1、31 代数计算及通过代数计算进行说理问题课前导学计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值压轴题中的代数计算题，主要是函数类题函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去 y，得到关于 x 的一元二次方程，然后根据确定交点的个数我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法如图 1，已知直线 y x1 与 x 轴交于点 A，抛物线 y x22 x
2、3 与直线 y x1 交于 A、 B 两点，求点 B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点 A 的坐标，另一个解计算点的坐标几何法是这样的：设直线 AB 与 y 轴分别交于 C，那么 tan AOC1作 BE x 轴于 E，那么 1A设 B(x, x22 x3)，于是23x请注意，这个分式的分子因式分解后， (1)3这个分式能不能约分，为什么？因为 x1 的几何意义是点 A，由于点 B 与点 A 不重合，所以 x1，因此约分以后就是 x31这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便图 1例 1 2014 年湖南省长沙市中考第 25
3、题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(2,2)， 2（ ， ） ，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个（1）若点 P(2, m)是反比例函数 nyx（ n 为常数， n0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数 y3 kx s1（ k、 s 为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数 y ax2 bx1（ a、 b 是常数， a0）的图象上存在两个“梦之点”A(x1, x1)、 B(x2, x2)，且满足2 x12，| x1 x2|2，令 215748tb，试求
4、t 的取值范围动感体验请打开几何画板文件名“14 长沙 25”，拖动 y 轴正半轴上表示实数 a 的点，可以体验到， A、 B 两点位于 y 轴同侧， A、 B 两点间的水平距离、竖直距离都是 2，并且对于同一个a，有两个对应的 b 和 b，但是 t 随 b、 t 随 b变化时对应的 t 的值保持相等思路点拨1 “梦之点”都在直线 y x 上2第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况3第（3）题放弃了也是明智的选择求 t 关于 b 的二次函数的最值， b 的取值范围由“梦之点” 、 2 x12 和| x1 x2|2 三个条件决定，而且2 x12 还要分两段讨论图文解析（
5、1）因为点 P(2, m)是“梦之点”，所以 P(2, 2)所以 4yx（2） “梦之点”一定在直线 y x 上，直线 y3 kx s1 与直线 y x 的位置关系有重合、平行、相交图 1 图 2 图 3如图 1，当直线 y3 kx s1 与直线 y x 重合时，有无数个“梦之点”此时 k3， s 1如图 2，当直线 y3 kx s1 与直线 y x 平行时，没有“梦之点”此时k 13， s1如图 3，当直线 y3 kx s1 与直线 y x 相交时，有 1 个“梦之点”此时 k ，“梦之点”的坐标为 (,)3sk（3）因为 A(x1,x1)、 B(x2,x2)两点是抛物线与直线 y x 的交
6、点，联立 y ax2 bx1和y x，消去 y，整理，得 ax2( b1) x10所以 x1x2 a0所以 A、 B 两点在 y 轴的同侧如图 4，由| x1 x2|2，可知 A、 B 两点间的水平距离、竖直距离都是 2已知2 x12，我们分两种情况来探求 a 的取值范围：当 A、 B 两点在 y 轴右侧时，0 x12，2 x24所以 0 x1x28当 A、 B 两点在 y 轴左侧时，2 x10，4 x22所以 0 x1x28综合、，不论 0 x12 或2 x10，都有 0 x1x28所以 0 1a8所以 a 8由 ax2( b1) x10，得 x1 x2 ba， x1x2 由| x1 x2|
7、2，得( x1 x2)24所以( x1 x2)24 x1x24所以 )4a整理，得 2)所以 2578tb 09(8b 098a 261()8a如图 5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线 1，在对称轴右侧， t 随 a 的增大而增大因此当 1a时， t 取得最小值，t 26()4 7所以 t 的取值范围是 t 76图 4 图 5考点伸展第（3）题我们也可以这样来讨论：一方面，由| x1 x2|2，得( x1 x2)24所以( x1 x2)24 x1x24所以2()4ba整理，得 ba另一方面，由 f(2)0， f(2)0，得 f(2)f(2)0所以 (1)21)a0所以 24ab 2(4(4
8、)a 18a0所以 a 18例 2 2014 年湖南省怀化市中考第 23 题设 m 是不小于1 的实数，使得关于 x 的方程 x22( m2) x m23 m30 有两个不相等的实数根 x1， x2（1）若 12，求 13m的值；（2）求 21x的最大值动感体验请打开几何画板文件名“14 怀化 23”，拖动 x 轴上表示实数 m 的点运动，可以体验到，当 m 小于 1 时，抛物线与 x 轴有两点交点 A、 B观察点 D 随 m 运动变化的图像，可以体验到，当 m1 时，点 D 到达最高点 思路点拨1先确定 m 的取值范围，由两个条件决定2由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于 m
9、的方程3第（2）题首先是繁琐的式子变形，把 m 提取出来，可以使得过程简便一点图文解析（1）因为方程 x22( m2) x m2 3m30 有两个不相等的实数根，所以0由4( m2) 24( m23 m 3)4 m40，得 m1又已知 m 是不小于1 的实数，所以1 m1由根与系数的关系，得 12()， 213x若 12x，那么 x所以 24整理，得 10m解得 152m，或 1+52（舍去） 所以 32(5)所以 3 （2） 21x 12x 121()()xxmm 1212()xmmx2(4)(3)1m2+42() 2 2(1)3所以当 m1 时，它有最大值，最大值为 3（如图 1 所示）
10、图 1考点伸展当 m 变化时，抛物线 y x22( m2) x m23 m30 的顶点的运动轨迹是什么？因为抛物线的对称轴是直线 x( m2)，所以抛物线的顶点的纵坐标y( m2) 22( m2) 2 m23 m3 m1因为 x y( m2) m11 为定值，所以 y x1也就是说，抛物线的顶点( x, y)的运动轨迹是直线 y x1（如图 2 所示） 图 2例 3 2014 年湖南省湘潭市中考第 26 题如图 1，已知二次函数 y x2 bx c 的对称轴为 x2，且经过原点，直线 AC 的解析式为 y kx4，直线 AC 与 y 轴交于点 A，与二次函数的图象交于 B、 C 两点（1）求二
11、次函数解析式；（2）若 =3AOBCS ，求 k 的值；（3）若以 BC 为直径的圆经过原点，求 k 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 湘潭 26”，拖动点 C 在抛物线上运动，可以体验到，当以BC 为直径的圆经过原点时， BMO ONC思路点拨1第（2）题先将面积比转化为 AB 与 BC 的比，进而转化为 B、 C 两点的横坐标的比2第（2）题可以用直线的解析式表示 B、 C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示 B、 C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组3第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到 B、 C 两点的
12、横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程图文解析（1）因为原点 O 关于直线 x2 的对称点为(4, 0)，所以抛物线 y x2 bx c 的解析式为 y x(x4) x24 x（2）如图 2，因为 1=3ABOCS ，所以 1=4BCx设 xB m，那么 xC4 m将点 B(m, km4)、 C(4m, 4km4)分别代入 y x(x4)，得),4.k4，整理，得 m21所以 m1将 m1 代入，得 k43解得 k1此时点 C 落在 x 轴上（如图 3） （3）因为 B、 C 是直线 y kx4 与抛物线的交点，设 B(x1,kx14)， C(x2,kx24)联立 y x24 x 和 y kx
13、4，消去 y，整理，得 x2( k4) x40所以 x1 x24 k， x1x24如图 5，若以 BC 为直径的圆经过原点，那么 BOC90作 BM y 轴， CN y 轴，垂足分别为 M、 N，那么 BMO ONC根据 BMONC，得 12(4)xk所以 21212112(4)()6xkx将 x1 x24 k， x1x24 代入，得 4k解得 54k图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点 B、 C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组将点 B(m, m24 m)、 C(4m,16 m216 m)分别代入 y kx4，得24,16.k4，得 12m212所以 m1将
14、 m1 代入，得 3 k4解得 k1例 4 2014 年湖南省株洲市中考第 24 题已知抛物线 252()4kyx和直线 2(1)()ykx（1）求证：无论 k 取何实数值，抛物线与 x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点，直线与 x 轴交于点 C，设 A、 B、 C 三点的横坐标分别是 x1、 x2、 x3，求 x1x2x3的最大值；（3）如果抛物线与 x 轴的两个交点 A、 B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、 E，直线 AD 交直线 CE 于点 G（如图 1） ，且CAGE CGAB，求抛物线的解析式
15、图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 株洲 24”，拖动 y 轴上表示实数 k 的点运动，可以体验到，抛物线与 x 轴总是有两个交点观察 x1x2x3随 k 变化的函数图像，可以体验到，x1x2x3是 k 的二次函数还可以体验到，存在一个正数 k，使得 AD 与 BE 平行思路点拨1两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗2第（2）题 x1x2x3的最小值由哪个自变量决定呢？当然是 k 了所以先求x1x2x3关于 k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了 x1x2由根与系数的关系得到，x3就是点 C 的横坐标3第（3）题的等积式转化为比例式，就得到 AD/BE
16、由此根据 OD OA OE OB 列方程，再结合根与系数的关系化简还是走走看，柳暗花明图文解析（1）因为 222(5)17()4()4kkk0，所以无论 k 取何实数值，抛物线与 x 轴有两个不同的交点（2）由 2(1)()y，得 C( k1), 0)所以 x3( k1)由根与系数的关系，得 x1x2 5)4所以 x1x2x3 ()4k 21(7)k因此 710x当时， x1x2x3取得最大值，最大值 149(52)0 980（3）如图 2，由 CAGE CGAB，得 CAGBE所以 AG/BE，即 AD/BE所以 ODEAB，即21(5)(4kx所以212(5)(4kx所以2(1)kx所以 x2 k1，或 k1（舍） 又因为 x1 x2 k2，所以 x11，即 A(1, 0)再将点 A(1, 0)代入 25()4ky，得 520()4k解得 k2所以抛物线的解析式为 y x24 x3图 2 图 3考点伸展把第（3）题中的条件“ CAGE CGAB”改为“ EC EB”，其他条件不变，那么抛物线的解析式是怎样的呢？如图 3，因为点 E 在 y 轴上，当 EC EB 时， B、 C 两点关于 y 轴对称，所以 B(k1, 0)将点 B(k1, 0)代入 252()4kx，得 251)104k解得 k2所以抛物线的解析式为 y x24 x3
