1、课时跟踪训练( 三十一)基础巩固一、选择题1(2018湖南衡阳二十六中期中) 在等差数列a n中，a 31，公差 d2，则 a8 的值为( )A9 B10 C 11 D12解析 a8 a35d1 5211，故选 C.答案 C2在等差数列a n中，a 1a 58，a 47，则 a5( )A11 B10 C 7 D3解析 设 数列a n的公差为 d，则有Error!解得Error!所以a524310.故选 B.答案 B3(2018湖北武汉调研) 设 Sn是等差数列a n的前 n 项和，S53( a2a 8)，则 的值为( )a5a3A. B. 16 13C. D.35 56解析 因为 S53(a
2、2a 8)，所以 5a110d 3(2a18d)，即a114d，所以 .a5a3 a1 4da1 2d 14d 4d 14d 2d 56答案 D4(2017安徽合肥二模) 已知 是等差数列，且1ana11，a 44，则 a10( )A B 45 54C. D.413 134解析 由题 意，得 1， ，所以等差数列 的公差为1a1 1a4 14 1and ，由此可得 1(n1) ，因此1a4 1a13 14 1an ( 14) n4 54 ，所以 a10 .故选 A.1a10 54 45答案 A5(2017山西太原一模) 在等差数列a n中，2( a1a 3a 5)3( a8a 10)36，则
3、a6( )A8 B6 C 4 D3解析 由等差数列的性质可知 2(a1a 3a 5)3( a8a 10)23a 332a 962a 636，得 a63，故选 D.答案 D6(2018辽宁鞍山一中期末) 等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若m1，且 am1 a m1 a 0，S 2m1 38，则 m 等于( )2mA38 B20 C 10 D9解析 因为 am1 a m1 a 0，所以 am1 a m1 a .根据等2m 2m差数列的性质得 2ama ，显然 am0，所以 am2.又因为2mS2m1 38，所以 S2m1 (2 m1) am.将 am22m 1a1 a2m 12代入可得(2
4、m1) 2 38，解得 m10.故选 C.答案 C二、填空题7(2016江苏卷 )已知a n是等差数列，S n是其前 n 项和若a1a 3，S 510，则 a9 的值是_2解析 设等差数列 an的公差为 d，则 a1a a 1( a1d)223，S 5 5a110d10.解得 a14，d3，则a9a 18d42420.答案 208(2018广东深圳中学月考) 已知数列a n为等差数列，a37，a 1a 710，S n为其前 n 项和，则使 Sn取到最大值的 n 等于_解析 设 等差数列 an的公差为 d，由题意得Error!故da 4a 32，a na 3(n3)d72(n 3)132n.令
5、an0，得n0，a 3a 100，a 6a70 的最大自然数 n 的值为( )A6 B7 C 12 D13解析 设等差数列 an的公差为 d，则 ana 1( n1)d.a6 a7a 3a 100，即 2a111d0，且a6a70，a60，a70a1 ann2 2a1 n 1dn2时，2a 1(n1)d0.由 2a111d0,2a 112d0，a 7a 100，a80.a7a 10a 8a 90)，即有 an1(n1) d，Snn n(n1)d，12 ，由于数列 也为等差数列，Sn12dn2 (1 12d)n Sn可得 1 d0，即 d2，12即有 an2n1，S nn 2，则 2 2 ，当且
6、仅当 n2 取Sn 8an 1 n2 82n 12(n 8n) 12 n8n 2 2得等号，由于 n 为正整数，即有 n2 或 3 取得最小值当 n2 时，取得3；n3 时，取得 .故最小值为 .176 176答案 17615(2017 河南南阳期终质量评估) 设 f(x) (a0)，令axx aa11，a n1 f(a n)，又 bna nan1 ，nN *.(1)证明：数列 为等差数列，并求数列a n的通项公式；1an(2)求数列 bn的前 n 项和解 (1)证 明：a n1 f (an) ，所以 ，aanan a 1an 1 an aaan 1an 1a即 ，又 a11，所以 1.1an
7、 1 1an 1a 1a1所以 是首 项为 1，公差 为 的等差数列1an 1a所以 1(n1) .1an 1a n a 1a所以 an .an a 1(2)bn anan1 an a 1 an aa 2 ，(1n a 1 1n a)设数列b n的前 n 项和为 Tn，则Tna2(1a 11 a) ( 11 a 12 a) ( 1n 1 a 1n a)a 2 a 2 ，(1a 1n a) n a aan a nan a即数列b n的前 n 项和为 .nan a16已知数列a n满足 2an1 a na n2 (nN *)，它的前 n 项和为 Sn，且 a310，S 672，若 bn an30，
8、设数列b n的前 n 项和12为 Tn，求 Tn的最小值解 2an1 a na n2 ，an1 a na n2 an1 ，故数列a n为等差数列设数列a n的首项为 a1，公差为 d，由 a310，S 672 得，Error!解得 a12，d4.an4n2，则 bn an302n31，12令Error!即Error!解得 n ，292 312nN*，n15，即数列b n的前 15 项均为负值，T 15最小数列b n的首项是29，公差 为 2，T15 225，15 29 215 312数列 bn的前 n 项和 Tn的最小值为225.延伸拓展已知数列a n中，a 15 且 an2a n1 2 n1
9、(n2 且nN *)(1)求 a2，a 3 的值；(2)是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求an 2n 出 的值；若不存在，请说明理由解 (1)a15，a22a 12 2113，a 32a 22 3133.(2)解法一：假设存在实数 ，使得数列 为等差数列an 2n 设 bn ，由b n为等差数列，an 2n则有 2b2b 1b 3.2 .a2 22 a1 2 a3 23 .解得 1.13 2 5 2 33 8事实上，b n1 b n an 1 12n 1 an 12n (an1 2a n)1 (2n1 1)11.12n 1 12n 1综上可知，存在实数 1，使得数列 为首项是 2，公差an 2n 是 1 的等差数列解法二：假设存在实数 ，使得数列 为等差数列an 2n 设 bn ，由b n为等差数列，an 2n则有 2bn1 b nb n2 (nN*)2 .an 1 2n 1 an 2n an 2 2n 2 4an1 4a na n22( an1 2a n)(a n2 2a n1 )2(2 n1 1) (2 n2 1)1.综上可知，当 1 时，数列 为首项是 2、公差是 1 的等an 2n 差数列
