1、考点 3 代数式一选择题（共 25 小题）1（2018齐齐哈尔）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予 3a 实际意义的例子中不正确的是（ ）A若葡萄的价格是 3 元/千克，则 3a 表示买 a 千克葡萄的金额B若 a 表示一个等边三角形的边长，则 3a 表示这个等边三角形的周长C将一个小木块放在水平桌面上，若 3 表示小木块与桌面的接触面积，a 表示桌面受到的压强，则 3a 表示小木块对桌面的压力D若 3 和 a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则 3a 表示这个两位数【分析】分别判断每个选项即可得【解答】解：A、若葡萄的价格是 3 元/千克，则 3a 表
2、示买 a 千克葡萄的金额，正确；B、若 a 表示一个等边三角形的边长，则 3a 表示这个等边三角形的周长，正确；C、将一个小木块放在水平桌面上，若 3 表示小木块与桌面的接触面积，a 表示桌面受到的压强，则 3a 表示小木块对桌面的压力，正确；D、若 3 和 a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则 30+a 表示这个两位数，此选项错误；故选：D2（2018大庆）某商品打七折后价格为 a 元，则原价为（ ）Aa 元 B a 元 C30%a 元 D a 元【分析】直接利用打折的意义表示出价格进而得出答案【解答】解：设该商品原价为：x 元，某商品打七折后价格为 a 元，原价为：0.7x=a
3、，则 x= a（元）故选：B3（2018河北）用一根长为 a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩 1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（ ）A4cm B8cm C（a+4）cm D（a+8）cm【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案【解答】解：原正方形的周长为 acm，原正方形的边长为 cm，将它按图的方式向外等距扩 1cm，新正方形的边长为（ +2）cm，则新正方形的周长为 4（ +2）=a+8（cm），因此需要增加的长度为 a+8A=8cm故选：B4（2018临安区）10 名学生的平均成绩是 x，如果另外 5
4、名学生每人得 84 分，那么整个组的平均成绩是（ ）A B C D【分析】整个组的平均成绩=15 名学生的总成绩15【解答】解：先求出这 15 个人的总成绩 10x+584=10x+420，再除以 15 可求得平均值为故选 B5（2018枣庄）如图，将边长为 3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形若拿掉边长 2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（ ）A3a+2b B3a+4b C6a+2b D6a+4b【分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为 3a 的正方形的边长边长 2b 的小正方形的边长+边长 2b 的小正方形的边长的 2 倍，依此计算即可
5、求解【解答】解：依题意有3a2b+2b2=3a2b+4b=3a+2b故这块矩形较长的边长为 3a+2b故选：A6（2018桂林）用代数式表示：a 的 2 倍与 3 的和下列表示正确的是（ ）A2a3 B2a+3 C2（a3） D2（a+3）【分析】a 的 2 倍就是 2a，与 3 的和就是 2a+3，根据题目中的运算顺序就可以列出式子，从而得出结论【解答】解：a 的 2 倍就是：2a，a 的 2 倍与 3 的和就是：2a 与 3 的和，可表示为：2a+3故选：B7（2018安徽）据省统计局发布，2017 年我省有效发明专利数比 2016 年增长 22.1%假定 2018 年的年增长率保持不变，
6、2016 年和 2018 年我省有效发明专利分别为 a 万件和 b 万件，则（ ）Ab=（1+22.1%2）a Bb=（1+22.1%） 2a Cb=（1+22.1%）2aDb=22.1%2a【分析】根据 2016 年的有效发明专利数（1+年平均增长率） 2=2018 年的有效发明专利数【解答】解：因为 2016 年和 2018 年我省有效发明专利分别为 a 万件和 b 万件，所以b=（1+22.1%） 2a故选：B8（2018河北）有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）A B C
7、D【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案【解答】解：设 的质量为 x， 的质量为 y， 的质量为：a，假设 A 正确，则，x=1.5y，此时 B，C，D 选项中都是 x=2y，故 A 选项错误，符合题意故选：A9（2018贵阳）当 x=1 时，代数式 3x+1 的值是（ ）A1 B2 C4 D4【分析】把 x 的值代入解答即可【解答】解：把 x=1 代入 3x+1=3+1=2，故选：B10（2018重庆）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为 12 的是（ ）Ax=3，y=3 Bx=4，y=2 Cx=2，y=4 Dx=4，y=2【分析】根据运算程序，结合输出结果确定
8、的值即可【解答】解：A、x=3、y=3 时，输出结果为 32+23=15，不符合题意；B、x=4、y=2 时，输出结果为（4） 22（2）=20，不符合题意；C、x=2、y=4 时，输出结果为 22+24=12，符合题意；D、x=4、y=2 时，输出结果为 42+22=20，不符合题意；故选：C11（2018包头）如果 2xa+1y 与 x2yb1 是同类项，那么 的值是（ ）A B C1 D3【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出 a、b 的值，然后代入求值【解答】解：2x a+1y 与 x2yb1 是同类项，a+1=2，b1=1，解得 a=1，b=2 = 故选：
9、A12（2018武汉）计算 3x2x 2的结果是（ ）A2 B2x 2 C2x D4x 2【分析】根据合并同类项解答即可【解答】解：3x 2x 2=2x2，故选：B13（2018淄博）若单项式 am1 b2与 的和仍是单项式，则 nm的值是（ ）A3 B6 C8 D9【分析】首先可判断单项式 am1 b2与 是同类项，再由同类项的定义可得 m、n 的值，代入求解即可【解答】解：单项式 am1 b2与 的和仍是单项式，单项式 am1 b2与 是同类项，m1=2，n=2，m=3，n=2，n m=8故选：C14（2018台湾）若小舒从 150 的整数中挑选 4 个数，使其由小到大排序后形成一等差数列
10、，且 4 个数中最小的是 7，则下列哪一个数不可能出现在小舒挑选的数之中？（ ）A20 B25 C30 D35【分析】A、找出 7，20、33、46 为等差数列，进而可得出 20 可以出现，选项 A 不符合题意；B、找出 7、16、25、34 为等差数列，进而可得出 25 可以出现，选项 B 不符合题意；C、由 307=23，23 为质数，30+2350，进而可得出 30 不可能出现，选项 C 符合题意；D、找出 7、21、35、49 为等差数列，进而可得出 35 可以出现，选项 D 不符合题意【解答】解：A、7，20、33、46 为等差数列，20 可以出现，选项 A 不符合题意；B、7、16
11、、25、34 为等差数列，25 可以出现，选项 B 不符合题意；C、307=23，23 为质数，30+2350，30 不可能出现，选项 C 符合题意；D、7、21、35、49 为等差数列，35 可以出现，选项 D 不符合题意故选：C15（2018随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10）和“正方形数”（如 1，4，9，16），在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“正方形数”为 n，则 m+n 的值为（ ）A33 B301 C386 D571【分析】由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+n= ，第 n 个正方形数为 n2，据此
12、得出最大的三角形数和正方形数即可得【解答】解：由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+n= ，第 n 个正方形数为 n2，当 n=19 时， =190200，当 n=20 时， =210200，所以最大的三角形数 m=190；当 n=14 时，n 2=196200，当 n=15 时，n 2=225200，所以最大的正方形数 n=196，则 m+n=386，故选：C16（2018十堰）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第 9行从左至右第 5 个数是（ ）A2 B C5 D【分析】由图形可知，第 n 行最后一个数为 = ，据此可得答案【解答】解：由图形可知，第 n 行最后
13、一个数为 = ，第 8 行最后一个数为 = =6，则第 9 行从左至右第 5 个数是 = ，故选：B17（2018临沂）一列自然数 0，1，2，3，100依次将该列数中的每一个数平方后除以 100，得到一列新数则下列结论正确的是（ ）A原数与对应新数的差不可能等于零B原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C当原数与对应新数的差等于 21 时，原数等于 30D当原数取 50 时，原数与对应新数的差最大【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解【解答】解：设原数为 a，则新数为 ，设新数与原数的差为 y则 y=a =易得，当 a=0 时，y=0，则 A 错误当 a= 时，y 有最
14、大值B 错误，D 正确当 y=21 时， =21解得 a1=30，a 2=70，则 C 错误故选：D18（2018绵阳）将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29按照以上排列的规律，第 25 行第 20 个数是（ ）A639 B637 C635 D633【分析】由三角形数阵，知第 n 行的前面共有 1+2+3+（n1）个连续奇数，再由等差数列的前 n 项和公式化简，再由奇数的特点求出第 n 行从左向右的第 m 个数，代入可得答案【解答】解：根据三角形数阵可知，第 n 行奇数的个数为 n 个，则前 n1 行奇数的总个数为 1+2+3+（
15、n1）= 个，则第 n 行（n3）从左向右的第 m 数为为第 +m 奇数，即：1+2 +m1=n 2n+2m1n=25，m=20，这个数为 639，故选：A19（2018宜昌）1261 年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则 a，b，c 的值分别为（ ）Aa=1，b=6，c=15 Ba=6，b=15，c=20Ca=15，b=20，c=15 Da=20，b=15，c=6【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得 a、b、c的值【解答】解：根据图形得：每个数字
16、等于上一行的左右两个数字之和，a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，故选：B20（2018重庆）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有 4 个三角形，第个图案中有 6 个角形第个图案中有 8 个三角形，按此规律排列下去，则第个图案中三角形的个数为（ ）A12 B14 C16 D18【分析】根据第个图案中三角形个数 4=2+21，第个图案中三角形个数 6=2+22，第个图案中三角形个数 8=2+23 可得第个图形中三角形的个数为 2+27【解答】解：第个图案中三角形个数 4=2+21，第个图案中三角形个数 6=2+22，第个图案中三角形个数 8=2+23，第个图案中
17、三角形的个数为 2+27=16，故选：C21（2018绍兴）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用 9 枚图钉将 4 张作品钉在墙上，如图）若有 34 枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（ ）A16 张 B18 张 C20 张 D21 张【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行的时候，34 枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论【解答】解：如果所有的画展示成一行，34（1+1）1=16（张），34 枚图
18、钉最多可以展示 16 张画；如果所有的画展示成两行，34（2+1）=11（枚）1（枚），111=10（张），210=20（张），34 枚图钉最多可以展示 20 张画；如果所有的画展示成三行，34（3+1）=8（枚）2（枚），81=7（张），37=21（张），34 枚图钉最多可以展示 21 张画；如果所有的画展示成四行，34（4+1）=6（枚）4（枚），61=5（张），45=20（张），34 枚图钉最多可以展示 20 张画；如果所有的画展示成五行，34（5+1）=5（枚）4（枚），51=4（张），54=20（张），34 枚图钉最多可以展示 20 张画综上所述：34 枚图钉最多可以展示 21 张画
19、故选：D22（2018重庆）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第个图中有 3张黑色正方形纸片，第个图中有 5 张黑色正方形纸片，第个图中有 7 张黑色正方形纸片，按此规律排列下去第个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）A11 B13 C15 D17【分析】仔细观察图形知道第一个图形有 3 个正方形，第二个有 5=3+21 个，第三个图形有 7=3+22 个，由此得到规律求得第个图形中正方形的个数即可【解答】解：观察图形知：第一个图形有 3 个正方形，第二个有 5=3+21 个，第三个图形有 7=3+22 个，故第个图形有 3+25=13（个），故选：B23（2018绍兴）利用如图 1
20、 的二维码可以进行身份识别某校建立了一个身份识别系统，图 2 是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示 1，白色小正方形表示 0，将第一行数字从左到右依次记为 a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a23+b22+c21+d20，如图 2 第一行数字从左到右依次为 0，1，0，1，序号为023+122+021+120=5，表示该生为 5 班学生表示 6 班学生的识别图案是（ ）A B C D【分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为 1、0、1、0，序号为123+022+121+020=10，不符合题意；B、第一行
21、数字从左到右依次为 0，1，1，0，序号为 023+122+121+020=6，符合题意；C、第一行数字从左到右依次为 1，0，0，1，序号为 123+022+021+120=9，不符合题意；D、第一行数字从左到右依次为 0，1，1，1，序号为 023+122+121+120=7，不符合题意；故选：B24（2018济宁）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）A B C D【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为 10，据此可得【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为 10，符合此要求的只有故选：C25（2018烟台）如图所示，下
22、列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）A28 B29 C30 D31【分析】根据题目中的图形变化规律，可以求得第个图形中玫瑰花的数量，然后令玫瑰花的数量为 120，即可求得相应的 n 的值，从而可以解答本题【解答】解：由图可得，第 n 个图形有玫瑰花：4n，令 4n=120，得 n=30，故选：C二填空题（共 17 小题）26（2018岳阳）已知 a2+2a=1，则 3（a 2+2a）+2 的值为 5 【分析】利用整体思想代入计算即可；【解答】解：a 2+2a=1，3（a 2+2a）+2=31+2=5，故答案为
23、527（2018白银）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 625，则第 2018次输出的结果为 1 【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案【解答】解：当 x=625 时， x=125，当 x=125 时， x=25，当 x=25 时， x=5，当 x=5 时， x=1，当 x=1 时，x+4=5，当 x=5 时， x=1，当 x=1 时，x+4=5，当 x=5 时， x=1，（20183）2=1007.5，即输出的结果是 1，故答案为：128（2018菏泽）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是 36，则输出的结果为 106，要使输出的结果
24、为 127，则输入的最小正整数是 15 【分析】根据输出的结果确定出 x 的所有可能值即可【解答】解：当 3x2=127 时，x=43，当 3x2=43 时，x=15，当 3x2=15 时，x= ，不是整数；所以输入的最小正整数为 15，故答案为：1529（2018杭州）计算：a3a= 2a 【分析】直接利用合并同类项法则分别计算得出答案【解答】解：a3a=2a故答案为：2a30（2018成都）已知 a0，S 1= ，S 2=S 11，S 3= ，S 4=S 31，S 5= ，（即当 n 为大于 1 的奇数时，S n= ；当 n 为大于 1 的偶数时，S n=S n1 1），按此规律，S201
25、8= 【分析】根据 Sn数的变化找出 Sn的值每 6 个一循环，结合 2018=3366+2，即可得出S2018=S2，此题得解【解答】解：S1= ，S 2=S 11= 1= ，S 3= = ，S 4=S 31= 1= ，S 5=（a+1），S 6=S 51=（a+1）1=a，S 7= = ，S n的值每 6 个一循环2018=3366+2，S 2018=S2= 故答案为： 31（2018黔南州）根据下列各式的规律，在横线处填空：， ， = ， ， + =【分析】根据给定等式的变化，可找出变化规律“ + = （n 为正整数）”，依此规律即可得出结论【解答】解： + 1= ， + = ， + =
26、 ， + = ， + = （n 为正整数）2018=21009， + = 故答案为： 32（2018咸宁）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列： ， ， ， ，则这个数列前 2018 个数的和为 【分析】根据数列得出第 n 个数为 ，据此可得前 2018 个数的和为 + + + ，再用裂项求和计算可得【解答】解：由数列知第 n 个数为 ，则前 2018 个数的和为 + + + += + + + +=1 + + + + =1= ，故答案为： 33（2018孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，记 a1=1，a 2=3，a 3=6
27、，a 4=10，那么a4+a112a 10+10 的值是 24 【分析】由已知数列得出 an=1+2+3+n= ，再求出 a10、a 11的值，代入计算可得【解答】解：由 a1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，知 an=1+2+3+n= ，a 10= =55、a 11= =66，则 a4+a112a 10+10=10+66255+10=24，故答案为：2434（2018淄博）将从 1 开始的自然数按以下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是12，则位于第 45 行、第 8 列的数是 2018 【分析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，可得第 45 行第一个数是 202
28、5，推出第 45行、第 8 列的数是 20257=2018；【解答】解：观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2，第 45 行第一个数是 2025，第 45 行、第 8 列的数是 20257=2018，故答案为 201835（2018荆门）将数 1 个 1，2 个 ，3 个 ，n 个 （n 为正整数）顺次排成一列：1， ，记a1=1，a 2= ，a 3= ，S 1=a1，S 2=a1+a2，S 3=a1+a2+a3，S n=a1+a2+an，则 S2018= 63 【分析】由 1+2+3+n= 结合 +2=2018，可得出前 2018 个数里面包含：1个 1，2 个 ，3 个 ，63 个 ，2
29、 个 ，进而可得出S2018=11+2 +3 +63 +2 =63 ，此题得解【解答】解：1+2+3+n= ， +2=2018，前 2018 个数里面包含：1 个 1，2 个 ，3 个 ，63 个 ，2 个 ，S 2018=11+2 +3 +63 +2 =1+1+1+ =63 故答案为：63 36（2018常德）5 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报 4 的人心里想的数是 9 【分析】设报 4 的人心想的数是 x，则可以分别表示报 1，3，5，2
30、 的人心想的数，最后通过平均数列出方程，解方程即可【解答】解：设报 4 的人心想的数是 x，报 1 的人心想的数是 10x，报 3 的人心想的数是x6，报 5 的人心想的数是 14x，报 2 的人心想的数是 x12，所以有 x12+x=23，解得 x=9故答案为 937（2018永州）对于任意大于 0 的实数 x、y，满足：log 2（xy）=log 2x+log2y，若log22=1，则 log216= 4 【分析】利用 log2（xy）=log 2x+log2y 得到 log216=log22+log22+log22+log22，然后根据log22=1 进行计算【解答】解：log 216=
31、log2（2222） =log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4故答案为 438（2018桂林）将从 1 开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第 m 行，第 n 列的自然数 10 记为（3，2），自然数 15 记为（4，2）按此规律，自然数 2018 记为 （505，2） 列行第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列第 1 行 1 2 3 4第 2 行 8 7 6 5第 3 行 9 10 11 12第 4 行 16 15 14 13 第 n 行 【分析】根据表格可知，每一行有 4 个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列
32、用 2018 除以 4，根据除数与余数确定 2018 所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可【解答】解：由题意可得，每一行有 4 个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列20184=5042，504+1=505，2018 在第 505 行，奇数行的数字从左往右是由小到大排列，自然数 2018 记为（505，2）故答案为（505，2）39（2018泰安）观察“田”字中各数之间的关系：则 c 的值为 270 或 28+14 【分析】依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可【解答】解：经过
33、观察每个“田”左上角数字依此是 1，3，5，7 等奇数，此位置数为 15时，恰好是第 8 个奇数，即此“田”字为第 8 个观察每个“田”字左下角数据，可以发现，规律是 2，2 2，2 3，2 4等，则第 8 数为 28观察左下和右上角，每个“田”字的右上角数字依次比左下角大 0，2，4，6 等，到第 8 个图多 14则 c=28+14=270故应填：270 或 28+1440（2018枣庄）将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列：第 1 行 1第 2 行 2 3 4第 3 行 9 8 7 6 5第 4 行 10 11 12 13 14 15 16第 5 行 25 24 23 22 21 20
34、 19 18 17则 2018 在第 45 行【分析】通过观察可得第 n 行最大一个数为 n2，由此估算 2018 所在的行数，进一步推算得出答案即可【解答】解：44 2=1936，45 2=2025，2018 在第 45 行故答案为：4541（2018自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2018 个图形共有 6055 个【分析】每个图形的最下面一排都是 1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案【解答】解：观察图形可知：第 1 个图形共有：1+13，第 2 个图形共有：1+23，第 3 个图形共有：1+33，第 n 个图
35、形共有：1+3n，第 2018 个图形共有 1+32018=6055，故答案为：605542（2018遵义）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第 2018 层的三角形个数为 4035 【分析】根据题意和图形可以发现随着层数的变化三角形个数的变化规律，从而可以解答本题【解答】解：由图可得，第 1 层三角形的个数为：1，第 2 层三角形的个数为：3，第 3 层三角形的个数为：5，第 4 层三角形的个数为：7，第 5 层三角形的个数为：9，第 n 层的三角形的个数为：2n1，当 n=2018 时，三角形的个数为：220181=4035，故答案为：4035三解答题（共 3 小题）43（2018
36、安徽）观察以下等式：第 1 个等式： + + =1，第 2 个等式： + + =1，第 3 个等式： + + =1，第 4 个等式： + + =1，第 5 个等式： + + =1，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第 6 个等式： ；（2）写出你猜想的第 n 个等式： （用含 n 的等式表示），并证明【分析】以序号 n 为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在 n 的基础上依次加 1，每个分字分别是 1 和 n1【解答】解：（1）根据已知规律，第 6 个分式分母为 6 和 7，分子分别为 1 和 5故应填：（2）根据题意，第 n 个分式分母为 n 和 n+1，分子分别为 1 和 n
37、1故应填：证明： =等式成立44（2018河北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第 1 个至第 4 个台阶上依次标着5，2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等尝试 （1）求前 4 个台阶上数的和是多少？（2）求第 5 个台阶上的数 x 是多少？应用 求从下到上前 31 个台阶上数的和发现 试用含 k（k 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数【分析】尝试：（1）将前 4 个数字相加可得；（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；应用：根据“台阶上的数字是每 4 个一循环”求解可得；发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为 4k1【解答】解：尝试：（1
38、）由题意得前 4 个台阶上数的和是52+1+9=3；（2）由题意得2+1+9+x=3，解得：x=5，则第 5 个台阶上的数 x 是5；应用：由题意知台阶上的数字是每 4 个一循环，314=73，73+125=15，即从下到上前 31 个台阶上数的和为 15；发现：数“1”所在的台阶数为 4k145（2018黔南州）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图 1 有 6 个点，图 2 有 12 个点，图 3 有 18 个点，按此规律，求图 10、图 n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的 6 块，每块黑点的个数相同（如图），这样图 1 中黑点个数是 6
39、1=6 个；图 2 中黑点个数是 62=12 个：图 3 中黑点个数是 63=18 个；所以容易求出图 10、图 n 中黑点的个数分别是 60 个 、 6n 个 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第 5 个点阵中有 61 个圆圈；第 n 个点阵中有 （3n 23n+1） 个圆圈（2）小圆圈的个数会等于 271 吗？如果会，请求出是第几个点阵【分析】根据规律求得图 10 中黑点个数是 610=60 个；图 n 中黑点个数是 6n 个；（1）第 2 个图中 2 为一块，分为 3 块，余 1，第 2 个图中 3 为一块，分为 6 块，余 1；按
40、此规律得：第 5 个点阵中 5 为一块，分为 12 块，余 1，得第 n 个点阵中有：n3（n1）+1=3n 23n+1，（2）代入 271，列方程，方程有解则存在这样的点阵【解答】解：图 10 中黑点个数是 610=60 个；图 n 中黑点个数是 6n 个，故答案为：60 个，6n 个；（1）如图所示：第 1 个点阵中有：1 个，第 2 个点阵中有：23+1=7 个，第 3 个点阵中有：36+1=17 个，第 4 个点阵中有：49+1=37 个，第 5 个点阵中有：512+1=60 个，第 n 个点阵中有：n3（n1）+1=3n 23n+1，故答案为：60，3n 23n+1；（2）3n 23n+1=271，n2n90=0，（n10）（n+9）=0，n1=10，n 2=9（舍），小圆圈的个数会等于 271，它是第 10 个点阵
