1、本 章 整 合,专题一,专题二,专题三,专题一 空间向量的概念 数学概念是数学体系的基础,准确掌握空间向量的有关概念是学好空间向量的关键. 注意概念的严密、精练、准确性,防止缺失概念中的某些条件或者忽略概念规定的特殊情况.,专题一,专题二,专题三,应用给出下列命题:,若ab是钝角; 若a是直线l的方向向量,则a(R)也是l的方向向量; 非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c与a都是共面向量,则a,b,c必共面. 其中错误命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,专题二 空间向量与线面的位置关系 利用向量平行、向量垂直的条件,解决空间中
2、的平行与垂直关系,将几何证明转化为纯代数运算,从而使问题得以简化. (1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量. (2)证明线面平行的方法: 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; 证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线; 利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量. (3)证明面面平行的方法: 转化为线线平行、线面平行处理; 证明这两个平面的法向量是共线向量.,专题一,专题二,专题三,(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直. (5)证明线面垂直的方法: 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量; 证明直线与
3、平面内的两个不共线的向量互相垂直. (6)证明面面垂直的方法: 转化为线线垂直、线面垂直处理; 证明两个平面的法向量互相垂直.,专题一,专题二,专题三,应用1如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB于点F.,证明:(1)PA平面EDB; (2)PB平面EFD.,提示:底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,所以可建立空间直角坐标系使用空间向量来证明.,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,应用2在直三棱柱ABC - A1B1C1中,ACB=90,AC=1,专题一,专题二,专题三,专
4、题一,专题二,专题三,专题三 利用空间向量求空间的角与距离 利用向量求空间中的夹角及距离问题是高考的重点.解题的关键是会找直线的方向向量及平面的法向量,并用它们表示空间中的角及距离,所有的空间距离问题用向量求时,有着相同的表现形式.应加强理解,求角时,要弄清向量夹角与所求角的关系. 应用1在正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,求EF和平面ACC1A1所成角的大小. 提示:已知正方体中有两两垂直的关系,故可考虑建系用法向量求解.,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,提示:设CD的中点为O,可证明MO,BO,CD两两垂直,从而可用等积法、定义法求解或
5、者建系用向量法来求解.,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,1,2,3,1,2,3,1,2,3,2.(安徽高考)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,OAB,OAC,ODE,ODF都是正三角形.(1)证明:直线BCEF; (2)求棱锥F - OBED的体积.,1,2,3,1,2,3,1,2,3,3.(北京高考)如图,在四棱锥P - ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,BAD=60.(1)求证:BD平面PAC; (2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值; (3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长. (1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD. 又因为PA平面ABCD,所以PABD. 所以BD平面PAC.,1,2,3,1,2,3,
