1、11.2.3 空间几何体的直观图学习目标 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图知识点 斜二测画法思考 边长 2 cm 的正方形 ABCD 水平放置的直观图如下，在直观图中， A B与 C D有何关系？ A D与 B C呢？在原图与直观图中， AB 与 A B相等吗？ AD 与 A D呢？答案 A B C D， A D B C， A B AB， A D AD.12梳理 水平放置的平面图形的斜二测画法(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则2(2)立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平
2、面 x O y垂直的轴 O z，且平行于O z的线段长度不变，其他同平面图形的画法1用斜二测画法画水平放置的 A 时，若 A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且 A90，则在直观图中， A45.()2用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变()3在斜二测画法中平行于 y 轴的线段在直观图中长度保持不变()类型一 平面图形的直观图例 1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图解 (1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直线为 x 轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系画出相应的
3、 x轴和 y轴，使 x O y45，如图(1)(2)所示(2)在 x轴上截取 O B OB，在 y轴上截取 O D OD，过点 D作 x轴的平行线12l，在 l 上沿 x轴正方向取点 C使得 D C DC.连接 B C，如图(2)所示(3)所得四边形 O B C D就是直角梯形 OBCD 的直观图，如图(3)所示3引申探究例 1 中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图解 画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴， AB 中点 O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系 x O y，使 x O y45.(2)以 O为中点在 x轴上取 A B AB，在 y轴上取 O E OE，以 E为中
4、点画出12C D x轴，并使 C D CD.(3)连接 B C， D A，所得的四边形 A B C D就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可跟踪训练 1 已知正五边形 ABCDE，如图，试画出其直观图考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图解 画法：(1)在图(1)中作 AG x 轴于点 G，作
5、DH x 轴于点 H.(2)在图(2)中画相应的 x轴与 y轴，两轴相交于点 O，使 x O y45.(3)在图(2)中的 x轴上取 O B OB， O G OG， O C OC， O H OH， y轴上4取 O E OE，分别过 G和 H作 y轴的平行线，并在相应的平行线上取12G A GA， H D HD.12 12(4)连接 A B， A E， E D， D C，并擦去辅助线 G A， H D， x轴与 y轴，便得到水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图 A B C D E(如图(3)类型二 直观图的还原与计算例 2 如图所示，梯形 A1B1C1D1是一平面图形 ABCD 的直观图若A
6、1D1 O y， A1B1 C1D1， A1B1 C1D12， A1D1 O D11.试画出原四边形的形状，并求23出原图形的面积考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形解 如图，建立直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 OD O D11， OC O C12.在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA2 D1A12.在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB A1B12.连接 BC，即得到了原图形由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为 AB2， CD3，直角腰的长度 AD2，所以面积为 S 25.2 32反思与感悟 (1)由直观图还原为平面图的关键是找与 x轴，
7、 y轴平行的直线或线段，且平行于 x轴的线段还原时长度不变，平行于 y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段5长的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可(2)若一个平面多边形的面积为 S，其直观图的面积为 S，则有 S S 或 S2 S.利24 2用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积跟踪训练 2 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O，若 O B1，那么原三角形 ABO 的面积是( )A. B. C. D212 22 2 2考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 C解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为 1，因
8、此面积为 ，又直观图与原平面图形面积12比为 4，所以原图形的面积为 ，故选 C.2 2(2)如图所示，矩形 O A B C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O A6 cm， C D2 cm，则原图形是_(填四边形的形状)考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 菱形解析 如图所示，在原图形 OABC 中，应有 OA O A6(cm)， OD2 O D22 42(cm)， CD C D2(cm)， OC 6(cm)， OA OC，故四边2 OD2 CD2 422 22形 OABC 是菱形类型三 空间几何体的直观图例 3 如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图
9、6考点 空间几何体的直观图题点 简单组合体的直观图解 (1)作出长方体的直观图 ABCD A1B1C1D1，如图 1 所示(2)再以上底面 A1B1C1D1的对角线交点为原点建立 x轴、 y轴， z轴，使 x O y45如图 2 所示，在 z上取点 V，使得 V O 的长度为棱锥的高，连接V A1， V B1， V C1， V D1，得到四棱锥的直观图，如图 2. (3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图 3.反思与感悟 空间几何体的直观图的画法：(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出(2)画空间几何体
10、的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个 z轴，表示竖直方向(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致跟踪训练 3 用斜二测画法画出六棱锥 P ABCDEF 的直观图，其中底面 ABCDEF 为正六边形，7点 P 在底面上的投影是正六边形的中心 O.(尺寸自定)考点 空间几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图解 画法：(1)画出六棱锥 P ABCDEF 的底面在正六边形 ABCDEF 中，取 AD 所在的直线为 x 轴，对称轴 MN 所在的直线为 y 轴，两轴相交于点 O，如图(1)，画出相应的 x轴、 y轴、 z轴，三轴相交于 O，使 x O y45， x O z90，如图(2)；
11、在图(2)中，以O为中点，在 x轴上取 A D AD，在 y轴上取 M N MN，以点 N为中点，画出12B C平行于 x轴，并且等于 BC，再以 M为中点，画出 E F平行于 x轴，并且等于EF；连接 A B， C D， D E， F A得到正六边形 ABCDEF 水平放置的直观图A B C D E F.(2)画出正六棱锥 P ABCDEF 的顶点，在 z轴正半轴上截取点 P，点 P异于点 O.(3)成图连接 P A， P B， P C， P D， P E， P F，并擦去 x轴、 y轴和 z轴，便可得到六棱锥 P ABCDEF 的直观图 P A B C D E F，如图(3)1用斜二测画法
12、画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )A原来相交的仍相交B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行D原来共点的仍共点考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 B解析 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直2利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( )8考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 C解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为 21.3如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 C解析 在 x 轴上或与 x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不
13、变，在 y 轴上或平行于 y 轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的 ，并注意到 xOy90， x O y45，因此由12直观图还原成原图形为 C.4有一个长为 5 cm，宽为 4 cm 的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为_cm2.考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 5 2解析 该矩形直观图的面积为 545 .24 25画出水平放置的四边形 OBCD(如图所示)的直观图考点 平面图形的直观图9题点 平面图形的直观图解 (1)过点 C 作 CE x 轴，垂足为点 E，如图(1)所示，画出对应的 x轴， y轴，使 x O y45，如图(2)所示(2)如图(2)所示，在 x轴
14、上取点 B， E，使得 O B OB， O E OE；在 y轴上取一点 D，使得 O D OD；过点 E作 E C y轴，使 E C EC.12 12(3)连接 B C， C D，并擦去 x轴与 y轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形 O B C D就是所求的直观图1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点确定点的位置，可采用直角坐标系建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上2用斜二测画法画图时要紧紧把握住“一斜” 、 “二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的 Ox， Oy 轴，在直观图中画成 O x
15、， O y轴，使 x O y45或 135.(2)二测：在直观图中平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.一、选择题1根据斜二测画法的规则画直观图时，把 Ox， Oy， Oz 轴画成对应的O x， O y， O z，则 x O y与 x O z的度数分别为( )A90，90 B45，90C135，90 D45或 135，90考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 D解析 根据斜二测画法的规则， x O y的度数应为 45或 135， x O z指的是10画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为 90.2水平放置的 ABC 的直观图如图所示，其中
16、 B O C O1， A O ，那么原32 ABC 是一个( )A等边三角形B直角三角形C三边中只有两边相等的等腰三角形D三边互不相等的三角形考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 A解析 由图形，知在原 ABC 中， AO BC. A O ，32 AO .3 B O C O1， BC2， AB AC2， ABC 为等边三角形故选 A.3下列说法中正确的个数是( )相等的角在直观图中对应的角仍然相等；相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直；线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A1 B2 C3 D4考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直
17、观图答案 A解析 如图，由正方形的直观图是平行四边形可知错误，易知正确，故选 A.114下面每个选项的 2 个边长为 1 的正 ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 C解析 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论5已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为 20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为 8 m如果按 1500 的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B4 cm,0.5 cm,2
18、 cm,1.6 cmC4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm D4 cm,0.5 cm,1cm,0.8 cm考点 空间几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图答案 B解析 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 4 cm,1 cm,2 cm 和 1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.6 已 知 一 个 正 方 形 的 直 观 图 是 一 个 平 行 四 边 形 ， 其 中 有 一 边 长 为 4， 则 此 正 方 形 的 面 积 为 ( )A16 B64C16 或 64 D无法确定考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的
19、计算答案 C解析 等于 4 的一边在原图形中可能等于 4，也可能等于 8，所以正方形的面积为 16 或 64.127如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案 A解析 直观图中正方形的对角线长为 ，故在平面图形中平行四边形的高为 2 ，只有 A 项2 2满足条件，故 A 正确8如图所示， A O B表示水平放置的 AOB 的直观图， B在 x轴上， A O与 x轴垂直，且 A O2，则 AOB 的边 OB 上的高为( )A2 B4C2 D42 2考点 平面图形的直观图题点 由直观图还原平面图形答案
20、 D解析 设 AOB 的边 OB 上的高为 h，因为 S 原图形 2 S 直观图 ，所以2OBh2 2O B.12 2 12又 OB O B，所以 h4 .2二、填空题9在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点 M(4,4)在直观图中的对应点是 M，则点M的坐标为_考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 (4,2)13解析 由直观图画法“横不变，纵折半”可得点 M的坐标为(4,2)10在如图所示的直观图中，四边形 O A B C为菱形且边长为 2 cm，则在坐标系 xOy中原四边形 OABC 为_(填形状)，面积为_ cm 2.考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 矩形
21、 8解析 由题意结合斜二测画法，可得四边形 OABC 为矩形，其中 OA2 cm， OC4 cm，四边形 OABC 的面积为 S248(cm 2)11如图所示，四边形 OABC 是上底为 2，下底为 6，底角为 45的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图 O A B C，则直观图中梯形的高为_考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 22解析 作 CD， BE OA 于点 D， E，则 OD EA 2， CD OD2，OA BC2在直观图中梯形的高为 2 .12 22 2212水平放置的 ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B C4， A C3， B C y轴，则 ABC 中
22、AB 边上的中线的长度为_14考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 732解析 由斜二测画法规则知 AC BC，即 ABC 为直角三角形，其中 AC3， BC8，所以AB ， AB 边上的中线长度为 .73732三、解答题13如图所示，在 ABC 中， AC12 cm， AC 边上的高 BD12 cm，求其水平放置的直观图的面积考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算解 方法一 画 x轴， y轴，两轴交于 O，使 x O y45，作 ABC 的直观图如图所示，则 A C AC12 cm， B D BD6 cm，12故 A B C的高为 B D3 cm，22 2所以 S A
23、B C 123 18 (cm2)12 2 2即水平放置的直观图的面积为 18 cm2.2方法二 ABC 的面积为 ACBD 121272(cm 2)12 12由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得 ABC 水平放置的直观图的面积是7218 (cm2)24 215四、探究与拓展14如图， A B C D是边长为 1 的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算解 由已知， A B C D是边长为 1 的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示，这是一个底边长为 2，高为 的平行四边形，2故原图形的面积为 2 .215由下列几何体的三视图画出直观图考点 空间几何体的直观图题点 柱、锥、台的直观图解 由几何体的三视图，知这个几何体是一个三棱柱(1)画轴如图，画出 x 轴， y 轴， z 轴，三轴相交于点 O，使 xOy45， xOz90.(2)画底面作水平放置的三角形(俯视图)的直观图 ABC.(3)画侧棱过 A， B， C 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA， BB， CC.(4)成图顺次连接 A， B， C，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图16
