1、回扣 11 推理与证明、算法、复数1复数的相关概念及运算法则(1)复数 z a bi(a， bR)的分类 z是实数 b0； z是虚数 b0； z是纯虚数 a0 且 b0.(2)共轭复数复数 z a bi的共轭复数 a bi.z(3)复数的模复数 z a bi的模| z| .a2 b2(4)复数相等的充要条件a bi c dia c且 b d(a， b， c， dR)特别地， a bi0 a0 且 b0( a， bR)(5)复数的运算法则加减法：( a bi)(c di)( ac)( bd)i；乘法：( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i；除法：( a bi)(c di)
2、i.ac bdc2 d2 bc adc2 d2(其 中 a， b， c， d R.)2复数的几个常见结论(1)(1i)22i.(2) i， i.1 i1 i 1 i1 i(3)i4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，i 4ni 4n1 i 4n2 i 4n3 0( nZ)(4) i，且 01， 2 ， 31,1 20.12 32 3程序框图的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示4推理推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论合情推理的思维过程(
3、1)归纳推理的思维过程 实 验 、 观 察 概 括 、 推 广 猜 测 一 般 性 结 论(2)类比推理的思维过程 实 验 、 观 察 联 想 、 类 推 猜 测 新 的 结 论5证明方法(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知推理模式：框图表示 QP1 P1P2 P2P3 得 到 一 个 明 显 成 立 的 条 件(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知推理模式框图表示： (其中 P表示已知条件、已有的定义、公理、PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ定理等， Q表示要证明的结论)(3)反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因
4、此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法1复数 z为纯虚数的充要条件是 a0 且 b0( z a bi， a， bR)还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧2复数的运算与多项式运算类似，要注意利用 i21 化简合并同类项3在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件注意理解循环条件中“”与“”的区别4解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是” “否”的对应5类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比用数学归纳法证明时，易盲目以为 n0的起始值 n01，另外注意证明传递性时，必须用 n k成立的归纳假设6在循环结构中，易
5、错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果1复数 z满足 z(2i)17i，则复数 z的共轭复数为( )A13i B13iC13i D13i答案 A解析 z(2i)17i， z 13i，1 7i2 i 1 7i2 i2 i2 i 5 15i5共轭复数为13i.2复数 z1， z2在复平面内对应的点关于直线 y x对称，且 z132i，则 z1z2等于( )A13i B13iC1312i D1213i答案 A解析 z123i， z1z2(23i)(32i)13i.3用反证法证明命题：三角形的内角至少有一个钝角假设正确的是( )A假设至少有一个钝角B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角D假设没有
6、一个钝角或至少有两个钝角答案 C解析 原命题的结论为至少有一个钝角则反证法需假设结论的反面 “至少有一个”的反面为“没有一个” ，即假设没有一个钝角4下面几种推理过程是演绎推理的是( )A由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电C高一参加军训有 12个班，1 班 51人，2 班 53人，3 班 52人，由此推测各班都超过 50人D在数列 an中， a12， an2 an1 1( n2)，由此归纳出 an的通项公式答案 B解析 A由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质为类比推理B所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电由一般到特殊，为演绎推理C
7、高一参加军训有 12个班，1 班 51人，2 班 53人，3 班 52人，由此推测各班都超过 50人为归纳推理D在数列 an中， a12， an2 an1 1( n2)，由此归纳出 an的通项公式为归纳推理5 z (mR，i 为虚数单位)在复平面上的点不可能位于( )m i1 iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 D解析 z ，m i1 i1 i1 i m 1 m 1i2由于 m1 m1，故不可能在第四象限6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 S为 ，1112则判断框中填写的内容可以是( )A n6 B n6C n6 D n8答案 C解析 S0， n2，判断是，S
8、 ， n4，判断是，12S ， n6，判断是， S ， n8，判断否，输出 S，故 n6. 12 14 34 12 14 16 11127以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )A综合法，分析法B分析法，综合法C综合法，反证法D分析法，反证法答案 A解析 根据已知可得该结构图为证明方法的结构图由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故两条流程线代表“推理与证明”中的思维方法是综合法，分析法8执行如图所示的程序框图，若输出的是 n6，则输入整数 p的最小值为( )A15 B16 C31
9、 D32答案 B解析 列表分析如下：是否继续循环 S n循环前 0 1第一圈 是 1 2第二圈 是 3 3第三圈 是 7 4第四圈 是 15 5第五圈 是 31 6第六圈 否故当 S值不大于 15时继续循环，大于 15但不大于 31时退出循环，故 p的最小正整数值为16.9小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率(正确率已答对题目数已答题目总数)，小明依次共答了 10道题，设正确率依次为 a1， a2， a3， a10.现有三种说法：若 a1 a2 a3 a10，则必是第一道题答错，其余题均答对；若 a1 a2 a3 a10，则必是第一道题答对，其
10、余题均答错；有可能 a52 a10，其中正确的个数是( )A0 B1 C2 D3答案 D解析 显然成立，前 5个全答对，后 5个全答错，符合题意，故选 D.10下列类比推理的结论不正确的是( )类比“实数的乘法运算满足结合律” ，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律” ；类比“设等差数列 an的前 n项和为 Sn，则 S4， S8 S4， S12 S8成等差数列” ，得到猜想“设等比数列 bn的前 n项积为 Tn，则 T4， ， 成等比数列” ；T8T4 T12T8类比“平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行” ，得到猜想“空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行” ；类比“设 AB为圆的直
11、径， P为圆上任意一点，直线 PA， PB的斜率存在，则 kPAkPB为常数” ，得到猜想“设 AB为椭圆的长轴， P为椭圆上任意一点，直线 PA， PB的斜率存在，则kPAkPB为常数”. AB C D答案 B解析 等差数列中结论成立，而等比数列中 T4 a q6， a q22， a q38也41T8T4 41 T12T8 41成立；由圆中 kPAkPB为1，而类比到椭圆：kPAkPB 或 ，也成立；a2b2 b2a2类比“实数的乘法运算满足结合律” ，得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”不成立，即 abc a(bc)，这由向量数量积的定义决定的类比“平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平
12、行” ，得到猜想“空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行”不成立，空间中可能出现相交，异面的情况故选 B.11图中的实心点个数 1,5,12,22，被称为五角形数，其中第 1个五角形数记作a11，第 2个五角形数记作 a25，第 3个五角形数记作 a312，第 4个五角形数记作a422，若按此规律继续下去，则 an_.答案 3n2 n2解析 由题观察所给的图形，对应的点分别为 1,14,147,14710，可得点的个数为首项为 1，公差为 3的等差数列的和，则 an Sn n .3nn 12 3n2 n212在 ABC中， AD平分 A的内角且与对边 BC交于 D点，则 ，将命题类比到空间：
13、BDCD ABAC在三棱锥 A BCD中，平面 ADE平分二面角 B AD C且与对棱 BC交于 E点，则可得到的正确命题结论为_答案 BECE S ABDS ACD解析 在 ABC中，作 DE AB， DF AC，则 DE DF，所以 ，根据面积类ABAC S ABDS ACD BDCD比体积，长度类比面积可得 ，即 .VB ADEVC ADE S ABDS ACD BECE S ABDS ACD13执行如图所示的程序框图，则输出的结果是_答案 32解析 由题意得 log2 log 2(n1)log 2(n2)，由程序框图的计算公式，可得n 1n 2S(log 22log 23)(log 2
14、3log 24)log 2nlog 2(n1)1log 2(n1)，由S4，可得 1log 2(n1)4log 2(n1)5，解得 n31，所以输出的 n为 32.14在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有 c2 a2 b2.猜想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O LMN，如果用 S1， S2， S3表示三个侧面面积， S4表示截面面积，那么类比得到的结论是_答案 S S S S21 2 23 24解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S S S
15、 S .21 2 23 2415复数 z( m23 m4)( m210 m9)i( mR)，(1)当 m0 时，求复数 z的模；(2)当实数 m为何值时，复数 z为纯虚数；(3)当实数 m为何值时，复数 z在复平面内对应的点在第二象限？解 (1)当 m0 时， z49i， .|z| 42 92 97(2)当Error! 即Error!即当 m4 时，复数 z为纯虚数(3)当Error! 即Error!即当4 m1 时，复数 z在复平面内对应的点在第二象限16(1)tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101；(2)tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51.由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论解 若 ， ， 都不是 90，且 90，则 tan tan tan tan tan tan 1.
