1、二、数形结合思想以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形” ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合方法一 函数图象数形沟通法模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法破解此类题的关键点：分析数理
2、特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论典例 1 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2 的偶函数， f( x)是 f(x)的导函数当 x 0， 时 ， 0 f(x) 1； 当 x (0， )且 x 时 ， f (x)2(x2)0.则 函 数 y f(x) sin x 在 3，3上的零点个数为( )A4 B5C6 D8解析 当 x0，时，0 f(x)1， f(x)
3、是最小正周期为 2 的偶函数，当 x3，3时，0 f(x)1.当 x(0，)且 x 时， f( x)0， 2 (x 2)当 x 时， f(x)为单调减函数；0， 2当 x 时， f(x)为单调增函数， 2， 当 x0，时，0 f(x)1，定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2 的偶函数，在同一坐标系中作出 ysin x 和y f(x)的草图如图，由图知 y f(x)sin x 在3，3上的零点个数为 6，故选 C.答案 C思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系跟踪演练
4、 1 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f( x1) f(x1)，当x1,0时， f(x) x3，则关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的所有实数解52， 12之和为( )A7 B6C3 D1答案 A解析 因为函数 f(x)为偶函数，所以 f( x1) f(x1) f(x1)，所以函数 f(x)的周期为 2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数 y f(x)与 y|cos x|的图象，由图知关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的实数解有 7 个不妨设 7 个解中52， 12x1x2x3x4x5x6x7，则由图得 x1 x24， x3 x52， x41， x6
5、x70，所以方程 f(x)|cos x|在 上的所有实数解的和为42107，故选 A.52， 12方法二 几何意义数形沟通法模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题破解此类题的关键点：分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论典例 2 如果实数 x， y 满足( x2) 2 y
6、23，则 的最大值为( )yxA. B. C. D.12 33 32 3解析 方程( x2) 2 y23 的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为 M(2,0)，半径为 r (如图)，而 则表示圆 M 上的点3yx y 0x 0A(x， y)与坐标原点 O(0，0)的连线的斜率所以该问题可转化为动点 A 在以 M(2,0)为圆心，以 为半径的圆上3移动，求直线 OA 的斜率的最大值由图可知当 OAM 在第一象限，且直线 OA 与圆 M 相切时， OA 的斜率最大，此时 OM2， AM ， OA AM，则 OA 1，tan AOM ，故 的最大值3 OM2 AM2AMOA 3 yx为 ，故选 D.
7、3答案 D思维升华 解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有(1)比值可考虑直线的斜率(2)二元一次式可考虑直线的截距(3)根式分式可考虑点到直线的距离(4)根式可考虑两点间的距离跟踪演练 2 设点 P(x， y)满足：301xy则 的取值范围是( )yx xyA. B. C. D1,132， ) 32， 32 32， 1答案 B解析 作出不等式组01xy所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中 A(2,1)， B(1,2)，令 t ， f(t)yx t ，根据 t 的几何意义可知， t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接1tOA， O
8、B，显然 OA 的斜率 最小， OB 的斜率 2 最大，即 t2.由于函数 f(t) t 在12 12 1t上单调递增，故 f(t) ，即 的取值范围是 .12， 2 32 32 yx xy 32， 32方法三 圆锥曲线数形沟通法模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题破解此类题的关键点：画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解得出结论，结合题目
9、条件进行分析，得出所要求解的结论典例 3 已知点 P 在抛物线 y24 x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为( )A. B.(14， 1) (14， 1)C(1,2) D(1，2)解析 点 P 到抛物线焦点的距离等于点 P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为 F，过点 P 作准线的垂线，垂足为 S，则| PF| PQ| PS| PQ|，故当 S， P， Q 三点共线时取得最小值，此时 P， Q 的纵坐标都是1，设点 P 的横坐标为 x0，代入 y24 x 得 x0 ，14故点 P 的坐标为 ，故选 A.(14， 1)答案
10、 A思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论跟踪演练 3 已知抛物线的方程为 x28 y， F 是其焦点，点 A(2,4)，在此抛物线上求一点 P，使 APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为_答案 ( 2，12)解析 因为(2) 284，所以点 A(2,4)在抛物线 x28 y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为 l，过点 P 作 PQ l 于点 Q，过点 A 作 AB l 于点 B，连接 AQ，由抛物线的定义可知， APF 的周长为| PF| PA| AF| PQ| PA| AF| AQ| AF| AB| AF|，当且仅当P， B， A 三点共线时， APF 的周长取得最小值，即| AB| AF|.因为 A(2,4)，所以不妨设 APF 的周长最小时，点 P 的坐标为(2， y0)，代入 x28 y，得 y0 ，12故使 APF 的周长最小的点 P 的坐标为 .( 2，12)
