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类型2017中考数学压轴试题复习第一部分专题四因动点产生的平行四边形问题.doc

  • 上传人:梦中客
  • 文档编号:1670415
  • 上传时间:2018-08-16
  • 格式:DOC
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    2017中考数学压轴试题复习第一部分专题四因动点产生的平行四边形问题.doc
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    1、14 因动点产生的平行四边形问题课前导学我们先思考三个问题:1已知 A、 B、 C 三点,以 A、 B、 C、 D 为顶点的平行四边形有几个,怎么画?2在坐标平面内,如何理解平行四边形 ABCD 的对边 AB 与 DC 平行且相等?3在坐标平面内,如何理解平行四边形 ABCD 的对角线互相平分?图 1 图 2 图 3如图 1,过 ABC 的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点 D如图 2,已知 A(0, 3), B(2, 0), C(3, 1),如果四边形 ABCD 是平行四边形,怎样求点 D 的坐标呢?点 B 先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位与点 A 重合,因为

    2、 BA 与 CD 平行且相等,所以点 C(3, 1) 先向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位得到点 D(5, 4)如图 3,如果平行四边形 ABCD 的对角线交于点 G,那么过点 G 画任意一条直线(一般与坐标轴垂直) ,点 A、 C 到这条直线的距离相等,点 B、 D 到这条直线的距离相等关系式 xA xC xB xD和 yA yC yB yD有时候用起来很方便我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合如图 4,点 A 是抛物线 y x22 x3 在 x 轴上方的一个动点, AB x 轴于点 B,线段 AB 交直线 y x1 于点 C,那么点 A 的坐标可以表示为( x, x22 x3)

    3、,点 C 的坐标可以表示为( x, x1),线段 AB 的长可以用点 A 的纵坐标表示为AB yA x22 x3,线段 AC 的长可以用 A、 C 两点的纵坐标 图 4表示为 AC yA yC( x22 x3)( x1) x2 x2 通俗地说,数形结合就是:点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐标表示点到坐标轴的距离例 24 2014 年湖南省岳阳市中考第 24 题如图 1,抛物线经过 A(1, 0)、 B(5, 0)、 C 三点设点 E(x, y)是抛物线上一动10(,)3点,且在 x 轴下方,四边形 OEBF 是以 OB 为对角线的平行四边形(1)求抛物线的解析式;(2)当点

    4、 E(x, y)运动时,试求平行四边形 OEBF的面积 S 与 x 之间的函数关系式,并求出面积 S 的最大值;(3)是否存在这样的点 E,使平行四边形 OEBF 为正方形?若存在,求点 E、 F 的坐标;若不存在,请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 岳阳 24”,拖动点 E 运动,可以体验到,当点 E 运动到抛物线的顶点时, S 最大当点 E 运动到 OB 的垂直平分线上时,四边形 OEBF 恰好是正方形思路点拨1平行四边形 OEBF 的面积等于 OEB 面积的 2 倍2第(3)题探究正方形 OEBF,先确定点 E 在 OB 的垂直平分线上,再验证 EO EB图文解析(1)

    5、因为抛物线与 x 轴交于 A(1, 0)、 B(5, 0)两点,设 y a(x1)( x5)代入点 C ,得 解得 0(,)315a23所以抛物线的解析式为 10()43yx(2)因为 S S 平行四边形 OEBF2 S OBE OB( yE) 105(4)3x2(65324()x所以当 x3 时, S 取得最大值,最大值为 此时点 E 是抛物线的顶点(如图 2) 40(3)如果平行四边形 OEBF 是正方形,那么点 E 在 OB 的垂直平分线上,且 EO EB当 x 时, 此时 E 52235(1)5()2yx5(,)2如图 3,设 EF 与 OB 交于点 D,恰好 OB2 DE所以 OEB

    6、 是等腰直角三角形所以平行四边形 OEBF 是正方形所以当平行四边形 OEBF 是正方形时,E 、F 5(,)(,)2图 2 图 3考点伸展既然第(3)题正方形 OEBF 是存在的,命题人为什么不让探究矩形 OEBF 有几个呢?如图 4,如果平行四边形 OEBF 为矩形,那么 OEB90根据 EH2 HOHB,列方程 22(1)5()3xx或者由 DE OB ,根据 DE2 ,列方程 15422 5()(1)34x这两个方程整理以后都是一元三次方程 4x328 x253 x200,这个方程对于初中毕业的水平是不好解的事实上,这个方程可以因式分解, 51()()如图 3, x ;如图 4, x4

    7、;如图 5, x ,但此时点 E 在 x 轴上方了522这个方程我们也可以用待定系数法解:设方程的三个根是 、 m、 n,那么 4x328 x253 x20 54()()2mn根据恒等式对应项的系数相等,得方程组 解得108,3.mn4,1.图 4 图 5例 25 2014 年湖南省益阳市中考第 20 题如图 1,直线 y3 x3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、 B,抛物线 y a(x2) 2 k 经过 A、 B 两点,并与 x 轴交于另一点 C,其顶点为 P(1)求 a, k 的值;(2)抛物线的对称轴上有一点 Q,使 ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形,求点 Q 的坐标;(3)在

    8、抛物线及其对称轴上分别取点 M、 N,使以 A、 C、 M、 N 为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长 】图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 益阳 20”,可以体验到,点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上还可以体验到,正方形的对角线为 AC,有一个顶点恰为抛物线的顶点思路点拨1第(2)题的等腰三角形只考虑 QA QB 的情形2第(3)题的正方形不可能 AC 为边,只存在 AC 为对角线的情形图文解析(1)由 y3 x3,得 A(1, 0), B(0, 3)将 A(1, 0)、 B(0, 3)分别代入 y a(x2) 2 k,得 0,43.a解得 a1, k1(2)如图 2,抛物线的

    9、对称轴为直线 x2,设点 Q 的坐标为(2, m)已知 A(1, 0)、 B(0, 3),根据 QA2 QB2,列方程 12 m22 2( m3) 2解得 m2所以 Q(2, 2)(3)点 A(1, 0)关于直线 x2 的对称点为 C(3, 0), AC2如图 3,如果 AC 为正方形的边,那么点 M、 N 都不在抛物线或对称轴上如图 4,当 AC 为正方形的对角线时, M、 N 中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,1) 因为对角线 AC2,所以正方形的边长为 图 2 图 3 图 4考点伸展如果把第(3)题中的正方形改为平行四边形,那么符合条件的点 M 有几个?如果 AC 为对角线,上面的正方形

    10、 AMCN 是符合条件的, M(2,1)如图 5,如果 AC 为边,那么 MN/AC, MN AC2所以点 M 的横坐标为 4 或 0 此时点 M 的坐标为(4, 3)或(0, 3)第(2)题如果没有限制等腰三角形 ABQ 的底边,那么符合条件的点 Q 有几个?如图 2,当 QA QB 时, Q(2, 2)如图 6,当 BQ BA 时,以 B 为圆心, BA 为半径的圆与直线 x2 有两个交10点 根据 BQ210,列方程 22( m3) 210,得 36此时 Q 或 (,36),)如图 7,当 AQ AB 时,以 A 为圆心, AB 为半径的圆与直线 x2 有两个交点,但是点(2,3)与 A

    11、、 B 三点共线,所以 Q(2, 3)图 5 图 6 图 7例 26 2014 年湖南省邵阳市中考第 25 题准备一张矩形纸片(如图 1) ,按如图 2 操作:将 ABE 沿 BE 翻折,使点 A 落在对角线 BD 上的点 M,将 CDF 沿 DF 翻折,使点 C 落在对角线 BD 上的点 N(1)求证:四边形 BFDE 是平行四边形;(2)若四边形 BFDE 是菱形, AB2,求菱形 BFDE 的面积图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“14 邵阳 25”,拖动点 D 可以改变矩形 ABCD 的形状,可以体验到,当 EM 与 FN 在同一条直线上时,四边形 BFDE 是菱形,此时矩形的

    12、直角被三等分思路点拨1平行四边形的定义和 4 个判定定理都可以证明四边形 BFDE 是平行四边形2如果平行四边形 BFDE 是菱形,那么对角线平分一组对角,或者对角线互相垂直用这两个性质都可以解答第(2)题图文解析(1)如图 3,因为 AB/DC,所以 ABD CDB又因为12,34,所以13所以 BE/FD又因为 ED/BF,所以四边形 BFDE 是平行四边形图 3 图 4(2)如图 4,如果四边形 BFDE 是菱形,那么15所以125由于 ABC90,所以12530所以 BD2 AB4, AE 所以 ME 2323所以 S 菱形 BFDE2 S BDE BDME 8考点伸展第(1)题的解法

    13、,我们用平行四边形的定义作为判定的依据,两组对边分别平行的四边形叫平行四边形还可以这样思考:证明四边形 BFDE 的两组对边分别相等;证明 ED 与 BF 平行且相等;证明四边形 BFDE 的两组对角分别相等这三种证法,都要证明三角形全等,而全等的前提,要证明1234这样其实就走了弯路,因为由13,直接得到 BE/FD,根据平行四边形的定义来得快能不能根据 BD 与 EF 互相平分来证明呢?也是可以的:如图 5,设 EF 与 BD 交于点 O,根据“角角边”证明 EMO FNO,得到 EF 与 MN 互相平分又因为 BM DN,于是得到 EF 与 BD 互相平分图 5 图 6第(2)题的解法,我们用了菱形的性质:对角线平分每组对角,得到 30的角我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题:如图 6,如果四边形 BFDE 是菱形,那么对角线 EF BD,此时垂足 M、 N 重合因此 BD2 DC这样就得到了530事实上,当四边形 BFDE 是菱形时,矩形 ABCD 被分割为 6 个全等的直角三角形由 AB2,得 AD 矩形 ABCD 的面积为 343菱形面积占矩形面积的 ,所以菱形面积为 28

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