1、基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2016安 庆高三月考) 用数学归纳法证明 2nn2(n5，nN *)，第一步应验证( )An4 Bn5 Cn6 Dn7答案 B解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证 n 取第一个值时命题成立，又 n 5，故第一步验证 n5.故选 B.2用数学归纳法证明 122 2(n1) 2n 2(n1)22 21 2 时，由 nk 的假设到证明 nk 1 时，等n2n2 13式左边应添加的式子是( )A( k1) 22k 2B (k1) 2k 2C (k1) 2D. (k1)2(k1) 2113答案 B解析 由 nk 到 n k1 时，左 边增加( k1) 2k 2.故选
2、 B.3(2018沈阳 调研)用数学归纳法证明“n 3( n1) 3(n2)3(nN *)能被 9 整除” ，利用归纳法假设证明 nk 1 时，只需展开( )A( k3) 3 B(k2) 3C (k1) 3 D(k 1) 3(k2) 3答案 A解析 假设 nk 时，原式 k3( k1) 3(k2) 3 能被 9 整除，当nk 1 时 ，(k1) 3 (k2) 3( k3) 3为了能用上面的归纳假设，只须将( k3) 3 展开， 让其出 现 k3 即可故选 A.4已知 f(n)(2n7)3 n9，存在自然数 m，使得对任意nN *，都能使 m 整除 f(n)，则最大的 m 的值为( )A30 B
3、26 C36 D6答案 C解析 f(1)36， f(2)108336，f(3)3601036， f(1)，f(2)，f(3)都能被 36 整除，猜想 f(n)能被 36 整除证明如下：当 n1,2时，由以上得证假 设 当 nk(k2) 时， f(k) (2k7)3 k9 能被 36 整除，则当 n k1 时，f(k 1) f (k)(2 k9)3 k1 (2k7)3 k(6k27)3 k(2k 7)3 k(4k 20)3 k36(k5)3 k2 (k2)，f (k1)能被 36 整除f (1)不能被大于 36 的数整除，所求最大的 m 的 值为 36.5(2017泉州模 拟)用数学归纳法证明
4、n( n1)(n2)(3n 2)(2n 1)2(nN *)时，若记 f(n)n( n1)( n2)(3n 2)，则 f(k1)f(k) 等于( )A3k1 B3k1 C8k D9k答案 C解析 因为 f(k)k(k1) (k2) (3k2) ，f(k1)(k 1) (k2) (3k 2)(3k1) (3k)(3k 1)，则 f(k1)f (k)3k 13k 3k 1k 8k.故选 C.6(2018太原 质检)平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为 ( )An1 B2nC. Dn 2n1n2 n 22答案 C解析 1 条直线将平面分成 11 个区域；2 条
5、直线最多可将平面分成 1(1 2) 4 个区域；3 条直线最多可将平面分成 1(123)7 个区域；n 条直线最多可将平面分成 1(123n)1 个区域故选 C.nn 12 n2 n 227古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数 1,3,6,10，第 n 个三角形数为 n2 n.记第 n 个 k 边nn 12 12 12形数为 N(n，k )(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n,3) n2 n；12 12正方形数 N(n,4)n 2；五边形数 N(n,5) n2 n；32 12六边形数 N(n,6)2n 2n.可以推测 N(n，k)的表
6、达式，由此计算 N(10,24)( )A500 B1000 C1500 D2000答案 B解析 由已知得，N (n,3) n2 n n2 n，N(n,4)12 12 3 22 4 32n 2 n2 n，N(n,5) n2 n n2 n，N(n,6)4 22 4 42 32 12 5 22 4 522n 2n n2 n，根据归纳推理可得，N(n，k ) n26 22 4 62 k 22n.所以 N(10,24) 102 1011001001000，4 k2 24 22 4 242故答案为 1000.选 B.8若数列a n满足 an5a n1 36n18，nN *，且 a14，猜想其通项公式为(
7、)A3n1 B4n C5n1 D6n2答案 D解析 由 a14 求得 a210，a 316，经检验 an6n2.故选 D.二、填空题9设 Sn1 ，则 Sn1 S n_.12 13 14 12n答案 12n 1 12n 2 12n 3 12n 2n解析 S n1 1 12 13 14 12n 1Sn1 S n .12n 1 12n 2 12n 3 12n 2n10蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个蜂巢，按此规律，以 f(n)表示第 n 个图的蜂巢总数，则用 n
8、表示的 f(n)_.答案 3n 23n1解析 由于 f(2)f(1) 716， f(3)f(2)19726，推测当 n2 时，有 f(n)f(n1)6( n1)，所以 f(n) f(n)f (n1)f( n1)f(n2) f(n2)f(n3) f(2)f(1)f(1) 6( n1)(n2)2113n 23n1.又 f(1)1 3123 11，f(n)3n 23n1.11设数列a n的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数 n 都有(Sn1) 2a nSn，通过计算 S1，S 2，S 3，猜想 Sn_.答案 nn 1解析 由(S 11) 2S ，得 S1 ；2112由(S 2 1)2 (S2S
9、1)S2，得 S2 ；23由(S 3 1)2 (S3S 2)S3，得 S3 .34猜想 Sn .nn 112(2018 云南名校联考) 观察下列等式：131 2,132 33 2,132 33 36 2,132 33 34 310 2，根据上述规律，第 n 个等式为_答案 1 32 33 3n 3 2nn 12 解析 由第一个等式 131 2，得 13(10) 2；第二个等式132 33 2，得 132 3(12) 2；第三个等式 132 33 36 2，得132 33 3(1 23) 2；第四个等式 132 33 34 310 2，得132 33 34 3(1234) 2，由此可猜想第 n
10、个等式为132 33 34 3n 3(123n )2 2.nn 12 三、解答题13(2017 河南期末)设等差数列a n的公差 d0，且 a10，记Tn .1a1a2 1a2a3 1anan 1(1)用 a1，d 分别表示 T1，T 2，T 3，并猜想 Tn；(2)用数学归纳法证明你的猜想解 (1) T1 ；1a1a2 1a1a1 dT2 1a1a2 1a2a3 1d(1a1 1a2) 1d(1a2 1a3) 1d(1a1 1a3) 2a1a3；2a1a1 2dT3 1a1a2 1a2a3 1a3a4 1d(1a1 1a2) 1d(1a2 1a3) 1d(1a3 1a4) 1d ；(1a1
11、1a4) 3a1a4 3a1a1 3d由此可猜想 Tn .na1a1 nd(2)证明： 当 n1 时，T 1 ，结论成立，1a1a1 d假设 当 nk 时( kN*)时结论成立，即 Tk ，ka1a1 kd则当 nk 1 时， Tk1 T k1ak 1ak 2 ka1a1 kd 1a1 kda1 k 1dka1 k 1d a1a1a1 kda1 k 1d .a1 kdk 1a1a1 kda1 k 1d k 1a1a1 k 1d即 nk1 时， 结论成立由可知，T n 对于一切 nN*恒成立1a1a1 nd14(2017 扬州模拟)在数列a n中，ancos (n N*)32n 2(1)试将 a
12、n 1 表示为 an的函数关系式；(2)若数列 bn满足 bn1 (nN *)，猜想 an与 bn的大小关2nn！系，并证明你的结论解 (1) an cos cos32n 2 232n 12 21，(cos 32n 1)an2a 1，2n 1an1 ，an 12又 nN*，n12， an1 0，an1 .an 12(2)当 n1 时， a1 ，b1121， a1b1，12当 n2 时，a 2 ，b21 ，a2b 2，12 12 12当 n3 时，a 3 ，b31 ，a30，1kk！ 4k 1k 1！ 2k 1k 1！ 即证明 20，显然成立k 12kk 1k 1！ 2k 1k 1！ nk1 时
13、， 结论也成立综合可知：当 n3 时，a nb1；当 n2 时，a 2b 2；当 n3，n N*时， anS5，1b4 812 1b4猜想：n4 时， Sn1 .1bn下面用数学归纳法证明：当 n4 时，已 证假设 当 nk (kN*，k4)时， Sk1 ，1bk即 (k1) 2，那么， nk 1 时，3k2 3 3(k1) 23k 26k31bk 1 3k 12 3k2(k 24k4)2k 22k 1(k1)1 2S (k1)1 .综合，当 n4 时， Sn1 .1bn16(2018 合肥模拟)函数 f(x)x 22x 3.定义数列 xn如下：x12，x n1 是过两点 P(4,5)，Q n(xn，f(x n)的直线 PQn与 x 轴交点的横坐标(1)证明： 2x n0，即 xk1 xk2 .3 xk 11 xk 12 xk 1所以 2x k1 xk2 3，即当 nk 1 时， 结论也成立由知对任意的正整数 n,2x nxn1 3.(2)由(1)及题 意得 xn1 .3 4xn2 xn设 bnx n 3，则 1，即 5 ，1bn 1 5bn 1bn 1 14 (1bn 14)所以数列 是首项为 ，公比为 5 的等比数列，因此 1bn 14 34 1bn 5n 1，即 bn .14 34 435n 1 1故数列x n的通项公式 为 xn3 .435n 1 1
