1、第五章 数列、推理与证明第 1 讲 数列的概念与简单表示法1设数列a n的前 n 项和 Snn 2，则 a8 的值为( )A15 B16 C49 D642在数列a n中，已知 a11，且当 n2 时，a 1a2ann 2，则 a3a 5( )A. B. C. D.73 6116 3115 1143古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图 X511.图 X511他们研究过图 X511(1)中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 X511(2)中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A289 B10
2、24 C1225 D13784已知数列a n满足 a12，a n ，其前 n 项积为 Tn，则 T2017( )an 1 1an 1 1A. B C2 D212 125(2015 年辽宁大连模拟)在数列a n中，a 12，a n1 a nln ，则 an( )(1 1n)A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n6(2014 年新课标)若数列a n满足 an1 ，a 82，则 a1_.11 an7已知数列a n满足：a 4n3 1，a 4n1 0，a 2na n，n N*，则a2009_，a 2014_.8已知递增数列a n的通项公式为 ann 2kn2，则实数 k 的取
3、值范围为_9(2013 年新课标)若数列a n的前 n 项和 Sn an ，则数列a n的通项公式是23 13an_.10(2016 年上海)无穷数列a n由 k 个不同的数组成，S n为 an的前 n 项和若对任意nN *，S n2,3，则 k 的最大值为_11已知数列a n的通项公式为 an(n1) n(nN *)，则当 n 为多大时，a n最大？(1011)12(2012 年大纲)已知数列a n中，a 11，前 n 项和 Sn an.n 23(1)求 a2，a 3；(2)求a n的通项公式第 2 讲 等差数列1(2017 年江西南昌二模)已知数列a n为等差数列，其前 n 项和为 Sn，
4、2a 7a 85，则 S11( )A110 B55 C50 D不能确定2设a n是首项为 a1，公差为1 的等差数列，S n为其前 n 项和，若 S1，S 2，S 4 成等比数列，则 a1( )A2 B2 C. D12 123已知 Sn为等差数列a n的前 n 项和，若 a1a 7a 13 的值是一个确定的常数，则下列各式：a 21；a 7；S 13；S 14；S 8S 5.其结果为确定常数的是( )A B C D4(2017 年新课标)等差数列a n的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a 3，a 6 成等比数列，则数列 an前 6 项的和为( )A24 B3 C3 D85(2017 年湖北
5、七市 4 月联考 )在我国古代著名的数学专著 九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )A9 日 B8 日 C16 日 D12 日6已知等差数列a n的公差为 d，关于 x 的不等式 x2 xc0 的解集是0,22 ，d2 (a1 d2)则使得数列a n的前 n 项和最大的正整数 n 的值是( )A11 B11 或 12 C12 D12 或 13 7(2017 年广东揭阳一模)已知数列a n对任意的 nN *都有 an1 a n2a n1 an，
6、若a1 ，则 a8_.128已知数列a n的通项公式为 an2n10(nN *)，则|a 1|a 2| a15|_.9(2016 年新课标)在等差数列a n中，a 3a 44，a 5a 76.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bna n，求数列b n的前 10 项和，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，2.62.10(2014 年大纲)数列 an满足 a11，a 22，a n2 2a n1 a n2.(1)设 bna n1 a n，证明b n是等差数列；(2)求a n的通项公式11(2014 年新课标)已知数列a n的前 n 项和为Sn，a 11，a n0，a nan1 S n
7、1，其中 为常数(1)证明：a n2 a n ；(2)是否存在 ，使得a n为等差数列？并说明理由第 3 讲 等比数列1对任意的等比数列a n，下列说法一定正确的是( )Aa 1，a 3，a 9 成等比数列 Ba 2，a 3，a 6 成等比数列Ca 2，a 4，a 8 成等比数列 Da 3，a 6，a 9 成等比数列2(2016 年河北衡水模拟)各项均为正数的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若Sn2，S 3n14，则 S4n( )A80 B30 C26 D163(2013 年新课标)设首项为 1，公比为 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，则( )23AS n2a n1 BS n3a
8、 n2CS n43a n DS n32a n4(2017 年广东深圳一模)已知等比数列a n的前 n 项和为 Sna3 n1 b，则 ( )abA3 B1 C1 D35(2016 年河南模拟)已知等比数列a n的首项为 ，公比为 ，其前 n 项和为 Sn，则32 12Sn的最大值为( )A. B. C. D.34 23 43 326(2017 年北京)若等差数列a n和等比数列 满足 a1b 11，a 4b 48，则bn_.a2b27(2017 年江西南昌二模)在等比数列a n中，a 11，前 n 项和为 Sn，满足S74S 63S 50，则 S4_.8(2017 年广东深圳第二次调 研) 九
9、章算术中的“两鼠穿墙题 ”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ”如果墙足够厚，S n为前 n 天两只老鼠打洞长度之和，则 Sn_尺9(2016 年新课标)已知 an是公差为 3 的等差数列，数列b n满足 b11，b 2 ， 13anbn1 b n1 nb n.(1)求a n的通项公式；(2)求b n的前 n 项和10(2016 年新课标)已知数列a n的前 n 项和 Sn1a n，其中 0.(1)证
10、明a n是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S5 ，求 .313211(2017 年广东广州一模)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2a n2(nN *)(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列S n的前 n 项和 Tn.第 4 讲 数列的求和1(2017 年辽宁鞍山一中统测 )数列a n的通项公式为 an ，则数列a n的前 n14n2 1项和 Sn( )A. B. 2n2n 1 n2n 1C. D.2n4n 1 n4n 12若数列a n的通项公式是 an(1) n(3n2)，则 a1a 2a 10( )A15 B12 C12 D153已知等差数列a n满足 a10，5a 8
11、8a 13，则当前 n 项和 Sn取最大值时，n( )A20 B21 C22 D234已知数列a n的前 n 项和 Snn 26n，则数列|a n|的前 n 项和 Tn等于( )A6nn 2 Bn 26n18C.Error! D.Error!5(2016 年湖北七校 2 月联考 )中国古代数学著作算法统宗 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了( )A192 里 B96 里 C48
12、里 D24 里6(2015 年江苏)已知数列 an满足 a11，且 an1 a nn1(nN *)，则数列 的1an前 10 项和为_7如图 X541，它满足： 第 n 行首尾两数均为 n；图中的递推关系类似杨辉三角，则第 n(n2) 行的第 2 个数是_12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 5图 X5418(2017 年安徽合肥第二次质检 )已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn2a n2 n，则Sn_.9(2016 年浙江金华模拟)设数列a n的前 n 项和 Sn满足 6Sn19a n(nN *)(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足 bn ，求数列
13、bn的前 n 项和 Tn.1an10(2017 年广东佛山二模)已知a n是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，bn且 b1a 11，b 3a 4，b 1b 2b 3a 3a 4.(1)求数列a n， 的通项公式；bn(2)设 cna nbn，求数列 的前 n 项和 T11(2017 年广东湛江二模)观察下列三角形数表，数表(1)是杨辉三角数表，数表(2)是与数表(1)有相同构成规律(除每行首末两端的数外 )的一个数表对于数表(2)，设第 n 行第二个数为 an.(nN *)(如 a12，a 24，a 37)(1)归纳出 an与 an1 (n2，n N *)的递推公式(不用证明)，并由归纳的
14、递推公式求出an的通项公式 an；(2)数列b n满足：(a n1)b n1，求证：b 1b 2b n0，nN *)，若nb man mbmc，b nd(n m2，m， nN *)，则可以得到 bmn _.9某同学在一次研究性学习中发现，以下 5 个式子的值都等于同一个常数sin 213cos 217sin13cos17；sin 215cos 215sin15cos15；sin 218cos 212sin18cos12；sin 2(18)cos 248sin(18)cos48 ；sin 2(25)cos 255sin(25)cos55.(1)试从上述 5 个式子中选择一个，求出这个常数；(2)
15、根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论10在等差数列a n中，a 1a 25，a 37，记数列 的前 n 项和为 Sn.1anan 1(1)求数列a n的通项公式；(2)是否存在正整数 m，n，且 1bc，且 abc0，求证0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0，设 an的前 n 项和为 Sn，a 11，S 2S336.(1)求 d 及 Sn；(2)求 m，k(m，kN *)的值，使得 ama m1 a m2 a mk 65 成立10(2016 年湖北武汉调研)已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 35，S 864.(1)求数列a n的通项
16、公式；(2)求证： (n2，nN *)1Sn 1 1Sn 1 2Sn第 7 讲 数学归纳法1用数学归纳法证明：(n 1)(n2)(nn) 2 n13(2n1)(nN *)，从“nk”到“n k 1”左端需乘的代数式是( )A2k1 B2(2 k1)C. D.2k 1k 1 2k 3k 12用数学归纳法证明：1 22 2n 22 21 2 ，第二步证明由“kn2n2 13到 k1”时，左边应加( )Ak 2 B(k1) 2Ck 2 (k1) 2k 2 D(k 1)2k 23用数学归纳法证明 1aa 2a n (a1，nN *)时，当验证 n1 时，1 an 11 a左边计算所得的式子是( )A1
17、 B1aC1aa 2 D1aa 2a 44用数学归纳法证明等式：123n 2 (nN *)，则从 nk 到 nk1n4 n22时，左边应添加的项为( )Ak 21B(k1) 2C.k 14 k 122D(k 2 1)(k 22)(k 23)( k1) 25用数学归纳法证明 122 22 5n1 是 31 的整数倍时，当 n1 时，上式等于( )A12 B122 2C122 22 3 D122 22 32 46用数学归纳法证明 1232 n2 n1 2 2n1 (nN )时，假设当 nk 时命题成立，则当 nk 1 时，左端增加的项数是( )A1 项 Bk1 项 Ck 项 D2 k项7用数学归纳
18、法证明“n 3(n1) 3(n2) 3(nN *)能被 9 整除” ，利用归纳法假设证明当 nk1 时，只需展开( )A(k 3)3 B(k2) 3C(k1) 3 D(k1) 3(k 2) 38用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 k 推导到 k1 时，1n 1 1n 2 1n n1324不等式左边增加的式子是_9是否存在常数 a，b，c，使等式 12223 2n(n1) 2 (an2bnc )nn 112对一切正整数 n 都成立？证明你的结论10(2017 年浙江)已知数列x n满足：x 11，x nx n1 ln (1x n1 )(nN *)证明：当 nN *时，(1)0x n1 x n；
19、(2)2xn1 x n ；xnxn 12(3) x n .12n 1 12n 2第五章 数列、推理与证明第 1 讲 数列的概念与简单表示法1A 解析：a 8S 8S 78 27 2644915.2B3C 解析：第 n 个三角形数可表示 为 n(n1)，第 n 个四边形数可表示为 n2.故选 C.124C 解析：由 an ，得 an1 ，而 a12，an 1 1an 1 1 1 an1 an则有 a23，a 3 ，a4 ，a52.故数列a n是以 4 为周期的周期数列，且12 13a1a2a3a41.所以 T2017(a 1a2a3a4)504a11 50422.5A 解析：由已知，得 an1
20、a nln(n1)ln n.所以 a2a 1ln 2ln 1，a3a 2ln 3ln 2，a4a 3ln 4ln 3，ana n1 ln nln(n 1) ，以上 (n1)个式子左、右分别相加，得 ana 1ln n所以 an2ln n故选 A.6. 解析：由已知，得 an1 ，a82，12 1an 1a7 1 ，a61 1， a51 2.1a8 12 1a7 1a6同理，a 4 ，a31，a 22，a 1 .12 1271 0 解析：a 2009a 45033 1，a 2014a 21007a 1007a 42521 0.8(3，) 解析：由 an为递增数列， 得 an1 a n(n1) 2
21、k(n1)2n 2kn 22n1k 0 恒成立， 即 k(2 n1)恒成立 ，即 k(2 n1) max3.9(2) n1 解析：当 n1 时， a11；当 n2 时，a nS nS n1 an an1 ，23 23故 2，故 an(2) n1 .anan 1当 n1 时，也符合 an(2) n1 .综上所述，a n(2) n1 .104 解析：从研究 Sn与 an的关系入手，推断数列的构成特点，解 题时应特别注意“数列 an由 k 个不同的数组 成”的“不同”和“k 的最大值” 本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等当 n1 时， a12 或 a13；当 n2 时，若 Sn2，
22、则Sn1 2，于是 an0，若 Sn3， 则 Sn1 3，于是 an0.从而存在 kN*，当 nk 时，a k0.其中数列 an：2,1，1，0,0,0， 满足条件，所以 kmax4.11解：a n1 a n(n2) n1 (n1) n(1011) (1011) n ，而 n0，(1011) 9 n11 (1011)当 n0，即 an1 an；当 n9 时，a n1 a n0，即 a10a 9；当 n9 时，a n 1a na11a12.当 n 9 或 n10 时，数列a n有最大项，最大 项为 a9 或 a10.12解：(1)由 a11 与 Sn an可得n 23S2 a2a 1a 2a 2
23、3a 13，2 23S3 a3a 1a 2a 3 a3a 1a 24a 36.3 23 23故所求 a2，a3 的值分别为 3,6.(2)当 n2 时，S n an，n 23Sn1 an1 ，n 13，可得 SnS n1 an an1 ，即n 23 n 13an an an1 an an1 .n 23 n 13 n 13 n 13 anan 1 n 1n 1故有 an a1 1 .anan 1 an 1an 2 a2a1 n 1n 1 nn 2 31 n2 n2而 1a 1，所以a n的通 项公式为 an .12 12 n2 n2第 2 讲 等差数列1B 解析：设公差为 d，则 2a7a 82
24、( a16d)(a 17 d)a 15da 65， S111111a 655.故选 B.a1 a1122D 解析：因为 S1，S2，S4 成等比数列，有 S S 1S4，即(2 a11) 2a 1(4a16)，解得2a1 .123A 解析：由 a1a 7a 13 是一个确定的常数，得 3a7 是确定的常数，故正确；S 13 13a7 是确定的常数，故正确；S 8S 5a 6a 7a 83a 7 是确定的常数，故13a1 a132正确4A 解析：设等差数列的公差 为 d，由 a2，a3，a6 成等比数列，可得 a a 2a6，即23(12d) 2(1 d)(15d)整理，可得 d22d0. d0
25、， d2.则 an前 6 项的和为S66a 1 d61 (2) 24.652 6525A 解析：根据题意，显然良马每日行程构成一个首项 a1103，公差 d113 的等差数列前 n 天共跑的里程为 Sna 1 d1103n n(n1) 6.5n 296.5n；驽马每nn 12 132日行程也构成一个首项 b197，公差 d20.5 的等差数列，前 n 天共跑的里程为Snb 1 d297n n(n1)0.25n 297.25n.两马相逢时，共跑了一个来nn 12 0.52回设其第 n 天相逢，则有 6.5n296.5n0.25n 297.25n 11252，解得 n9.即它们第 9天相遇故选 A
26、.6A 解析：关于 x 的不等式 x2 xc 0 的解集是 0,22，Error!解得d2 (a1 d2)a1 .21d2an a1( n1)d (n1) d d.21d2 (n 232)可得 a11 d d0，a12 d d0，得 S2n6.又(S 3nS 2n)2( S2n Sn)(S4nS 3n)，所以(146) 2(6 2)(S 4n14)，解得 S4n30.3D 解析：方法一，在等比数列a n中，Sn 32 an.a1 anq1 q1 an231 23方法二，在等比数列a n中，a 11， q ，23an 1 n1 n1 .(23) (23)Sn 311 (23)n1 23 1 (2
27、3)n3 32a n.1 23(23)n 14A 解析：因为 a1S 1a b，a 2S 2S 12a，a 3S 3S 26a，由等比数列，得公比 q 3.又 a2a 1q，所以 2a3(ab)，解得 3.a3a2 ab5D 解析：等比数列a n的首项为 ，公比为 ，32 12Sn 1 n.当 n 取偶数时，S n1 n3 时，a n0.Tn Error!5B 解析：由题意，知每天所走路程形成以 a1为首项，公比为 的等比列，则12378. 解得 a1192， 则 a296，即第二天走了 96 里路故 选 B.a1(1 126)1 126. 解析：由题意，得 an (ana n1 )( an1
28、 a n2 )(a n2 a n3 )(a 2a 1)2011a 1nn1n21 .nn 12所以 2 .1an 2nn 1 (1n 1n 1)S102 2 .(11 12 12 13 110 111) (1 111) 20117. 解析：设第 n(n2) 行的第 2 个数构成数列a n，则有n2 n 22a3a 22，a 4a 33，a 5a 44， ana n1 n1，相加，得 ana 223(n1) (n2) ，an2 .2 n 12 n 1n 22 n 1n 22 n2 n 228n2 n(nN *) 解析：由 Sn2a n2 n，得当 n1 时，S 1 a12；当 n2 时，Sn2(
29、S nS n1 )2 n，即 1.所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，则Sn2n Sn 12n 1 Sn2nn，S nn2 n(n2) 当 n1 时，也符合上式，所以 Sn n2n(nN*)Sn2n9解：(1)当 n1 时，由 6a119a 1，得 a1 .13当 n2 时，由 6Sn19a n，得 6Sn1 19a n1 ，两式相减，得 6(SnS n1 )9(a na n1 )，即 6an9(a na n1 )an3a n1 .数列 an是首项为 ，公比为 3 的等比数列，其通 项公式为 an 3n1 3 n2 .13 13(2)bn n2 ，1an (13)bn是首项为 3，
30、公比为 的等比数列13Tn b1b 2b n .31 (13)n1 13 921 (13)n10解：(1)设数列a n的公差为 d，bn的公比为 q，依题意，得Error!解得Error!所以 an1(n1)n，b n 12n1 2 n1 .(2)由(1)知，c na nbnn2 n1 ，则：Tn12 022 132 2n2 n1 ， 2Tn12 122 2(n1)2 n1 n2 n，得T n2 02 12 22 n1 n2 n n2 n(1 n)2 n1.11 2n1 2所以 Tn(n1)2 n1.11(1)解：依题意，当 n2，可归纳出 ana n1 n.所以 an(a na n1 )(
31、an1 a n2 )(a 2a 1)a 1.ann(n1) 22 2 (n2n)1.n 2n 12 12检验当 n1 时，上式也成立所以通项公式为 an (n2n )1.12(2)证明：( an1)b n1，bn 2 .1an 1 2nn 1 (1n 1n 1)b1 b2b n2 (11 12) (12 13) (1n 1n 1)2 .(1 1n 1)又 1 0，所以 3m26m11，所以 10(ac)(2ac)0( ac)(ab)0.3等边 解析：由题意，得 2BAC，又 ABC，B .又 b2ac，由余弦定理，3得 b2a 2c 2 2accos Ba 2c 2ac. a2c 22ac0，
32、即(ac)20. ac.A C. ABC .ABC 为等边三角形345. 解析： f(x)sin x 在区间(0 ，)上是凸函数，且 A，B，C(0，)3 32 f f .fA fB fC3 (A B C3 ) (3)即 sin Asin Bsin C3sin .3 3 32sin Asin Bsin C 的最大值为 .3 326若，则(或若 ，则)解析：依题意可得以下四个命题：(1)mn，nm；(2)m n，mn ；(3)mn，n，m ；(4)，n，mm n.不难发现，命题(3)(4)为真命题，而命题(1)(2)为假命题7lg 153abc 解析：如果 lg 32ab 是正确的，那么 lg
33、92lg 32(2ab)4a2b；如果 lg 32ab 是错误的，那么 lg 94a2b 也是错误的，这与题意矛盾反 过来，lg 94a 2b 也不是错误的，否则 lg 32ab 是错误的同样，如果 lg 5ac，那么 lg 83lg 23(1lg 5)3(1 ac)，如果 lg 5ac 是错误 的，那么 lg 833a3c，也错误，这与题意矛盾；显然 lg 8 33a3c 也不是错误的，否则 lg 5ac 也是错误的 lg 15lg(3 5) lg 3lg 5(2 ab)( ac )3abc. 应将最后一个改正为 lg 153abc.8201 解析：由已知，若 a2 正确， 则 a0 或 a
34、1，即 a0，b1，c2 或a0， b2，c 1 或 a1，b 0，c2 或 a1， b2，c 0 均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若 b2 正确，则 a2 正确，不符合 题意；所以 c0 正确， a2，b0，c1，故100a10bc 201.9解：(1)S 2S3(2a 1d)(3 a13d) 36，将 a11 代入上式，解得 d 2 或 d5.公差 d0，d2. an12(n1)2n1.Sn n 2(nN*)1 2n 1n2(2)由(1)知，a ma m1 a m2 a mk2m 1 2m k 1k 12(2mk1)(k 1)65.m，kN*，2mk11，k 11.Error!解得
35、Error!(舍去)或Error!解得Error!综上所述，m5，k 4.10(1)解：设等差数列a n的公差为 d，则Error!解得Error!故所求的通项公式为 an2n1.(2)证明：由(1)可知，S nn 2，要证原不等式成立，只需证 ，1n 12 1n 12 2n2只需证(n1) 2(n1) 2n22(n21) 2.只需证(n 21) n2(n21) 2.只需证 3n21.而 3n21 在 n1 时恒成立，从而不等式 (n2， nN*)恒成立1Sn 1 1Sn 1 2Sn第 7 讲 数学归纳法1B 2.D3B 解析：n1 时，左边的最高次数为 1，即最后一项为 a，左边是 1a.4
36、D 解析：nk 时，等式左边123k 2，nk1 时，等式左边123k 2( k21)( k22) (k1) 2.比较上述两个式子，当 nk1 时，等式的左边是在假设 nk 时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k 21) (k 22)(k1) 2.5D 解析：原等式共有 5n 项，当 n1 时，2 51 2 4.故选 D.6D 解析：运用数学归纳 法证明 1232 n2 n1 2 2n1 (nN )，当 nk 时，则 有 1232 k2 k1 2 2k1 (kN )，左边表示的为 2k1 项的和当 nk1 时，则左边1232 k(2 k1) 2 k1 ，表示的为 2k1 1 项的和，因此，增
37、加了 2k1 2 k2 k项7A 解析：假设 nk 时，原式 k3(k1) 3(k2) 3 能被 9 整除，当 nk 1 时，(k1) 3( k2) 3(k3) 3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k3) 3 展开，让其出现 k3.8. 解析：求 f(k1) f (k)即可当 nk 时，左边 12k 12k 2 1k 1 1k 2.当 nk 1 时，左边 .故左边增加的式子是 1k k 1k 2 1k 3 1k 1 k 1 12k 1 ，即 .12k 2 1k 1 12k 12k 29解：把 n1,2,3 代入，得方程组Error!解得Error!猜想：等式 12223 2n(n1) 2(3n
38、211 n10)对一切 nN*都成立nn 112下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，由上面可知等式成立(2)假设 nk 时等式成立，即 12223 2k( k1) 2 (3k211k10)，kk 112则 12223 2k( k1) 2( k1)( k2) 2 (3k211k10)(k1)(k2) 2kk 112 (3k5)( k2)( k1)(k2) 2kk 112 k(3k5) 12( k2)k 1k 212 3(k1) 211(k1)10 k 1k 212当 n k1 时，等式也成立综合(1)(2)，对 nN*等式都成立10证明：(1)用数学归纳法证明 xn0，当 n1 时，x 1
39、 10.假设当 nk 时，x k0，那么当 nk1 时，若 xk1 0，则 00.因此 xn0(nN*)，所以 xnx n1 ln(1x n1 )xn1 .所以 0xn1 ，得xnxn1 4x n1 2xnx 2x n1 (x n1 2)ln(1x n1 )2n 1记函数 f(x)x 22x (x 2)ln(1x)(x0) ，又 f(x ) ln(1x)0，2x2 xx 1函数 f(x)在0，)上单调递增，所以 f(x)f(0)0.因此 x 2x n1 (x n1 2)ln(1x n1 )f (xn1 )0，2n 1所以 2xn1 x n (nN*)xnxn 12(3)因为 xnx n1 ln(1 x n1 )x n1 x n1 ，所以 xn .12n 1由 2x n1 x n，得xnxn 12 2 0，1xn 1 12 (1xn 12) 2 2 n1 2 n2 ，1xn 12 ( 1xn 1 12) (1x1 12)故 xn .12n 2综上所述， x n (nN*)12n 1 12n 2
