1、限时规范训练十六 圆锥曲线的综合问题限时 60 分钟，实际用时_分值 60 分，实际得分_ 解答题(本题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分)1(2017高考全国卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： y21 上，过 M 作 x 轴的x22垂线，垂足为 N，点 P 满足 .NP 2NM (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且 1，证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左OP PQ 焦点 F.解：(1)设 P(x， y)， M(x0， y0)，则 N(x0,0)， ( x x0， y)， (0， y0)NP NM 由 得 x0 x， y0
2、 y.NP 2NM 22因为 M(x0， y0)在 C 上，所以 1.x22 y22因此点 P 的轨迹方程为 x2 y22.(2)由题意知 F(1,0)设 Q(3， t)， P(m， n)，则 (3， t)， (1 m， n)， 33 m tn， ( m， n)，OQ PF OQ PF OP (3 m， t n)PQ 由 1 得3 m m2 tn n21，OP PQ 又由(1)知 m2 n22，故 33 m tn0.所以 0，即 .OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.2(2017黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆
3、 C： 1( a b0)的焦点分别为 F1( ，0)，x2a2 y2b2 3F2( ， 0)，点 P 在椭圆 C 上，满足| PF1|7| PF2|，tan F1PF24 .3 3(1)求椭圆 C 的方程(2)已知点 A(1,0)，试探究是否存在直线 l： y kx m 与椭圆 C 交于 D， E 两点，且使得|AD| AE|？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)由| PF1|7| PF2|， PF1 PF22 a 得 PF1 ， PF2 ，由 cos2 F1PF27a4 a4 ，又由余弦定理得 cos F1PF2 ，11 tan2 F1PF2 11 43 2 149
4、17(7a4)2 (a4)2 23 227a4a4所以 a2，故所求 C 的方程为 y21.x24(2)假设存在直线 l 满足题设，设 D(x1， y1)， E(x2， y2)，将 y kx m 代入 y21 并整x24理得(14 k2)x28 kmx4 m240，由 64 k2m24(14 k2)(4m24)16( m24 k21)0，得 4k21 m2，又 x1 x2 设 D， E 中点为 M(x0， y0)， M ， kAMk1，得8km1 4k2 ( 4km1 4k2， m1 4k2)m ，将代入得 4k21 2，化简得 20k4 k210(4 k21)(5 k21)1 4k23k (
5、1 4k23k )0，解得 k 或 k ，所以存在直线 l，使得| AD| AE|，此时 k 的取值范围为55 55 .( ， 55) (55， )3(2017高考全国卷)设 A， B 为曲线 C： y 上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4.x24(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方程解：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2， y1 ， y2 ， x1 x24，x214 x24于是直线 AB 的斜率 k 1.y1 y2x1 x2 x1 x24(2)由 y ，得
6、 y .x24 x2设 M(x3， y3)，由题设知 1，解得 x32，于是 M(2,1)x32设直线 AB 的方程为 y x m，故线段 AB 的中点为 N(2,2 m)，| MN| m1|.将 y x m 代入 y 得 x24 x4 m0.x24当 16( m1)0，即 m1 时， x1,222 .m 1从而| AB| |x1 x2|4 .2 2 m 1由题设知| AB|2| MN|，即 4 2( m1)，解得 m7.2 m 1所以直线 AB 的方程为 y x7.4已知椭圆 C1： 1( a b0)的左、右焦点为x2a2 y2b2 F1，F2，F2的坐标满足圆 Q 方程( x )2( y1
7、) 21，且圆心 Q 满足2|QF1| QF2|2 a.(1)求椭圆 C1的方程(2)过点 P(0,1)的直线 l1交椭圆 C1于 A， B 两点，过 P 与 l1垂直的直线 l2交圆 Q 于 C， D 两点， M 为线段 CD 中点，求 MAB 面积的取值范围解：(1)方程( x )2( y1) 21 为圆，此圆与 x 轴相切，切点为 F2( ，0)，所以2 2c ，即 a2 b22，且 F2( ，0)， F1( ，0)，2 2 2|QF1| 3，|F1F2|2 |QF2|2 22 2 12又| QF1| QF2|312 a.所以 a2， b2 a2 c22，所以椭圆 C1的方程为 1.x2
8、4 y22(2)当 l1平行 x 轴时， l2与圆 Q 无公共点，从而 MAB 不存在；所以设 l1： x t(y1)，则 l2： tx y10.由Error!消去 x 得( t22) y22 t2y t240，则| AB| |y1 y2|1 t2.2 1 t2 2t2 8t2 2又圆心 Q( ，1)到 l2的距离 d1 1 得 t21.2|2t|1 t2又 MP AB， QM CD，所以 M 到 AB 的距离即 Q 到 AB 的距离，设为 d2，即 d2 |2 t t|1 t2.21 t2所以 MAB 面积 S |AB|d2 ，12 2t2 4t2 2令 u 2， )，则 S f(u) .t
9、2 4 52uu2 2 2u 2u (253， 2所以 MAB 面积的取值范围为 .(253， 25(2017山东潍坊模拟)如图，点 O 为坐标原点，点 F 为抛物线 C1： x22 py(p0)的焦点，且抛物线 C1上点 P 处的切线与圆 C2： x2 y21 相切于点 Q.(1)当直线 PQ 的方程为 x y 0 时，求抛物线 C1的方程；2(2)当正数 p 变化时，记 S1， S2分别为 FPQ， FOQ 的面积，求 的最小值S1S2解：(1)设点 P ，由 x22 py(p0)得， y ，求导得 y .(x0，x202p) x22p xp因为直线 PQ 的斜率为 1，所以 1 且 x0
10、 0，x0p x202p 2解得 p2 ，2所以抛物线 C1的方程为 x24 y.2(2)因为点 P 处的切线方程为： y (x x0)，x202p x0p即 2x0x2 py x 0，20根据切线又与圆相切，得 1，| x20|4x20 4p2化简得 x 4 x 4 p2，40 20由 4p2 x 4 x 0，得| x0|2.40 20由方程组Error!解得 Q ，(2x0， 4 x202p )所以| PQ| |xP xQ|1 k2 1 x20p2|x0 2x0| p2 x20p |x20 2x0 | (x 2)14x40 x20 x20p |x20 2x0 | |x0|2p 20点 F 到切线 PQ 的距离是 d (0，p2) | p2 x20|4x20 4p2 ，12x20 p2 12x20 14x40 x20 x204所以 S1 |PQ|d (x 2)，12 |x30|16p 20S2 |OF|xQ| ，12 p2|x0|所以 S1S2 x40 x20 28p2 x40 x20 22 x40 4x20 x20 x20 22 x20 4 32 3，x20 42 4x20 4 2当且仅当 时取“”号，x20 42 4x20 4即 x 42 ，此时， p ，20 2 2 22所以 的最小值为 32 .S1S2 2
