1、1.1 直角坐标系,平面上的伸缩变换,1.回顾在直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用. 2.通过具体例子,了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况.,1,2,1.直角坐标系 (1)直线上点的坐标; (2)平面直角坐标系; (3)空间直角坐标系. 名师点拨(1)直角坐标系的作用:使点与坐标(有序实数组)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形的结合. (2)坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系. (3)坐标法解决几何问题的步骤:第一步,建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步
2、,通过代数运算,解决代数问题;第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.,1,2,答案:C,1,2,【做一做1-2】 已知平行四边形ABCD,求证:AC2+BD2=2(AB2+AD2). 证明如图,以边AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy,则A(0,0). 设B(a,0),C(b,c), 则D(b-a,c), AB2=a2,AD2=(b-a)2+c2, AC2=b2+c2,BD2=(b-2a)2+c2. AC2+BD2=4a2+2b2+2c2-4ab =2(2a2+b2+c2-2ab), 而AB2+AD2=2a2+b2+c2-2ab, AC2+BD2=2(AB2+AD2).,1,2,
3、2.平面上的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换. (2)平面上的伸缩变换:设点P(x,y)是平面上任意一点,在变,1,2,答案:D,1,2,答案:D,建立平面直角坐标系的方法 剖析一般情况下,有如下建立平面直角坐标系的方法:(1)当题目中有两条互相垂直的直线时,以这两条直线为坐标轴,建立平面直角坐标系;(2)当题目中有轴对称图形时,以轴对称图形的对称轴为坐标轴,建立平面直角坐标系;(3)当题目中有长度已知的线段时,以线段所在的直线为x轴,以端点或中点为原点,建立平面直角坐标系.在建立平面直角坐标系时,应使图形
4、上的特殊点尽可能多地在坐标轴上. 平面直角坐标系建立完后,需仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 如图所示,A,B,C是三个观察站,A在B的正东方向,两地相距6 km,C在B的北偏西30方向,两地相距4 km,在某一时刻,A观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s后B,C两个观察站同时发现这种信号,在以过A,B两点的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中,指出发出这种信号的位置P的坐标.,分析由题意可知,点P所在的位置满足两个条件:(1)在线段BC的垂直平分线上;(2)在以A,B为焦点的双曲线的右支上.,题
5、型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思合理建立坐标系是我们解决此类问题的关键,若坐标系建立得合理,则可以简化我们的计算,并且使问题的结论清晰明了、具体形象,反之,将会带来计算的烦琐,结果也不明确.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 ABC的顶点A固定,点A的对边BC的长是2a,边BC上的高是b,边BC沿一条直线移动,求ABC外心的轨迹方程. 解:以边BC所在的定直线为x轴,过A作x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系,则点A的坐标为(0,b). 设ABC的外心为M(x,y). 取BC的中点N,则MNBC,即MN是BC的 垂直平分线.|BC|=2a,|BN|=a,|
6、MN|=|y|. 又M是ABC的外心,|MA|=|MB|.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思解决求轨迹方程的问题,在掌握求轨迹方程的一般步骤的基础上,还要注意: (1)选择恰当的坐标系,坐标系如果选择得恰当,可使解题过程简化,减少计算量; (2)要注意给出轨迹的范围,在限定范围的基础上求轨迹方程.若只求出轨迹方程,而没有根据题目要求,确定出x,y的取值范围,则最后的结论是不完备的.,题型一,题型二,题型三,题型四,分析将伸缩变换中的x,y分别用X,Y表示,代入已知的曲线方程,即可得到所求曲线的方程,再由方程判断曲线的类型.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【
7、例4】 在平面直角坐标系中,求方程x+y+2=0所对应的图形经过伸缩变 错解直线x+8y+4=0. 错因分析点(x,y)在原曲线上,点(X,Y)在变换后的曲线上,因此点(x,y)的坐标满足原曲线的方程,点(X,Y)的坐标适合变换后的曲线方程.错解混淆了(x,y)和(X,Y)的含义.,题型一,题型二,题型三,题型四,1,2,3,4,5,1.点P(1,-2)关于点A(-1,1)的对称点P的坐标为 ( ) A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4) 答案:B,1,2,3,4,5,2.在平面直角坐标系中,已知点A(-1,3),点B(3,1),点C在坐标轴上,ACB=90,则
8、满足条件的点C的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,5,解析:若点C在x轴上,可设点C的坐标为(x,0), 由ACB=90,得|AB|2=|AC|2+|BC|2, 有(-1-3)2+(3-1)2=(x+1)2+(0-3)2+(x-3)2+(0-1)2, 解得x1=0,x2=2. 点C的坐标为(0,0)或(2,0). 若点C在y轴上,可设点C的坐标为(0,y), 由ACB=90, 得|AB|2=|AC|2+|BC|2, 有(-1-3)2+(3-1)2=(0+1)2+(y-3)2+(0-3)2+(y-1)2, 解得y1=0,y2=4. 点C的坐标为(0,0)或(0,4). 故满足条件的点C的个数为3. 答案:C,1,2,3,4,5,解析:将伸缩变代入X2+Y2=1,得25x2+9y2=1. 答案:A,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.在同一平面直角坐标系中,将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线X2-Y2-4X+3=0,求满足条件的伸缩变换.,
