∃ x0，使得 x2－ x＋30C．∀ x0，都有 x2－ x＋30D．∀ x≤0，都有 x2－ x＋30答案 B解析 命题“∀ x0，都有 x2－ x＋3≤0”的否定是：∃ x0，使得 x2－ x＋30.故选 B.(2)(选修 A2－1P 18T1)已知命题 p：∃ x∈R， x－2lg x，命题 q：∀ x∈R， x20，则( )A．命题 p∨ q 是假命题B．命题 p∧ q 是真命题C．命题 p∧(綈 q)是真命题4D．命题 p∨(綈 q)是假命题答案 C解析 由于 x＝10 时， x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题 p 为真命题，令 x＝0，则x2＝0，故命题 q 为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题 p∨ q 是真命题，命题 p∧ q 是假命题，綈q 是真命题，进而得到命题 p∧(綈 q)是真命题，命题 p∨(綈 q)是真命题．故选 C.3．小题热身(1)(2015·浙江高考)命题“∀ n∈N *， f(n)∈N *且 f(n)≤ n”的否定形式是( )A．∀ n∈N *， f(n)∉N*且 f(n)nB．∀ n∈N *， f(n)∉N*或 f(n)nC．∃ n0∈ N*， f(n0)∉N*且 f(n0)n0D．∃ n0∈ N*， f(n0)∉N*或 f(n0)n0答案 D解析 “ f(n)∈N *且 f(n)≤ n”的否定为“ f(n)∉N*或 f(n)n”，全称命题的否定为特称命题．故选 D.(2)(2015·山东高考)若“∀ x∈ ，tan x≤ m”是真命题，则实数 m 的最小值为[0，π 4]________．答案 1解析 若 0≤ x≤ ，则 0≤tan x≤1，∵“∀ x∈ ，tan x≤ m”是真命题，∴ m≥1.∴π 4 [0， π 4]实数 m 的最小值为 1.题型 1 含有逻辑联结词的命题的真假 (2018·江西七校联考)已知函数 f(x)＝Error!给出下列两个命题：命题 典 例 1p：∃ m∈( －∞， 0)，方程 f(x)＝0 有解；命题 q：若 m＝ ，则 f[f(－1)]＝0，那么，下列19命题为真命题的是( )A． p∧ q B．(綈 p)∧ qC． p∧(綈 q) D．(綈 p)∧(綈 q)利用复合命题的真假判断方法，逐项验证法．答案 B解析 因为 3x0，当 m0”是“ x4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A． p∧ q B． p∧(綈 q)C．(綈 p)∧ q D．(綈 p)∧(綈 q)答案 C解析 因为 01.20＝1， c＝log 1.20.30 可得 x3，故“x2－ x－60”是“ x4”的必要不充分条件， q 为真命题，故(綈 p)∧ q 为真命题．故选 C.2．(2018·山西八校联考)已知命题 p：存在 n∈R，使得 f(x)＝ nxn2＋2 n 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题 q：“∃ x∈R， x2＋23 x”的否定是“∀x∈R， x2＋23 x”的否定是“∀ x∈ R， x2＋2≤3 x”，故 q 是假命题，綈 q 是真命题．所以 p∧ q，(綈 p)∧ q，(綈 p)∧(綈 q)均为假命题， p∧(綈 q)为真命题．故选 C.题型 2 全称命题与特称命题角度 1 全称命题、特称命题的真假判断(2017·贵阳模拟)下列命题是假命题的是( ) 典 例A．∃ α ， β ∈R ，使 sin(α ＋ β )＝sin α ＋sin βB．∀ φ ∈R，函数 f(x)＝sin(2 x＋ φ )都不是偶函数C．∃ x0∈ R，使 x ＋ ax ＋ bx0＋ c＝0( a， b， c∈R 且为常数)30 207D．∀ a0，函数 f(x)＝ln 2 x＋ln x－ a 有零点本题用赋值法、分离常数法．答案 B解析 取 α ＝0 时，sin( α ＋ β )＝sin α ＋sin β ，A 正确；取 φ ＝ 时，函数 f(x)π 2＝sin ＝cos2 x 是偶函数，B 错误；对于三次函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋ c，当(2x＋π 2)x→－∞时， y→－∞，当 x→＋∞时， y→＋∞，又 f(x)在 R 上为连续函数，故∃ x0∈R，使x ＋ ax ＋ bx0＋ c＝0，C 正确；当 f(x)＝0 时，ln 2 x＋ ln x－ a＝0，则有 a＝ln 2 x＋ln 30 20x＝ 2－ ≥－ ，所以∀ a0，函数 f(x)＝ln 2 x＋ln x－ a 有零点，D 正确．故选 B.(ln x＋12) 14 14角度 2 全称命题、特称命题的否定(2018·厦门模拟)已知命题 p：∀ x∈ ，sin x0，命题 q：∃ x0∈(0，＋∞)，使得 g(x0)＝0，则下列说法正确的是( )A． p 是真命题，綈 p：∃ x0∈R， f(x0)0 得 x0，由 f′( x)0，所以∀ x∈R， f(x)0 成立，即 p 是真命题．g(x)＝ln x＋ x＋1 在(0，＋∞)上为增函数，当 x→0 时， g(x)0，则∃ x0∈(0 ，＋∞)，使得 g(x0)＝0 成立，即命题 q 是真命题．则綈 p：∃ x0∈ R， f(x0)≤0，綈 q：∀ x∈(0，＋∞)， g(x)≠0，综上只有 C 成立．故选 C.2．(2017·安徽皖江名校联考)命题 p：存在 x∈ ，使 sinx＋cos x ；命题[0，π 2] 2q：“∃ x0∈(0，＋ ∞)，ln x0＝ x0－1”的否定是“∀ x∈(0，＋∞)，ln x≠ x－1” ，则四个命题：(綈 p)∨(綈 q)， p∧ q，(綈 p)∧ q， p∨(綈 q)中，正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析 因为 sinx＋cos x＝ sin ≤ ，所以命题 p 是假命题；又特称命题的否2 (x＋π 4) 2定是全称命题，因此命题 q 为真命题．则(綈 p)∨(綈 q)为真命题， p∧ q 为假命题，(綈 p)∧ q 为真命题， p∨(綈 q)为假命题．∴四个命题中正确的有 2 个命题．故选 B.题型 3 由命题的真假求参数的取值范围已知命题 P：函数 y＝log a(1－2 x)在定义域上单调递增；命题 Q：不等式 典 例 1(a－2) x2＋2( a－2) x－429解析 命题 P：函数 y＝log a (1－2 x)在定义域上单调递增，∴02，所以 P∨ Q 为假时 a≤－2 或 a2.[结论探究] 在本例条件下，若 P∨ Q 为真命题， P∧ Q 为假命题，则实数 a 的取值范围为________．答案 －20，总有 f(x)＝ a－ x－|lg x|≤0，则 a 的取 典 例 2值范围是( )A．(－∞，lg e－lg (lg e)] B．(－∞，1]C．[1，lg e－lg (lg e)] D．[lg e－lg (lg e)，＋∞)用数形结合法．答案 A解析 对任意的 x0，总有 f(x)＝ a－ x－|lg x|≤0，即 a－ x≤|lg x|恒成立，设y＝－ x＋ a， g(x)＝|lg x|，如图，当直线 y＝－ x＋ a 与 g(x)相切时， a 取得最大值，设切点为 A(x， y)，则－1＝(－lg x)′，得到 x＝lg e，所以 y＝－lg (lg e)，所以切线方程为： y＋lg (lg e)＝－( x－lg e)，令 x＝0 得到 y＝lg e－lg (lg e)，所以 a 的取值范围为(－∞，lg e－lg (lg e)]．故选 A.方法技巧利用命题真假求参数取值范围的求解策略1．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．见典例 1.102．全称命题可转化为恒成立问题．同时注意数形结合思想的应用．见典例 2.冲关针对训练(2018·寿县月考)已知命题 P：∀ x∈(2,3)， x2＋5 ax 是假命题，则实数 a 的取值范围是( )A．[2 ，＋∞) B.5 [92， ＋ ∞ )C. D．(－∞，2 ][143， ＋ ∞ ) 5答案 A解析 若∀ x∈(2,3)， x2＋5 ax 恒成立，则 aax 是假命题，∴ a≥2 ，实数 a 的取值范围是[2 ，＋∞)．故选 A.5 51．(2017·山东高考)已知命题 p：∀ x＞0，ln (x＋1)＞0；命题 q：若 a＞ b，则a2＞ b2.下列命题为真命题的是( )A． p∧ q B． p∧(綈 q)C．(綈 p)∧ q D．(綈 p)∧(綈 q)答案 B解析 ∵ x＞0，∴ x＋1＞1，∴ln ( x＋1)＞ln 1＝0，∴命题 p 为真命题，∴綈 p 为假命题．∵ a＞ b，取 a＝1， b＝－2，而 12＝1，(－2) 2＝4，此时 a2＜ b2，∴命题 q 为假命题，∴綈 q 为真命题．∴ p∧ q 为假命题， p∧(綈 q)为真命题，(綈 p)∧ q 为假命题，(綈 p)∧(綈 q)为假命题．故选 B.2．(2018·郑州质检)设命题 p：∀ x0，log 2x0，log 2x≥2 x＋3 B．∃ x0，log 2x≥2 x＋3C．∃ x0，log 2x0，log 2x≥2 x＋3.故选 B.3．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是( )A．若 ab0，则 ln a(n＋2)·2 n－1 ”的否定是“∀ n∈N *,3n≥( n＋2)·2 n－1 ”D．已知函数 f(x)在区间[ a， b]上的图象是连续不断的，则命题“若 f(a)·f(b)0)是增函数，所以若 ab0，则 ln aln b，错误；B 中，若 a⊥ b，则 m＋ m(2m－1)＝0，解得 m＝0，错误；C 中，命题“∀n∈N *,3n(n＋2)·2 n－1 ”的否定是“∃ n∈N *,3n≤( n＋ 2)·2n－1 ”，错误；D 中，原命题的逆命题是“若 f(x)在区间( a， b)内至少有一个零点，则 f(a)·f(b)0，正确．故选 D.4．(2017·皖南名校联考)设命题 p：函数 f(x)＝ x3－ ax－1 在区间[－1,1]上单调递减；命题 q：函数 y＝ln (x2＋ ax＋1)的值域是 R，如果命题 p 或 q 是真命题， p 且 q 为假命题，则实数 a 的取值范围是( )A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2,3)C．(2,3] D．[3，＋∞)答案 B解析 若 p 为真命题，则 f′( x)＝3 x2－ a≤0 在区间[－1，1]上恒成立，即 a≥3 x2在区间[－1,1]上恒成立，所以 a≥3；若 q 为真命题，则方程 x2＋ ax＋1＝0 的判别式Δ ＝ a2－4≥0，即 a≥2 或 a≤－2.由题意知， p 与 q 一真一假．当 p 真 q 假时，Error!则a∈∅ ；当 p 假 q 真时，Error!则 a≤－2 或 2≤ a0，总有( x＋1)e x1，则綈 p 为( )A．∃ x0≤0 ，使得 (x0＋1)e x0≤1B．∃ x00，使得 (x0＋1)e x0≤1C．∀ x0，总有( x＋1)e x≤1D．∀ x≤0，总有( x＋1)e x≤1答案 B解析 “∀ x0，总有( x＋1)e x1”的否定是“∃ x00，使得( x0＋1)e x0≤1” ．故选 B.2．下列四个命题：12其中的真命题是( )A． p1， p3 B． p1， p4 C． p2， p3 D． p2， p4答案 D解析 3．已知 a0，函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c.若 x0满足关于 x 的方程 2ax＋ b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A．∃ x∈ R， f(x)≤ f(x0) B．∃ x∈R， f(x)≥ f(x0)C．∀ x∈R， f(x)≤ f(x0) D．∀ x∈R， f(x)≥ f(x0)答案 C解析 由题知： x0＝－ 为函数 f(x)图象的对称轴方程，所以 f(x0)为函数的最小值，b2a即对所有的实数 x，都有 f(x)≥ f(x0)，因此∀ x∈R， f(x)≤ f(x0)是错误的．故选 C.134．(2018·广东五校一诊)下列命题错误的是( )A．若 p∨ q 为假命题，则 p∧ q 为假命题B．若 a， b∈[0,1]，则不等式 a2＋ b20，若 p∧ q 为真命题，则实数 m 的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[－2,0)C．(－2,0) D．(0,2)答案 C解析 由题可知若 p∧ q 为真命题，则命题 p 和命题 q 均为真命题，对于命题 p 为真，则 m0，则 xsinx 恒成立；②命题“若 x－sin x＝0，则 x＝0”的逆否命题为“若 x≠0，则 x－sin x≠0” ；③“命题 p∧ q 为真”是“命题 p∨ q 为真”的充分不必要条件；④命题“∀ x∈R， x－ln x0”的否定是“∃ x0∈R， x0－ln x00 时， x－sin x0－0＝0，即当 x0 时， xsinx 恒成立，故①正确；对于②，命题“若 x－sin x＝0，则 x＝0”的逆否命题为“若 x≠0，则 x－sin x≠0” ，故②正确；对于③，命题 p∨ q 为真即 p， q 中至少有一个为真， p∧ q 为真即 p， q 都为真，可知“p∧ q 为真”是“ p∨ q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀ x∈R， x－ln x0”的否定是“∃ x0∈R， x0－ln x0≤0” ，故④错误．综上，正确结论的个数为 3.故选 C.8．(2017·广东七校联考)已知命题 p：∃ a∈ ，函数 f(x)＝ 在(－ ∞ ， －14) |x＋ ax＋ 1|上单调递增；命题 q：函数 g(x)＝ x＋log 2x 在区间 上无零点．则下列命题[12， 3] (12， ＋ ∞ )中是真命题的是( )A．綈 p B． p∧ qC．(綈 p)∨ q D． p∧(綈 q)答案 D解析 设 h(x)＝ x＋ .易知当 a＝－ 时，函数 h(x)为增函数，且 h ＝ 0，则此ax＋ 1 12 (12) 16时函数 f(x)在 上必单调递增，即 p 是真命题；∵ g ＝－ 0，∴ g(x)在[12， 3] (12) 12上有零点，即 q 是假命题，根据真值表可知 p∧(綈 q)是真命题．故选 D.(12， ＋ ∞ )9．(2018·广州测试)已知命题 p：∃ x0，e x－ ax1 时，可知存在 x∈(0， x0)，使得 ex－ ax1，由函数 f(x)＝－( a－1) x是减函数，可得 a－11，得 a2，即q： a2，故 p 推不出 q， q 可以推出 p， p 是 q 的必要不充分条件．故选 B.1510．(2017·泰安模拟)已知命题 p：存在 x0∈R， mx ＋12.因为 p∨(綈 q)为假命题，则需要满足命题 p 为假命题且命题 q 为真命题，即Error!解得 0≤ m≤2，故选 C.二、填空题11．若∀ a∈(0，＋∞)，∃ θ ∈R，使 asinθ ≥ a 成立，则 cos 的值为(θ －π 6)________．答案 12解析 因为∀ a∈(0，＋∞)， ∃θ ∈R，使 asinθ ≥ a 成立，所以 sinθ ≥1.又sinθ ∈[－1,1]，所以 sinθ ＝1，故 θ ＝ ＋2 kπ( k∈Z)．所以 cos ＝cosπ 2 (θ － π 6)＝cos ＝cos ＝ .[(π 2＋ 2kπ )－ π 6] (π 3＋ 2kπ ) π 3 1212．已知命题 p：方程 x2－ mx＋1＝0 有实数解，命题 q： x2－2 x＋ m0 对任意 x 恒成立．若命题 q∨( p∧ q)真、綈 p 真，则实数 m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈 p 真，所以 p 假，则 p∧ q 假，又 q∨( p∧ q)真，故 q 真，即命题 p 假、q 真．当命题 p 假时，即方程 x2－ mx＋1＝0 无实数解，此时 m2－41.所以所求的 m 的取值范围是 10)，∀ x1∈[－1,2] ，∃ x0∈[－1,2]，使 g(x1)＝ f(x0)，则实数 a 的取值范围是________．16答案 (0，12]解析 由于函数 g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在 x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝ f(x0)，因此问题等价于函数 g(x)的值域是函数 f(x)值域的子集．函数 f(x)的值域是[－1,3]，函数 g(x)的值域是[2－ a,2＋2 a]，则有 2－ a≥－1 且 2＋2 a≤3，即 a≤ .又12a0，故 a 的取值范围是 .(0，12]14．(2017·衡水调研)直线 x＝1 与抛物线 C： y2＝4 x 交于 M， N 两点，点 P 是抛物线C 准线上的一点，记 ＝ a ＋ b (a， b∈R)，其中 O 为抛物线 C 的顶点．OP→ OM→ ON→ (1)当 与 平行时， b＝________；OP→ ON→ (2)给出下列命题：①∀ a， b∈R，△ PMN 不是等边三角形；②∃ a0 时，9 x＋ －7≥ a＋1，结合基本不等式有a2x6|a|－7≥ a＋1，得 a≥ 或 a≤－ ，①②取交集得 a 的取值范围是 a≤－ .85 87 8716．(2018·福建晨曦中学联考)已知命题 p：函数 y＝ x2－2 x＋ a 在区间(1,2)上有 1个零点，命题 q：函数 y＝ x2＋(2 a－3) x＋1 的图象与 x 轴交于不同的两点．如果 p∧ q 是假命题， p∨ q 是真命题，求 a 的取值范围．解 若命题 p 为真，则函数 y＝ x2－2 x＋ a 在区间(1,2)上有 1 个零点，因为二次函数图象开口向上，对称轴为 x＝1，所以Error!所以 00，得 4a2－12 a＋50，解得 a .12 52因为 p∧ q 是假命题， p∨ q 是真命题，所以 p， q 一真一假．①若 p 真 q 假，则Error!所以 ≤ a .52故实数 a 的取值范围是 a≤0 或 ≤ a .12 52