1、浅析泛函分析的基本概念 摘 要：在教科书中“泛函分析”具有高度抽象以及概括性的特性，是当前数学教学的基础课程之一。虽然泛函分析具有很抽象的特性，这并不说明其是由抽象的数学构思组成。在泛函分析中，需要对相关的概念进行高度概括，这样间接的导致了学者们丢弃了很多直观的表达，而为了保障数学的严密性，造成了其概念的抽象性。及时如此其还在很多学科中有着广泛的应用，例如微、积分方程等。由此，对“泛函分析”的基本概念进行了解和掌握时非常有必要的。本文就算子及其收敛性以及共轭与相伴算子等泛函分析中的几个基本的概念展开分析和探讨，以期能提升读者对泛函分析概念的认知。 关键词：泛函分析 算子 共轭算子 相伴算子。
2、中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）09（b）-0041-01 1 空间与算子 在空间y中，以距离的定义为起始。假定输入值xX，就能够按照既定的模型（算子T）来计算出输出y=Tx，进一步的通过实际的测量就能够得到真实的输出通过实测得到的真实输出y*，这个过程中就涉及到一个关键点，即怎样明确的得到预测的偏差以及对模型结论的好坏的评价。 当距离设定好后，就要面对其所在的空间是否满足所需的要求。在实空间中对一个笔的尺寸进行测量，其测量结果可以精确至无穷数。而在数学的理念中，测试的精度是程“无限”的概念。这就意味着在实际的过程中需要采用无理数进行表示该空间中的
3、极限状况。所以我们对笔尺寸的测量既有测量结果无限符合其实际尺寸，又有无法测量其真实尺寸。从认知论出发，这是一个错误的结果，但在空间中，从元素的立场看其是非常科学的。在实际的应用中还需要对算子的有界和连续进行掌握。算子的有界性是指其所在的空间模型对初始的偏差和错误数据做无限处理；算子的连续性是指测量数据近似于实际值时，模型的输出数据也与实际值想接近。 在算子中，需要对于泛函分析中的“逆算子定理”需要进行了解和掌握。“逆算子定理”时指在Banach空间X、Y上的有界的线性算子TL，而其逆算子T-1L同样属于有界的线性算子。在“逆算子定理”中， Banach空间中有界线性算子T若为双射，就一定会有相
4、应的逆算子T-1，而且算子的连续性具有一致性。逆算子T-1的连续性在实际的应用中非常的关键，当T-1不是连续的算子时，依据设定的y值没有办法找出这种错误的因素x。甚至可以将其视为连个不一样的输入值x1以及x2都会产生基本上一致的输出值y1和y2，这就会对最终的判断造成误导或影响。 2 算子的收敛性 在算子收敛性的探析中，把分析的目标置于准确模型T*以及经验模型T中。那在这个过程中，对于经验模型与准确模型间的差距具体的差异性，通常是以算子的收敛性进行分析和理解的。在准确模型T*不确定的情况下，利用经验模型T把输入值x计算Tx，通过对比就可以得出那个更接近与真实T*x，也就可以达到评价那个模型好坏
5、的目的。 在强收敛算子的检验中有一个关键的设定，即方法有重要的前提，即Tx和T*x两者间可以进行对比分析。在真实的世界中，有很多的事物人们还无法认知，以对固定器具中的氮气加热为例。我们知道氮气有很多的分子，我们无法对任何一个氮气分子进行了解，但将其转化为宏观表达后就可以以全部的气体分子为一个整体进行其平均分子运动状态的研究。在研究的过程中，不同的压强以及温度是算子中的弱收敛特性。弱收敛就是指将抽象的以及不能直接认知的事物通过转化变为可准确测定并可以进行对比的数据。 在算子的强收敛以及弱收敛的检验模型中，都是以准确模型中T*不确定的情况下进行的。这是由于准确模型T*确定的情况下，对于经验模型T的
6、检验直接用T*进行即可，其对于经验数据没有任何的依附性。 3 共轭算子与相伴算子 在“泛函分析”中，还有两个非常重要的基本概念，他们分别是Banach空间的共轭算子，以及Hilbert空间中相伴算子。这两个基本的概念在其定义上很抽象，基本上无法对其进行直观的理解。 首先我们结合企业的生产过程对Banach空间的共轭算子为例进行分析和阐述。假定企业所采用的原料有n种，而生产的产品有m种，则该企业的原料的使用量对应的是x，而生产的产品对应的是y，于是该企业的生产就能够用y=Tx来表述。于是T又同时是nm的矩阵，其代表了企业生产过程中原料投入以及产品产出间的联系。对于企业来说，获得利益是其最终的目的
7、，所以在原料的处理中，就有以原料制备产品进而进行出售以及倒卖原料的两种方法可以获得利润。在企业制造产品并进行出售而获利的整个过程，可以视为共轭算子概念中的f（Tx）。f的定义是很确定的，即m种产品的销售价格，在数学领域中属于m维向量。而直接倒卖原材料也可以获得利润，计为f*（x）。当f（Tx）=f*（x）时，也就是说制造产品进行销售和倒卖原料所获得利润相等。其可作为没有新的企业进入到该领域的生产中，也不不存在原企业退出该生产领域的一种平衡。f（Tx）f*（x）时，就会出现企业进入产品的制造领域，这样就会造成最终产品价格的下降以及原料价格的上升，最终也会使得f（Tx）和f*（x）相互靠近。这样就
8、会对市场经济中原料价格以及产品价格间相互影响和相互制约的关系。当市场的调价机制发挥其功能时就会使得f（Tx）=f*（x）。 4 结语 综上所述，相信通过“泛函分析”基本概念的介绍，可以让读者对其有了最直接的了解，也使其本身固有的抽象性有了明确的意义。在“泛函分析”基本概念的分析中，有些内容没有了严谨的表达方式，但其却有着促进概念理解的优点。在学习中，学生应以正确的态度去对待和学习“泛函分析”。虽然泛函分析具有很抽象的特性，这并不说明其是由抽象的数学构思组成。在泛函分析中，需要对相关的概念进行高度概括，这样间接的导致了学者们丢弃了很多直观的表达，而为了保障数学的严密性，造成了其概念的抽象性。所以
9、，在泛函分析的学习中，需要将这种抽象的概念放到现实生活中进行认知。同时，“泛函分析”在教学中是数学课程中的基础之一，其自身有着很多优势。这就要求我们对“泛函分析”从内心中去体会，从生活中去认知。唯有如此，才能掌握“泛函分析”中基本概念。 参考文献 1 耕.泛函分析M.北京：高等教育出版社，2001. 2 吴中如.水工建筑物安全监控理论及其应用M.北京：高等教育出版社，2003：11-34. 3 傅中志.泛函分析若干基本概念的理解J.高等数学研究，2011，13（1）：126-130. 4 薛小平，孙立民，武立中.应用泛函分析M.北京：电子工业出版社，2006：20-30.第 5 页 共 5 页
