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2018年秋人教B版数学选修4-5课件:3.1 数学归纳法原理.ppt

上传人:梦中客 文档编号:1672260 上传时间:2018-08-17 格式:PPT 页数:26 大小:841.50KB
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1、3.1 数学归纳法原理,1.了解数学归纳法的原理. 2.了解数学归纳法的应用范围. 3.会用数学归纳法证明一些简单问题.,1.归纳法 由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常称为归纳法. 名师点拨根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部,归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法. (1)不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特例得到一般结论的推理方法.不完全归纳法所得到的命题不一定是成立的,但它是一种重要的思考问题的方法,是研究数学问题的一把钥匙,是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径. (2)完全归纳法是一种在研究了

2、事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时,采用完全归纳法.,【做一做1-2】 从1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,猜想第n个式子为 .,2.数学归纳法 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当n=n0时命题成立; (2)假设当n=k(kN,且kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 完成两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.,名师点拨1.这两个步骤

3、缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2),就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1),无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定.同样,只有步骤(2)而缺少步骤(1),也可能得出不正确的结论.缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了. 2.用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立?n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时命题成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明. 3.用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整

4、数问题都用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.,【做一做2-1】 下列说法中不正确的是( ) A.数学归纳法中的两个步骤相互依存,缺一不可 B.数学归纳法证明的是与正整数有关的命题 C.数学归纳法证明的第一步是递推的基础,第二步是递推的依据 D.数学归纳法中第一步必须从n=1开始 答案:D,故当n=k+1时,不等式成立. 上述的证明过程中,不正确的一步的序号为 . 解析:在(2)中,由n=k到n=k+1的证明,没有用上归纳假设,故(2)错误. 答案:(2),1.为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢? 剖析:这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时命题成立,这样假设就有了存

5、在的基础.假设当n=k时命题成立,根据假设和合理推证,证明出当n=k+1时命题也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了当n0=1时命题成立,又证明了当n=k+1时命题也成立,这就一定有当n=2时命题成立,当n=2时命题成立,则当n=3时命题也成立;当n=3时命题成立,则当n=4时命题也成立.如此反复,以至无穷.对所有nn0的正整数命题就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题,这就是数学方法的神奇.,2.什么时候可以运用数学归纳法证明,证明时n0是否一定要为1? 剖析:数学归纳法一般被用于证明某些涉及正整数n的命题,n可取无限多值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以

6、用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明 (nN*)的单调性就难以实现,一般说来,从n=k到n=k+1时,若问题中存在可利用的递推关系,则使用数学归纳法就较简单,否则使用数学归纳法就有困难. 在运用数学归纳法时,要注意起点n并非一定取1,也可能取2等值,要看清题目,比如证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)180,这里面的n应不小于3,即n3,第一个值n0=3.,题型一,题型二,题型三,题型四,用数学归纳法证明恒等式 【例1】 用数学归纳法证明:,分析:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的关键是第二步,要注意当n=k+1时等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪

7、些项,问题就会顺利解决.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型四,题型三,用数学归纳法证明整除性问题 【例2】 求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,nN*. 分析:对于多项式A,B,若A=BC,C也是多项式,则A能被B整除.若A,B都能被C整除,则A+B,A-B也能被C整除. 证明:(1)当n=1时,a1+1+(a+1)21-1=a2+a+1,命题显然成立. (2)假设当n=k(kN*,且k1)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时, ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+

8、1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1. 由归纳假设,得上式中的两项均能被a2+a+1整除,故当n=k+1时命题成立. 根据(1)(2)可知,对一切nN*,命题成立.,题型一,题型二,题型四,题型三,反思证明整除性问题的关键是“凑项”,采用增项、减项、拆项、因式分解等手段,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.,题型一,题型二,题型三,题型四,用数学归纳法证明几何问题 【例3】 平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这

9、n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(nN*). 分析:因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,所以增加一个圆后,平面分成的区域数增加2n,即f(n+1)=f(n)+2n.有了上述关系,数学归纳法的第二步证明可迎刃而解.,题型一,题型二,题型三,题型四,证明:(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分, 且f(1)=1-1+2=2,所以n=1时命题成立. (2)假设当n=k(kN*,且k1)时命题成立, 即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分, 则当n=k+

10、1时,在k+1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O与k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2. 故当n=k+1时,命题成立. 根据(1)(2)可知,对一切nN*,命题成立.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思对于用数学归纳法证明几何问题,可以先从有限情形中归纳出一个变化的过程,或者说体会出是怎样变化的,再去证明.也可以用“递推”的办法,比如本题,当n=k+1时的结果已知道:f(k+1)=(k+1)2-(k+1)+2,用f(k+1)-f(k)就可得到增

11、加的部分,然后从有限的情况来理解如何增加的,也就好理解了.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:在应用数学归纳法证明有关问题时,两步缺一不可,且最易出错的地方是在第二步证明中未用归纳假设. 【例4】 已知在数列an中,a1=3,其前n项和Sn满足Sn=6-2an+1,计算a2,a3,a4,然后猜想出an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论. 错解:当n2时, an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an),题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析:本题在证明时出现的主要错误是未用归纳假设.,题型一,题型二,题型三,题型四,1 2 3 4 5,1下列代数式中,nN*,则可能被

12、13整除的是( ) A.n3+5n B.34n+1+52n+1 C.62n-1+1 D.42n+1+3n+2 解析:当n=1时,只有D项能被13整除. 答案:D,1 2 3 4 5,2若凸n边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为( ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 解析:从凸n边形到凸(n+1)边形,对角线增加了(n-1)条. 答案:C,1 2 3 4 5,3下列四个判断中,正确的是( ) A.式子1+k+k2+kn(nN*),当n=1时为1 B.式子1+k+k2+kn-1(nN*),当n=1时为1+k,解析

13、:对于选项A,当n=1时,式子应为1+k;选项B中,当n=1时,式子应为1;,答案:C,1 2 3 4 5,4已知在数列an中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(nN*),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,则下一步证明 . 答案:a4k+4能被4整除,1 2 3 4 5,5某同学用数学归纳法证明等式1+2+22+2n-1=2n-1的过程如下: (1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立; (2)假设当n=k(kN*,且k1)时,等式成立, 即1+2+22+2k-1=2k-1;,即当n=k+1时等式成立. 根据(1)(2)可知,对任意正整数n等式成立. 以上证明过程的错误是 . 答案:第(2)步未用归纳假设,

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