1、专题一,专题二,专题三,专题四,专题一 相互独立事件的概率 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,我们把这样的两个事件叫做相互独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(AB)=P(A)P(B).如果事件A1,A2,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).关于相互独立事件应注意两点: (1)若事件A与事件B相互独立,则有 也相互独立. (2)相互独立事件与互斥事件是不同的.前者是指两个试验中,两个事件发生的概率互不影响,如甲、乙两人分别射击一次,甲射中的环数对乙射中的环数没有影
2、响.后者是指同一次试验中,两个事件不会同时发生.如甲射击一次,射中7环和8环不会同时发生.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得300分的概率; (2)求这名同学至少得300分的概率. 提示:本小题考查概率知识.(1)同学得300分必是第一、二题一对一错,这样得100分,而第三题一定答对,所以一共得分是300分. (2)至少300分,意思是得300分或
3、多于300分,而本题包括两种情况:一种是得300分,另一种是得400分,两种概率相加即可.,专题一,专题二,专题三,专题四,解:记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i=1,2,3), 则P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6. (1)这名同学得300分的概率为=0.80.30.6+0.20.70.6=0.228. (2)这名同学至少得300分的概率为 P2=P1+P(A1A2A3)=P1+P(A1)P(A2)P(A3)=0.228+0.80.70.6=0.564.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题二 独立重复试验与二项分布 事件的概率着眼于随机现象的局部问题,与此不
4、同,随机变量的概率分布及期望、方差等则着眼于随机现象的整体和全局问题.其中,离散型随机变量的分布列给出了随机变量取所有可能值的概率,期望反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值的集中与分散情况,这些都是从整体和全局上来描述随机变量的.如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(=k)= pkqn-k,其中k=0,1,2,n,q=1-p,于是得到随机变量的概率分布如下:,专题一,专题二,专题三,专题四,称这样的随机变量服从二项分布,记作B(n,p),其中n,p为参数,二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布,其概率P(=k),k=
5、0,1,2,n,就是n次独立重复试验中,某事件发生k次的概率 pk(1-p)n-k.若B(n,p),则E()=np,D()=npq,其中q=1-p.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用某单位6名员工借助互联网开展工作,每名员工上网的概率都是0.5(相互独立). (1)求至少3人同时上网的概率; (2)至少几人同时上网的概率小于0.3? 提示:因为6名员工上网都是相互独立的,所以该题可归结为n次独立重复试验与二项分布问题. 解:(1)方法一:记“有r人同时上网”为事件Ar,则“至少3人同时上网”即为事件A3+A4+A5+A6.因为A3,A4,A5,A6为彼此互斥事件,所以可应用概率加法公式,得
6、“至少3人同时上网”的概率为,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,专题三 离散型随机变量的期望与方差 期望和方差都是随机变量的重要的数字特征,方差是建立在期望这一概念之上,它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度,二者联系密切,在现实生产生活中应用广泛. 求离散型随机变量X的期望与方差的步骤: (1)理解X的意义,写出X可能取的全部值; (2)求X取每个值的概率或求出P(X=k); (3)写出X的分布列; (4)由分布列和期望的定义求出E(X); (5)由方差的定义求D(X). 若XB(n,p),则可直接利用公式求: E
7、(X)=np,D(X)=np(1-p).,专题一,专题二,专题三,专题四,应用1某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题,规则如下: 每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A,B,C,D分别加1分,2分,3分,6分,答错任一题减2分; 每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局; 每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答,直至答题结束. 假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为 ,且各题回答正确与否相互之间没有影响. (1)求
8、甲同学能进入下一轮的概率; (2)用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求的分布列和数学期望E().,专题一,专题二,专题三,专题四,解:设A,B,C,D分别为第一、二、三、四个问题.用Mi(i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确,用Ni(i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误.则Mi与Ni是对立事件(i=1,2,3,4).由题意得,专题一,专题二,专题三,专题四,(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q, 则Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4. 由于每题答题结果相互独立,因此 P(Q)=P(M1M2M3+N1M2M3M4
9、+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4) =P(M1M2M3)+P(N1M2M3M4)+P(M1N2M3M4)+P(M1M2N3M4)+P(N1M2N3M4) =P(M1)P(M2)P(M3)+P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)+P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)+P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)+P(N1)P(M2)P(N3)P(M4),专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,应用2投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,
10、则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审. (1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率; (2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求X的分布列及期望. 提示:本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、分布列及期望的相关知识.,专题一,专题二,专题三,专题四,解:(1)记A表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D表示事件:稿件被录用. 则D=A+BC, P(A)=0.
11、50.5=0.25,P(B)=20.50.5=0.5,P(C)=0.3, P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(BC) =P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.50.3=0.4.,专题一,专题二,专题三,专题四,(2)因为XB(4,0.4),所以 P(X=0)=(1-0.4)4=0.129 6,P(X=4)=0.44=0.025 6. 因此X的分布列为期望E(X)=40.4=1.6.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题四 数学期望在风险与决策中的应用 在日常生活中,人们经常要面临“风险”.为了减少风险,我们决策时必须平衡极大化期望和极小化风险这样矛盾的要求,还必须在一个多阶段过程的每一
12、阶段作出决策.但是始终有一条指导性原则:尽你的最大努力去决定各种结果在每一阶段出现的概率及这些结果的价值或效用,计算每一种行动方案的期望效应并断定给出最大期望效应的策略.这也就是说利用随机变量的概率分布计算期望值后,就可以选择能给出最大期望值的行动.,专题一,专题二,专题三,专题四,应用在某一项有奖销售中,每10万份奖券中有一个头等奖(奖金10 000元),2个二等奖(奖金5 000元),500个三等奖(奖金100元),10 000个四等奖(奖金5元). (1)试求每张奖券奖金的期望值. (2)如果每张奖券3元,销售一张平均获利多少元?(假设所售奖券全部售完) 提示:先求分布列,再求期望.,专
13、题一,专题二,专题三,专题四,2,3,4,1,5,6,1.(上海高考)设10x1D(2) B.D(1)=D(2) C.D(1)D(2) D.D(1)与D(2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关 答案:A,2,3,4,1,5,6,2.(广东高考)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ),答案:D,2,3,4,1,5,6,3.(课标全国高考)某一部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服
14、从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 .,2,3,4,1,5,6,2,3,4,1,5,6,4.(辽宁高考)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙. (1)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;,2,3,4,1,5,6,(2)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位:
15、kg/hm2)如下表:分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?,2,3,4,1,5,6,2,3,4,1,5,6,2,3,4,1,5,6,5.(湖南高考)某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货.若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货.将频率视为概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数.求X的分布列和数学期望.,2,3,4,1,5,6,2,3,4,1,5,6,6.(重庆高考)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响. (1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投球次数的分布列与期望.,2,3,4,1,5,6,2,3,4,1,5,6,
