1、1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值的不等式的几何意义证明不等式. 2.会用绝对值三角不等式的两个性质定理证明简单的含绝对值的不等式以及解决含绝对值的不等式的最值问题.,1.定理1(绝对值的三角不等式)及推论 (1)若a,b为实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. (2)推论1:|a|-|b|a+b|. 推论2:|a|-|b|a-b|. 名师点拨(1)定理1还可以变形为|a-b|a|+|b|,等号成立的充要条件是ab0. (2)这个定理是含有绝对值的不等式中一个非常重要的不等式,证明的最重要依据是对于一切实数a,b,都有|a|b|a2b2|a|2|b|2. (3)注
2、意等号成立的条件是ab0,与以前学习过的不等式有所不同. (4)根据定理及推论易得:|a|-|b|ab|a|+|b|.,【做一做1-1】 已知实数a,b满足ab|a|-|b| C.|a+b|a+b|成立. 答案:C,【做一做1-2】 若|a-c|c|-|a| D.b0,b=|b|. |a|-|c|a-c|, |a|-|c|-|b|,由选项B成立,得|c|-|a|b|, -|b|c|-|a|b|, 即|c|-|a|b|=b.故选项C成立. 由选项A成立知选项D不成立,故选D. 答案:D,2.定理2(三个实数的绝对值的三角不等式) 设a,b,c为实数,则|a-c|a-b|+|b-c|,等号成立(a
3、-b)(b-c)0,即b落在a,c之间. 名师点拨(1)在应用定理1证明定理2时,用到了a-c=(a-b)+(b-c)这一条件,这种处理问题的方法在解决不等式问题时常用到,在处理实际问题时应特别注意. (2)应用定理时应特别注意条件、适用范围及等号成立的条件. 【做一做2】 函数y=|x-1|+|x+3|的最小值为 . 解析:y=|x-1|+|x+3|=|1-x|+|x+3|1-x+x+3|=4,当且仅当(1-x)(x+3)0,即-3x1时,等号成立,故当-3x1时,函数取得最小值4. 答案:4,如何理解绝对值的三角不等式的几何意义? 剖析用向量a,b替换实数a,b时,问题就从一维扩展到二维,
4、当向量a,b不共线时,a+b,a,b构成三角形,有|a+b|a|+|b|.当向量a,b共线时,若a,b同向(相当于ab0),则|a+b|=|a|+|b|;若a,b异向(相当于ab0),则|a+b|a|+|b|,这些都是利用了三角形的性质定理,如两边之和大于第三边等,这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆定理,并利于定理的应用. 绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺度”还要仔细把握,如下面的式子: |a|-|b|a|-|b|a+b|a|+|b|. 我们较为常用的形式是|a|-|b|a+b|a|+|b|,但有些同学就会误认为只能如此,而实质上,|a+b|是不小于|
5、a|-|b|的,|a|-|b|不一定是正数,当然,这需对绝对值不等式有更深的理解,从而使放缩的“尺度”更为准确.,题型一,题型二,题型三,利用绝对值不等式证明不等式 【例1】 设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|m时,求证,分析:本题的关键是对题设条件的理解和运用.|a|,|b|和1这三个数中哪一个最大?如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息:m|a|,m|b|,m1.,题型一,题型二,题型三,反思分析题目时,题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据,而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来,那么准确理解题目中的文字语言,适时准确地进行
6、转化也就成了解题的关键,如本题中题设条件中的文字语言“m等于|a|,|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m|a|,|m|b|,m1”是证明本题的关键.,题型一,题型二,题型三,利用绝对值的三角不等式求函数的最值 【例2】 求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值. 分析:若把x-3,x+1看作两个实数,则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式,因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系,进而可转化求解.另一种思路是:含有这种绝对值函数式表示的是分段函数,所以也可以视为是分段函数求最值. 解:解法一:|x-3|-|x+1|(x-3)-(x+1)|=4, -
7、4|x-3|-|x+1|4.ymax=4,ymin=-4. 解法二:把函数看作分段函数.,-4y4.ymax=4,ymin=-4.,题型一,题型二,题型三,反思对于含有两个绝对值以上的代数式,通常利用分段讨论的方法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质解决相应的问题.利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”,有时也能产生比较好的效果,但这需要准确地处理“数”的差或和,以达到所需要的结果.,题型一,题型二,题型三,绝对值不等式的综合应用,分析:(1)借助定义判别f(x)的单调性;(2)利用绝对值三角不等式解决.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思此类题目的综合性强,不仅要用到绝
8、对值不等式的性质、推论及已知条件,还要用到配方等等价变形.在应用绝对值不等式的放缩性质求最值时要注意等号成立的条件,这是关键所在.,1 2 3 4 5,1若|x-a|h,|y-a|k,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.|x-y|2h B.|x-y|2k C.|x-y|h+k D.|x-y|h-k| 解析:|x-y|=|(x-a)+(a-y)|x-a|+|y-a|h+k. 答案:C,1 2 3 4 5,2已知h0,a,bR,命题甲:|a-b|2h;命题乙:|a-1|h,且|b-1|h,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:显然
9、a与b的距离可以很近,满足|a-b|2h,但此时a,b与1的距离可以很大,因此甲不能推出乙.另一方面,若|a-1|h,|b-1|h,则|a-b|=|a-1+1-b|a-1|+|b-1|2h,即乙可以推出甲. 因此甲是乙的必要不充分条件. 答案:B,1 2 3 4 5,3已知a,b,cR,且abc,则有( ) A.|a|b|c| B.|ab|bc| C.|a+b|b+c| D.|a-c|a-b| 解析:a,b,cR,且abc,令a=2,b=1,c=-6. |a|=2,|b|=1,|c|=6, |b|a|c|,故排除选项A. |ab|=2,|bc|=6, |ab|bc|,故排除选项B. |a+b|
10、=3,|b+c|=5, |a+b|b+c|,故排除选项C.故选D. 答案:D,1 2 3 4 5,4设|a|1,|b|1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 . 解析:当a+b与a-b同号时, |a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|2. 当a+b与a-b异号时, |a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|2. 综上可知,|a+b|+|a-b|2. 答案:|a+b|+|a-b|2,1 2 3 4 5,5已知|x-a|1,求证:|a|-1|x|a|+1. 证明:|x-a|=|a-x|,根据绝对值不等式定理可得|x|-|a|x-a|, |x|-|a|x-a|1或|a|-|x|x-a|1, |x|a|+1或|a|-1|x|. |a|-1|x|a|+1.,
