1、13 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1已知线段 AB，以线段 AB 为直角边的直角三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？2已知线段 AB，以线段 AB 为斜边的直角三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？3已知点 A(4,0)，如果 OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点 B 的坐标图 1 图 2 图 3如图 1，点 C 在垂线上，垂足除外如图 2，点 C 在以 AB 为直径的圆上， A、 B 两点除外如图 3，以 OA 为边画两个正方形，除了 O、 A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点 B，共 6 个解直角三角形的存在性问题，
2、一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便如图 4，已知 A(3, 0)， B(1,4)，如果直角三角形 ABC 的顶点 C 在 y 轴上，求点 C 的坐标我们可以用几何的方法，作 AB 为直径的圆，快速找到两个符合条件的点 C如果作 BD y 轴于 D，那么 AOC CDB
3、设 OC m，那么 341这个方程有两个解，分别对应图中圆与 y 轴的两个交点 图 4例 19 2015 年湖南省益阳市中考第 21 题如图 1，已知抛物线 E1： y x2经过点 A(1,m)，以原点为顶点的抛物线 E2经过点B(2,2)，点 A、 B 关于 y 轴的对称点分别为点 A、 B（1）求 m 的值及抛物线 E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1上是否存在点 Q，使得以点 Q、 B、 B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2， P 为第一象限内的抛物线 E1上与点 A 不重合的一点，连结 OP
4、并延长与抛物线 E2相交于点 P，求 PAA与 P BB的面积之比图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“15 益阳 21”，拖动点 P 在抛物线 E1上运动，可以体验到，点P 始终是线段 OP的中点还可以体验到，直角三角形 QBB有两个思路点拨1判断点 P 是线段 OP的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、 P的坐标2分别求线段 AA BB，点 P 到 AA的距离点 P到 BB的距离，就可以比较 PAA与 P BB的面积之比图文解析（1）当 x1 时， y x21，所以 A(1, 1)， m1设抛物线 E2的表达式为 y ax2，代入点 B(2,2)，可得 a 所以 y
5、 x221（2）点 Q 在第一象限内的抛物线 E1上，直角三角形 QBB存在两种情况：图 3 图 4如图 3，过点 B 作 BB的垂线交抛物线 E1于 Q，那么 Q(2, 4)如图 4，以 BB为直径的圆 D 与抛物线 E1交于点 Q，那么 QD 21B设 Q(x, x2)，因为 D(0, 2)，根据 QD24 列方程 x2( x22) 24解得 x 此时 Q 3(,3)（3）如图 5，因为点 P、 P分别在抛物线 E1、 E2上，设 P(b, b2)， P( c, )21因为 O、 P、 P三点在同一条直线上，所以 ，即 MNO2所以 c2 b所以 P(2 b, 2b2)如图 6，由 A(1
6、, 1)、 B(2,2)，可得 AA2， BB4由 A(1, 1)、 P(b, b2)，可得点 P 到直线 AA的距离 PM b21由 B(2,2)、 P(2 b, 2b2)，可得点 P到直线 BB的距离 P N2 b22所以 PAA与 P BB的面积比2( b21)4(2 b22)14图5 图6考点延伸第（2）中当 BQB90时，求点 Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法：方法二，由勾股定理，得 BQ2 B Q2 B B2所以( x2) 2( x22) 2( x2) 2( x22) 24 2方法三，作 QH B B 于 H，那么 QH2 B HBH所以( x22) 2( x2) (2 x)
7、例 20 2015 年湖南省湘潭市中考第 26 题如图 1，二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴交于 A(1, 0)、 B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 C，连结 BC动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动，动点 Q 以每秒个单位长度的速度从点 B 向点 C 运动， P、 Q 两点同时出发，连结 PQ，当点 Q 到达点 C2时， P、 Q 两点同时停止运动设运动的时间为 t 秒（1）求二次函数的解析式；（2）如图 1，当 BPQ 为直角三角形时，求 t 的值；（3）如图 2，当 t2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得PQ
8、 的中点恰为 MN 的中点，若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“15 湘潭 26”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到， BPQ 有两次机会可以成为直角三角形还可以体验到，点 N 有一次机会可以落在抛物线上 思路点拨1分两种情况讨论等腰直角三角形 BPQ2如果 PQ 的中点恰为 MN 的中点，那么 MQ NP，以 MQ、 NP 为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程 图文解析（1）因为抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A(1, 0)、 B(3, 0)两点，所以y( x1)( x3)
9、x22 x3（2）由 A(1, 0)、 B(3, 0)、 C(0,3)，可得 AB4， ABC45在 BPQ 中， B45， BP4 t， BQ t直角三角形 BPQ 存在两种情况：当 BPQ90时， BQ BP解方程 t (4 t)，得 t2（如图 3） 22当 BQP90时， BP BQ解方程 4 t2 t，得 t （如图 4） 3图 3 图 4 图 5（3）如图 5，设 PQ 的中点为 G，当点 G 恰为 MN 的中点时， MQ NP作 QE y 轴于 E，作 NF x 轴于 F，作 QH x 轴于 H，那么 MQE NPF由已知条件，可得 P(t1, 0)， Q(3 t, t)由 QE PF，可得 xQ xN xP，即 3 t xN( t1)解得 xN2将 x2 代入 y( x1)( x3)，得 y3所以 N(2,3)由 QH/NF，得 ，即 HF)12(tt整理，得 t29 t120解得 93t因为 t2，所以取 2t考点伸展第（3）题也可以应用中点坐标公式，得 (1)32PQGxtt所以 xN2 xG2
