1、课时跟踪训练( 四十一)基础巩固一、选择题1如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为 8的矩形则该几何体的表面积是( )2A8 B208 2C 16 D248 2解析 由 题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，其侧棱为 4，故其表面积 S 表24242 4 22220 8 .212 2答案 B2已知三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1底面ABC，则三棱锥 B1ABC 1 的体积为( )A. B.312 34C. D.612 64解析 VB 1ABC 1VC 1ABB 1 11 .13 12 32 312答案 A3(2015全国卷 )九章算术是我国古代
2、内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有 ( )A14 斛 B22 斛C 36 斛 D66 斛解析 米堆的体 积为 25 .将 3 代14 13 (842 ) 3203入上式，得体积为 立方尺从而这堆米约有 22( 斛)3209 32091.62答案 B4(2017河北唐山二模) 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表
3、面积为( )A24 B243 C24 D242解析 由三 视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体挖去右下方 球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2 为半径，则该几何体的18表面积为 2263 22 42224 ，故选 A.14 18答案 A5(2017浙江卷 )某几何体的三视图如图所示( 单位：cm)，则该几何体的体积( 单位：cm 3)是( )A. 1 B. 32 2C. 1 D. 332 32解析 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V 3 213 1，故选 A.13 12 13 12 2答案 A6(2017全国卷 )某多面体的三视图如图所示，其
4、中正视图和左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A10 B12 C14 D16解析 由三 视图可知 该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为 2，直三棱柱的高为 2，三棱锥的高为 2，易知该 多面体有 2 个面是梯形，这些梯形的面积之和为212，故选 B.2 422答案 B二、填空题7(2017天津卷 )已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_解析 由正方体的表
5、面积为 18，得正方体的棱长为 .设该正3方体外接球的半径为 R，则 2R3，R ，所以这个球的体积为32R3 .43 43 278 92答案 928下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是_解析 该 几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，( 半)球的半径为 1，长方体的长、宽、高分别为 2、2、1，该几何体的表面积为：S16 412 1216.12答案 16 9(2017山东卷 )由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的14三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析 由三 视图可知，该组合体中的长方体的长、宽、高分别为 2,1,1，其体 积 V12112；两个 圆柱合起来
6、就是圆柱的一半，圆柱的底面半径 r1，高14h1，故其体 积 V2 121 .12 2故该几何体的体积 VV 1V 22 .2答案 22三、解答题10如图，在四边形 ABCD 中，DAB90 ，ADC135，AB5，CD2 ，AD 2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几2何体的表面积及体积解 由已知得： CE 2，DE2，CB5，S 表面 S 圆台侧 S 圆台下底 S 圆锥侧 (25)525 22(604 )，2 2VV 圆台 V 圆锥 (225 2 )13 225224 222 .13 1483能力提升11(2015 全国卷)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为
7、该球面上的动点若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A36 B64 C144 D256解析 如 图， 设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球 O 的半径为R，因为 AOB90，所以 SOAB R2，要使 VOABC SOABh 最大，12 13则 OA，OB，OC 应两两垂直，且(V OABC )max R2R R336，13 12 16此时 R6，所以球 O 的表面积为 S 球 4R 2144.故选 C.答案 C12(2017 重庆诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B2 C. D3332 3 532 3解析 该 几何体的直观图是如
8、图所示的不规则几何体ABB1DC1C，其体 积是底 边边长为 2 的等边三角形，高为 3 的正三棱柱 ABCA 1B1C1的体 积减去三棱锥 AA 1C1D 的体积，即3 3 .313 32 532答案 C13(2017 河南南阳一中四模) 球 O 为正方体 ABCDA 1B1C1D1的内切球，AB 2，E ，F 分别为棱 AD，CC 1 的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段长为_解析 设 EF 与球面交于 M，N 两点，因为 AB2，E，F 分别为棱 AD，CC1的中点，所以 EF ，OEOF ，取 EF 中点 O，6 2则 OF ，所以 OO .由球 O 为正方体62 22 ( 62
9、)2 22ABCDA 1B1C1D1的内切球，可得 ON1，由勾股定理得 ON ，22故 MN .所以直线 EF 被球 O 截得的线段 长为 .2 2答案 214如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为2 的正方形，PD底面 ABCD，且 PD2，PAPC2 ，若在这2个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是_解析 由已知得，PAD，PDC， PAB，PBC 都是直角三角形设内切球的球心为 O，半径为 R，连接 OA，OB，OC，OD，OP，易知 VPABCD V OABCD VOPAD V OPAB V OPBC V OPCD ，即222 22R 22R 2 2R 213
10、13 13 12 13 12 2 13 12 22R 22R，解得 R2 ，所以此球的最大半径是 213 12 2.2答案 2 215如图，在直三棱柱 ABCABC中，ABC 为等边三角形，AA 平面 ABC，AB3，AA 4，M 为 AA的中点，P是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC到 M 的最短路线长为 ，设这条最短路线与 CC的交点为 N，求：29(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC 与 NC 的长；(3)三棱锥 CMNP 的体积解 (1)该 三棱柱的侧 面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形，故对角线长为 .42 92 97(2)将该 三棱柱的 侧面沿棱
11、BB展开，如下 图，设 PCx，则 MP2MA 2(ACx) 2.MP ，MA2， AC3，29x2，即 PC2.又NCAM，故 ，即 .PCPA NCAM 25 NC2NC .45(3)SPCN CPCN 2 .12 12 45 45在三棱锥 MPCN 中，M 到面 PCN 的距离，即 h 3 .32 332VCMNP V MPCN hSPCN .13 13 332 45 23516(2017 全国卷)如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD CD.(1)证明： ACBD；(2)已知 ADC 是正三角形，AB BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC ，求四面
12、体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比解 (1)证 明：取 AC 的中点 O，连接 BO、DO，如图所示因为 ADCD，所以 ACDO.又由于 ABC 是正三角形，所以ACBO.从而 AC平面 DOB，故 ACBD.(2)连接 EO.由(1)及 题设 知，ADC90，所以 DOAO.在 RtAOB 中， BO2AO 2AB 2.又 ABBD，所以BO2 DO2 BO2AO 2AB 2BD 2，故DOB90.由题设知AEC 为直角三角形，所以 EO AC.12又ABC 是正三角形，且 ABBD ，所以 EO BD.12故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面
13、ABC的距离的 ，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ，即四面12 12体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 11.延伸拓展(2017安徽蚌埠一模) 如图所示，用一边长为 的正方形硬纸，2按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为 4的鸡蛋( 视为球体) 放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( )A. B. 22 12 62 12C. D. 32 32 12解析 蛋巢的底面是边长为 1 的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为 1.因为鸡蛋的表面积为 4，所以球的半径为 1，所以球心到截面的距离 d ，而截面到底面的距离即1 14 32为三角形的高 ，所以球心到底面的距离为 .12 32 12答案 D
