1、 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017上海模 拟)图中曲线的方程可以是( )A( xy1)(x 2y 21)0B. (x2y 21) 0x y 1C (xy1) 0x2 y2 1D. 0x y 1 x2 y2 1答案 C解析 由图象可知曲线的方程可以是 x2y 21 或xy 10( x2y 21) ，故 选 C.2(2017保定二模 )若点 P(x，y) 坐标满足 ln | x1| ，则点 P|1y|的轨迹图象大致是( )答案 B解析 由题意，x 1 时，y1，故排除 C，D；令 x2，则 y ，1e排除 A.故选 B.3(2018安徽模 拟)点集(x，y)|(| x|1) 2y 24表
2、示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是( )A. 2 B. 4163 3 163 3C. 2 D. 4243 3 243 3答案 A解析 点集(x，y )|(|x|1) 2y 24表示的图形是一条封闭的曲线，关于 x，y 轴对称，如图所示由图可得面积 SS 菱形 S 圆 2 2 4 243 12 3 43 163.故 选 A.34(2018沈阳月考 )在ABC 中，B( ，0)，C( ，0) ，5 5AB，AC 边上的中线长之和为 9.则ABC 重心 G 的轨迹方程是( )A. 1(y0) B. 1(y0)x24 y29 x29 y24C. y21(y0) Dx 2 1(y0
3、)x24 y24答案 B解析 设 AB，AC 边上的中线分别为 CD，BE，BG BE，CG CD，23 23BGCG (BECD)6(定值)23因此，G 的轨迹为以 B，C 为焦点的椭圆， 2a6，c ，5a3， b2，可得椭圆的方程为 1.x29 y24当 G 点在 x 轴上时，A，B，C 三点共线，不能构成 ABC.G 的 纵坐标 不能是 0，可得 ABC 的重心 G 的轨迹方程为 x29 1(y0)故 选 B.y245(2018大武口期末) 已知抛物线 y24x，焦点为 F，顶点为O，点 P 在抛物线上移动，Q 是 OP 的中点， M 是 FQ 的中点，则点M 的轨迹方程是( )Ay
4、2x 1 By 22 (x 12)C y22( x1) Dy 2x 12答案 D解析 设 M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易求 y24x 的焦点 F 的坐标为(1,0)M 是 FQ 的中点，Error!Error!又 Q 是 OP 的中点，Error!Error!P 在抛物线 y24x 上，(4y) 24(4 x2)，所以 M 点的轨迹方程为 y2x .故选 D.126(2017河北衡水中学期中) 已知 A(1,0)，B 是圆F：x 22x y2110(F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为( )A. 1 B. 1x212 y
5、211 x236 y235C. 1 D. 1x23 y22 x23 y22答案 D解析 将圆 F 改写成标准方程(x 1) 2y 2 12，则圆心 F 的坐标为(1,0) ，半径 r2 ，由题意可知|PA| PB|.又点 P 在圆 F 的半径 BF3上，故| PA| |PF| PB| PF| BF|2 2| AF|，所以动点 P 的轨3迹是以 A，F 为焦点，2 为长轴长的椭圆， 则 2a2 ，2c2，所以3 3b .故动点 P 的轨迹方程为 1.故选 D.2x23 y227(2018宜城期末 )已知过定点 C(2，0)的直线 l 与抛物线y22x 相交于 A，B 两点，作 OEAB 于 E.
6、则点 E 的轨迹方程是( )Ax 2y 2 2x0(x 0)B x2y 22x 0( y0)C x2y 24x 0Dx 2y 2 4x0(y 0)答案 A解析 直线 l 过定点 C(2,0)，O(0,0)，C(2,0)，OECE，OEC 为直角三角形，点 E 的轨 迹是以线段 OC 为直径的圆除去点 O，故点 E 的轨迹方程为(x 1) 2y 21(x 0)，即x2y 22x 0( x0)故选 A.8(2017津南模 拟)平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)，B( 1,3)，若点 C 满足 1 2 (O 为原点)，其中OC OA OB 1， 2R，且 1 21，则点 C 的轨迹是( )A直
7、线 B椭圆 C圆 D双曲线答案 A解析 设 C(x，y)，因 为 1 2 ，所以(x ，y) 1(3,1)OC OA OB 2( 1，3)，即Error!解得Error!又 1 21，所以 1，即 x 2y5，所以点 C 的y 3x10 3y x10轨迹为直线，故选 A.9(2017湖北期中 )已知方程 1 表示的曲线为 C，x24 t y2t 1给出以下四个判断：当 14 或 t4.其中判断正确的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 由 4tt1，可得 t ，方程 1 表示圆，故52 x24 t y2t 1不正确；由双曲线的定义可知：当(4t)(t1)4 时，方程 1 表示双曲线，
8、故正确；x24 t y2t 1由椭圆定义可知：当椭圆在 x 轴上时，满足 4tt10，即 1 ，A1( ，0)，A2( ，0)，则有2 2 2直线 A1P 的方程 为 y (x )，y1x1 2 2直线 A2Q 的方程为 y (x )， y1x1 2 2联立，解得Error!Error!x0，且|x|e2)，则 e12e 2 的最小值为 _答案 3 224解析 设动圆 M 的半径为 R.动圆 M 与圆 O1和圆 O2都相切有两种情况，一是与圆 O1内切、与圆 O2外切，二是与圆 O1和圆 O2都内切相切都可以转化为圆心距问题第一种情况，dMO1 4R， dMO2rR，d MO1d MO24r，
9、为定值，且 O1O22.故由椭圆的定义可知，M 的轨迹为一个椭圆， a ，c1.4 r2同理，第二种情况，M 的轨迹为一个椭圆，a ，c1.4 r2两个椭圆的离心率分别为 e1和 e2(e1e2)，e1 ，e2 .24 r 24 re12e 2 24 r 44 r 24 r 44 r4 r4 r 24 2r16 r2212 r 12 r2 2412 r 1282 12 r 12812 r 242 2 12 r12812 r 24 ，2 162 24 22 34当且仅当 12r ，即 r128 时，取“” 12812 r 2所以 e12e 2的最小值为 .3 224三、解答题15(2018 安徽
10、合肥模拟) 如图，抛物线 E：y 22px(p0)与圆O：x 2y 2 8 相交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0，y 0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D 两点，分别以C， D 为切点作抛物线 E 的切线 l1，l 2，l 1 与 l2 相交于点 M.(1)求 p 的值；(2)求动点 M 的轨迹方程解 (1) 由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为(2,2)，代入y22px，解得 p1.(2)设 C ，D ，y10， y20.(y212，y1) (y22，y2)设切线 l1：yy 1k ，(x y212)代入 y22x 得 ky22y2
11、y 1ky 0，由 0，21解得 k ，l1的方程为 y x ，1y1 1y1 y12同理，l 2的方程为 y x .1y2 y22联立Error!解得Error!直线 CD 的方程为 x0xy 0y8，其中 x0，y0满足x y 8， x02,2 ，20 20 2由Error!得 x0y22y 0y160，则Error!由可得Error!则Error!代入 x y 8 得 y 21.20 20x28考虑到 x02,2 ，则 x4，2 ，2 2动点 M 的轨迹方程为 y 21，x4，2 x28 216(2016 全国卷)已知抛物线 C：y 22x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，
12、 l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于P，Q 两点(1)若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；(2)若 PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程解 由题知 F .设 l1：ya， l2：yb， 则 ab0，(12，0)且 A ，B ，P ，Q ，(a22，a) (b22，b) ( 12，a) ( 12，b)RError!，Error!.记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为2x (ab) yab0.(1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1ab0.记 AR 的斜率 为 k1，FQ 的斜率为 k2，则k1 bk 2.a b1 a2 a ba2 ab 1a aba所以 ARFQ.(2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)，则 SABF |ba|FD| |ba|12 12，SPQF .由题设可得 2 |b a| ，所以|x1 12| |a b|2 12 |x1 12| |a b|2x10( 舍去) 或 x11.设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y)当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kABk DE，可得 (x1) 2a b yx 1而 y，所以 y2x1(x1)a b2当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，此 时 E(1,0)满足方程y2x 1.所以，所求轨迹方程为 y2x1.
