1、第六讲 转化可化为一元二次方程的方程数学(家) 特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎彼得在无穷的玩艺一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题 ”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程) 的基本思想解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解【例题求解】【例 1】 若 051285xx，则 152x的值为 思路点拨 视
2、 x为整体，令 yx2，用换元法求出 y即可【例 2】 若方程 xp2有两个不相等的实数根，则实数 p的取值范围是( ) A 1 B 0 C 01p D 01思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注 02xp的隐含制约注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等解下列方程：（1） 12934822xx；(2) )1()9(； （3） 42)13(12xx按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于
3、 (2)，从1)98()19(x受到启示；对于(3)，设 13xy，则可导出 yx、 的结果注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换【例 4】 若关于 x的方程 xkk112只有一个解(相等的解也算作一个) ，试求 k的值与方程的解 思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论， “只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出 k的值注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方
4、程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析【例 5】 已知关于 x的方程 65)(2xa有两个根相等，求 a的值思路点拨 通过换元可得到两个关于 的含参数 的一元二次方程，利用判别式求出 a的值注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求 学历训练1若关于 x的方程 01a有增根，则 a的值为 ；若关于 x的方程 12a 曾一 1 的解为正数，则 的取值范围是 2解方程 12)0(9)2(1)()1( xxxx 得 3已知方程 m23有一个根是 2，则 m= 4方程 97
5、2xx的全体实数根的积为( )A60 B一 60 C10 D一 105解关于 的方程 112xk不会产生增根，则是的值是( )A2 B1 C不为 2 或一 2 D无法确定6已知实数 x满足 02x，那么 x的值为( )A1 或一 2 B一 1 或 2 C1 D一 2 7(1)如表，方程 1、方程 2、方程 3、，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空格处；(2)若方程 bxa( a)的解是 1x=6， 2=10，求 a、 b的值该方程是不是(1) 中所给的一列方程中的一个方程?如果是，它是第几个方程?(3)请写出这列方程中的第 n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第
6、n个方程序号 方 程 方程的解1 126x1x= 2x= 2 38=4 =63 140x 1x=5 2x=8 8解下列方程：（1） 619212xx ；（2） 0838822x；(3) 10)4(3)(；(4) 12xx9已知关于 的方程 022mx，其中 为实数，当 m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根 10方程 221xx的解是 11解方程 214765123122 xxxx 得 12方程 8798的解是 13若关于 x的方程 03124xa恰有两个不同的实数解，则实数 a的取值范围是 14解下列方程：(1) 6)1(43)76(2xx；(2) 222)43(7x；（3） 3)1(2x；（4） 015当 a取何值时，方程 212xax有负数解?16已知 058234xx，求 的值 17已知：如图，四边形 ABCD 为菱形，AF上 AD 交 BD 于 E 点，交 BC 于点 F(1)求证：AD 2= 1 DEDB；(2)过点 E 作 EGAE 交 AB 于点 G，若线段 BE、DE(BE0)的两个根，且菱形 ABCD 的面积为 36，求 EG 的长参考答案
