1、函数 064、 )(xf和 g都是定义在集合 M上的函数,对于任意的 xM，都有)(f成立，称函数 )(xf与 g在 上互为“ H函数” （1）若函数 bax， nm， )(xf与 互为“ 函数”,证明： )(gnf （2）若集合 2,M，函数 2)(xf， xgcos)(，判断函数 )(xf与 g在 M上是否互为“ H 函数” ，并说明理由 （3）函数 xaf)( 0且 1)， 1)(xg在集合 M上互为“ H函数”,求 a的取值范围及集合 M 【答案】 （1）证明：函数 )(xf与 g互为“ H函数“,则对于 Rx, )()(xfgf 恒成立 即 nbamnxa)( 在 R上恒成立2 分化
2、简得 )()(nbmxx2 分所以当 时， (xfgf，即 )(bgnf1 分（2 ） 假设函数 )(xf与 g互为“ H函数”，则对于任意的 M)(gxf恒成立 即 x2cos，对于任意 2,x恒成立2 分 当 0时， 10cos 不妨取 1x，则 1cos2，所以 1cos22 分所以假设不成立，在集合 M上，函数 )(xf与 g不是互为“ H函数”1 分 （3）由题意得， 1xa（ 0且 a）2 分变形得， )(，由于 且 11ax，因为 x，所以 0a，即 a2 分此时 )(log，集合 ),(log|M2 分5、 “活水围网”养鱼技术具有养 殖密度高、经济效益好的特点 研究表明：“活
3、水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克/年）是养殖密度v（单位：尾/立方米）的函数当 不超过 4（尾/ 立方米）时， 的值为 （千克/年） ；xx 2当 时， 是 的一次函数；当 达到 （尾/立方米）时，因缺氧等原因，420vx20的值为 （千克/年） v（1 ）当 时，求函数 的表达式；x()（2 ）当养殖密度 为多大时，鱼的年生 长量（单位：千克 /立方米） 可以达x ()()fxv到最大，并求出最大值【答案】 （1）由题意：当 时， ； 2 分04x2vx当 时，设 ，显然 在 是减函数，42xbavba4,0由已知得 ，解得 4 分204ab1852a
4、b故函数= 6 分xv*2,04,15,28xN（2 ）依题意并由（1）可得 8 分xf*2,04,15,2.8xN当 时， 为增函数，故 ； 10 分04xfmax()ff8当 时， ，2222151100()88fxx 12 分max(10).f所以，当 时， 的最大值为 xf1.5当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为 千克/立方12.5米14 分6、世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时” 活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为 的矩形 健身场地，如图点 M 在 上，点 NABCSAMPNAC在 上，且 P 点在斜边 上，已知 且
5、 米， ，BC60B3|C=x20,1x（1 ）试用 表示 ，并求 的取值范围；xS（2 ）设矩形 健身场地每平方米的造价为 ，再把矩形 以外（阴影部AMPNSk37AMPN分）铺上草坪，每平方米的造价为 （ 为正常数） ，求总造价 关于 的函数Sk12TS；试问如何选取 的长使总造价 最低（不要求求出最低造价） )(SfT|AMTCMABN P【答案】 （1）在 中，显然 ， ，PRtxMC30| 60P，2 分)(tan| 矩形 的面积 ， 4 分AN| xS 1,于是 为所求 6 分3250（2 ） 矩形 健身场地造价 7 分MP1TSk7又 的面积为 ，即草坪造价 ，8 分ABC345
6、02)3450(1Sk由总造价 ， ， 10 分21T)6(Sk325，11 分36S当且仅当 即 时等号成立， 12 分2121此时 ，解得 或 ，36)30(xx18所以选取 的长为 12 米或 18 米时总造价 最低 14 分|AMT7、 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 ABCD 是正方形，其中 AB=2 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆 （1 ）设 MN 与 AB 之间的距离为 x
7、米，试将EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数； （2 ）求EMN 的面积 S（平方米）的最大值【答案】解：（1）如图 1 所示，当 MN 在正方形区域滑动，即 0x2 时， EMN 的面积 S= = ； 2 分x2如图 2 所示，当 MN 在三角形区域滑动，即 2x 时，3如图，连接 EG，交 CD 于点 F，交 MN 于点 H， E 为 AB 中点， F 为 CD 中点，GF CD，且 FG 3又 MNCD， MNG DCG ，即 5 分GFHDCMN3)2(x故EMN 的面积 S )(1 ； 7 分xx)32(综合可得： GEA BNDMC（文 21 题）EA BGNDMC图 2HF8 分32,)321(0, xxS说明：讨论的分段点 x=2 写在下半段也可（2 ） 当 MN 在正方形区域滑动时， ，所以有 ； 10 分S20S当 MN 在三角形区域滑动时，S= xx)31(2因而，当 （米） ，S 在 上递减，无最大值， 231x,20S所以当 时，S 有最大值，最大值为 2 平方米 14 分ENGDMA BC图 1
