1、限时规范训练二 平面向量、复数运算 限 时 45分 钟 ， 实 际 用 时分 值 80分 ， 实 际 得 分一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1设 i 是虚数单位，如果复数 的实部与虚部相等，那么实数 a 的值为( )a i2 iA. B13 13C3 D3解析：选 C. ，由题意知 2a1 a2，解之得 a3.a i2 i 2a 1 a 2 i52若复数 z 满足(12i) z(1i)，则| z|( )A. B.25 35C. D.105 10解析：选 C.z |z| .1 i1 2i 1 3i5 1053已知复数 z1i(i 是虚数单位)，则 z2的共轭复数是(
2、 )2zA13i B13iC13i D13i解析：选 B. z2 (1i) 2 2i1i2i13i，其共轭复2z 21 i 2 1 i 1 i 1 i数是 13i，故选 B.4若 z( a ) ai 为纯虚数，其中 aR，则 ( )2a i71 aiAi B1Ci D1解析：选 C. z 为纯虚数， a ，2 i.a i71 ai 2 i1 2i 2 i 1 2i 1 2i 1 2i 3i35已知复数 z ，则 z| z|对应的点所在的象限为( )11 iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选 B.复数 z i，11 i 1 i 1 i 1 i 12 12 z| z| i i，对
3、应的点 所在的象限为第二象12 12 (12)2 (12)2 1 22 12 (1 22 ， 12)限故选 B.6若复数 z 满足 z(1i)|1i|i，则 z 的实部为( )A. B. 12 12 2C1 D.2 12解析：选 A.由 z(1i)|1i|i，得z i， z 的实部为 ，故选 A.2 i1 i 2 i 1 i 1 i 1 i 2 12 2 12 2 127已知 ABC 和点 M 满足 0.若存在实数 m，使得 m 成立，则 m( )MA MB MC AB AC AM A2 B3C4 D5解析：选 B.由 0 知，点 M 为 ABC 的重心，设点 D 为边 BC 的中点，则MA
4、MB MC ( ) ( )，所以 3 ，故 m3，故选 B.AM 23AD 23 12AB AC 13AB AC AB AC AM 8已知向量 a(3，2)， b( x， y1)且 a b，若 x， y 均为正数，则 的最小值是( )3x 2yA24 B8C. D.83 53解析：选 B. a b，2 x3( y1)0，即 2x3 y3， (2x3 y) 8，当且仅当 2x3 y3x 2y (3x 2y) 13 13(6 9yx 4xy 6) 13(12 29yx4xy)时，等号成立32 的最小值是 8.故选 B.3x 2y9在平行四边形 ABCD 中， AC5， BD4，则 ( )AB BC
5、 A. B414 414C. D94 94解析：选 C.因为 2( )2 2 22 ， 2( )2 2 22 BD AD AB AD AB AD AB AC AD AB AD AB AD ，所以 2 24 ， .AB AC BD AD AB AD AB AB BC 9410在 ABC 中，已知向量 (2,2)，| |2， 4，则 ABC 的面积为( )AB AC AB AC A4 B5C2 D3解析：选 C. (2,2)，| | 2 .AB AB 22 22 2 | | |cos A2 2cos A4，AB AC AB AC 2cos A ，0 A，sin A ，22 22 S ABC | |
6、 |sin A2.故选 C.12AB AC 11 ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1,2 且| | |，则向量 在 方向AO AB AC OA AB BA BC 上的投影为( )A. B.12 32C D12 32解析：选 A.由 2 可知 O 是 BC 的中点，即 BC 为 ABC 外接圆的直径，所以AO AB AC | | | |，由题意知| | |1，故 OAB 为等边三角形，所以 ABC60.所以OA OB OC OA AB 向量 在 方向上的投影为| |cos ABC1cos 60 .故选 A.BA BC BA 1212如图，菱形 ABCD 的边长为 2， BAD60， M 为
7、 DC 的中点，若 N 为菱形内任意一点(含边界)，则 的最大值为( )AM AN A3 B2 3C6 D9解析：选 D.由平面向量的数量积的几何意义知， 等于 与 在 方向上的投影之积，所以( )max ( )AM AN AM AN AM AM AN AM AC (12AB AD ) AB AD 9.12AB2 AD2 32AB AD 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知复数 z ， 是 z 的共轭复数，则 z _.3 i 1 3i 2 z z解析： z 3 i 1 3i 2 3 i 2 23i 3 i 2 1 3i 3 i 1 3i 2 1 3i 1 3i
8、23 2i 8 i， z .34 14 z ( 34 14i)( 34 14i) 316 116 14答案：1414已知向量 a， b 满足| a|2，| b|1，且对一切实数 x，| a xb| a b|恒成立，则a， b 夹角的大小为_解析：| a xb| a b|恒成立 a22 xab x2b2 a22 ab b2恒成立x22 abx 12 ab0 恒成立， 4( ab)24(12 ab)0( ab1)20， ab1，cos a， b ，又 a， b0，故 a 与 b 的夹角ab|a|b| 12的大小为 .23答案： 2315已知在 ABC 中， AB4， AC6， BC ，其外接圆的圆
9、心为 O，则 _.7 AO BC 解析：如图，取 BC 的中点 M，连 OM， AM，则 ，AO AM MO ( ) .AO BC AM MO BC O 为 ABC 的外心， OM BC，即 0， ( )( )OM BC AO BC AM BC 12AB AC AC AB ( ) (624 2) 2010.12AC2 AB2 12 12答案：1016已知非零向量 a， b， c 满足| a| b| a b|， c a， c b ，则 的最大值23 |c|a|为_解析：设 a， b，则 a b.OA OB BA 非零向量 a， b， c 满足| a| b| a b|， OAB 是等边三角形设 c，OC 则 c a， c b. c a， c b ，AC BC 23点 C 在 ABC 的外接圆上，当 OC 为 ABC 的外接圆的直径时， 取得最大值，为 .|c|a| 1cos 30233答案：233
