1、11.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图学习目标 1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型知识点一 投影的概念(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影(2)投影线：光线(3)投影面：留下物体影子的屏幕知识点二 投影的分类投影 定义 特征 分类中心投影 光由一点向外散射形成的投影 投影线交于一点平行投影 在一束平行光线照射下形成的投影 投影线平行 正投影和斜投影知识点三 三视图(1)定义(2)三视图的画法规则正、俯视图都反映物体的长度 “长对正” ；正、侧视图都反映物体的
2、高度 “高平齐” ；俯、侧视图都反映物体的宽度 “宽相等” 2(3)三视图的排列顺序：先画正视图，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边1直线的平行投影是直线()2圆柱的正视图与侧视图一定相同()3球的正视图、侧视图、俯视图都相同()类型一 中心投影与平行投影例 1 下列说法正确的是( )A矩形的平行投影一定是矩形B平行投影与中心投影的投影线均互相平行C两条相交直线的投影可能平行D如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点考点 平行投影题点 判断平行投影的结果及应用答案 D解析 平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故 A 不正确
3、平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故 B 不正确无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故 C 不正确两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故 D正确反思与感悟 (1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影跟踪训练 1 如图 1 所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1
4、中， E， F 分别是 AA1， C1D1的中点， G是正方形 BCC1B1的中心，则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图 2 中的_(填序号)3考点 平行投影题点 判断平行投影的结果及应用答案 解析 要画出四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点 A， G， F， E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的在平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1上的投影是图；在平面 ADD1A1和平面 BCC1B1上的投影是图；在平面 ABB1A1和平面 DCC1D1上的投影是图.类型二 三视图的识别与画法命 题 角 度 1
5、 三 视 图 的 判 断例 2 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )考点 多面体的三视图题点 多面体的三视图答案 B解析 显然从左边看到的是一个正方形，因为割线 AD1可见，所以用实线表示；而割线B1C 不可见，所以用虚线表示故选 B.反思与感悟 根据空间几何体的直观图找三视图可以直接进行，找正视图就从正面看过去，找侧视图就从左边向右边看去，找俯视图就从上面向下面看去注意能看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示跟踪训练 2 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是4_(填序号)考点 多面体的三视图题点 多面体的
6、三视图答案 解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此填.命 题 角 度 2 画 几 何 体 的 三 视 图例 3 画出如图所示的几何体的三视图考点 多面体的三视图题点 棱锥的三视图解 正四棱锥的三视图如图所示，考点 简单组合体的三视图题点 其他柱、锥、台、球组合的三视图解 5反思与感悟 画三视图的注意事项：(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方(3)若相邻两物体的表面相交，
7、表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法跟踪训练 3 如图是同一个圆柱的不同放置，阴影面为正面，分别画出它们的三视图考点 旋转体的三视图题点 圆柱的三视图解 三视图如图所示(1) (2)类型三 由三视图还原几何体例 4 (1)说出下面的三视图表示的几何体的结构特征考点 多面体的三视图题点 棱台的三视图解 几何体为三棱台，结构特征如下图：6(2)根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图考点 简单组合体和三视图题点 其他柱、锥、台、球组成的三视图解 此几何体上面为圆台，下面为圆柱，所以实物草图如图所示反思与感悟 (1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体若正视图和侧
8、视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体，若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体跟 踪 训 练 4 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 是 什 么 ？ 它 的 高 与 底 面 面 积 分 别 是 多少 ？考点 多面体的三视图题点 棱锥的三视图解 由三视图可知，该几何体为三棱锥(如图)，7AC4， BD3，高为 2.S ABC ACBD 436.12 121一条直线在平面上的平行投影是( )A直线 B点C点或直
9、线 D线段考点 平行投影题点 平行投影的判断答案 C解析 当投影线与该直线平行时直线的平行投影为一个点；当投影线与该直线不平行时，直线的平行投影为一条直线2将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图答案 D解析 从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的3一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A球 B三棱锥 C圆柱 D正方体考点 旋转体的三视图8题点 圆柱的三视图答案 C解析 球的正视图、侧视图和俯视图均为圆，且形状相同，大小相等
10、；三棱锥的正视图、侧视图和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图、侧视图和俯视图均为正方形，且形状相同，大小相等；圆柱的正视图、侧视图和俯视图不可能形状相同，故选 C.4某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )考点 由三视图还原实物图题点 其他柱、锥、台、球组合的三视图还原实物图答案 D解析 由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是 D.5有一个正三棱柱(俯视图为正三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为_考点 多面体的三视图题点 棱柱的三视图答案 2,4解析 由正三棱柱三视图中的数据，知三棱
11、柱的高为 2，底面边长为 2 4.3231三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、9宽相等”的基本特征2画组合体的三视图的步骤特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示一、选择题1已知 ABC，选定的投影面与 ABC 所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与 ABC( )A全等 B相似C不相似 D以上都不正确考点 中心投影题点 中心投影的判断与应用答案
12、B解析 中心投影的投影线交于一点，几何体在这种投影下的形状相似2如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是 BB1， BC 的中点，则图中阴影部分在平面 ADD1A1上的投影为( )考点 平行投影题点 判断平行投影的结果及应用答案 A10解析 点 D 在平面 ADD1A1上的投影为点 D，点 M 在平面 ADD1A1上的投影为 AA1的中点，点N 在平面 ADD1A1上的投影为 DA 的中点，连接三点可知 A 正确3如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A B C D考点 多面体的三视图题点 棱锥的三视图答案 D解析 在各自的三视图中，正方体的
13、三个视图都相同；圆锥有两个视图相同；三棱台的三个视图都不同；正四棱锥有两个视图相同4一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图答案 A解析 由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面正视图中，长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故 A 对，B 错；侧视图中的线应是虚线，故 C 错；俯视图中的线应是实线，故 D 错5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )11考点 由三视图还原实物图题点 其他柱、锥、台、球组合的三视图还原实物图答案 D解析 由俯视图是圆环可排除 A，B，C
14、，进一步将三视图还原为几何体，可得选项 D.6如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是( )考点 简单组合体的三视图题点 切割形成几何体的三视图答案 A解析 对于 A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故 A 符合题意；对于 B，该几何体的正视图的矩形中，对角线是虚线，故不符合题意；对于 C，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意；对于 D，该几何体的侧视图的矩形中，对角线应该是虚线，且方向也不对，故不符合题意故选 A.7已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为 2 的等边三角形若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为 8，则侧视图的面积为( )A8
15、 B4 C4 D23 3考点 多面体的三视图题点 棱柱的三视图答案 C解析 设该三棱柱的侧棱长为 a，则 2a8，所以 a4，该三棱柱的侧视图是一个矩形，一边长为 4，另一边长等于三棱柱底面等边三角形的高，即为 ，所以侧视图的面积为34 ，故选 C.3128 一 个 几 何 体 的 正 视 图 和 侧 视 图 都 是 面 积 为 1 的 正 方 形 ， 则 这 个 几 何 体 的 俯 视 图 一 定 不 是 ( )考点 由三视图还原实物图题点 其他柱、锥、台、球组合的三视图还原实物图答案 B解析 由于原几何体的正视图和侧视图都是面积为 1 的正方形，所以对于 A，原几何体为三棱柱；对于 B，一
16、定不能满足其正视图和侧视图都是面积为 1 的正方形；对于 C，原几何体为正方体；对于 D，原几何体如图所示二、填空题9.如 图 ， 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ， 点 P 是 上 底 面 A1B1C1D1内 一 动 点 ， 则 三 棱 锥 P ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为_考点 多面体的三视图题点 棱锥的三视图答案 1解析 依题意得三棱锥 P ABC 的正视图与侧视图分别是一个三角形，且这两个三角形的一条边长都等于正方体的棱长，这条边上的高也都等于正方体的棱长，因此三棱锥 P ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为 1.10一个几何体的三视图所示，则该几何体是_13
17、考点 旋转体的三视图题点 圆台的三视图答案 圆台11一个几何体的三视图如图所示，则其侧视图的面积为_考点 简单组合体的三视图题点 其他柱、锥、台、球组合的三视图答案 4 3解析 依题意得几何体的侧视图面积为 22 2 4 .12 3 312已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中 AB AC，四边形 BCDE 为矩形)，则该组合体的俯视图可以是图中的_(把你认为所有正确图形的序号都填上)考点 简单组合体的三视图题点 其他柱、锥、台、球组合的三视图答案 解析 由正视图和侧视图可知几何体为锥体和柱体的组合体14(1)若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为；(2)若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视
18、图为；(3)若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为；(4)若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为.三、解答题13画出下列几何体的三视图考点 多面体的三视图题点 棱柱的三视图解 题图为正六棱柱，可按棱柱的画法画出，其三视图如图 a；题图为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状，其三视图如图 b.四、探究与拓展14已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )A1 B. 2C. D.2 12 2 12考点 多面体的三视图题点 棱柱的三视图答案 C解析 由正方体的俯视图是面积为 1 的正方形可知，正方体的正视图面积的取值范围为1， ，故选 C.215一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：15(1)该物体有多少层？(2)该物体的最高部分位于哪里？(3)该物体一共由几个小正方体构成？考点 由三视图还原实物图题点 由立(长)方体组合的三视图还原实物图解 (1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧 2 个，右侧 1 个；第二排左侧 2 个，右侧没有；第三排左侧 1 个，右侧 1 个该物体一共由 7 个小正方体构成
