1、限时规范训练十六 圆锥曲线的定义、性质，直线与圆锥曲线 限 时 40分 钟 ， 实 际 用 时分 值 80分 ， 实 际 得 分一、选择题(本题共 12小题，每小题 5分，共 60分)1若实数 k满足 0 k9，则曲线 1 与曲线 1 的( )x225 y29 k x225 k y29A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等 D离心率相等解析：选 A.由 25(9 k)(25 k)9，知两曲线的焦距相等2(2017宁夏银川质检)抛物线 y28 x的焦点到双曲线 x2 1 的渐近线的距离是( )y23A. B.12 32C1 D. 3解析：选 D.由抛物线 y28 x，有 2p8 p4，焦点坐标
2、为(2,0)，双曲线的渐近线方程为y x，不妨取其中一条 x y0，由点到直线的距离公式，有 d ，故3 3|32 0|3 1 3选 D.3已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方程为 y x，且与椭圆x2a2 y2b2 52 1 有公共焦点则 C的方程为( )x212 y23A. 1 B. 1x28 y210 x24 y25C. 1 D. 1x25 y24 x24 y23解析：选 B.双曲线的一条渐近线方程为 y x，则 ，52 ba 52又椭圆 1 与双曲线有公共焦点，易知 c3，则 a2 b2 c29， x212 y23由解得 a2， b ，则双曲线 C的方程为 1，故选 B
3、.5x24 y254已知抛物线 y22 px的焦点 F与双曲线 1 的右焦点重合，抛物线的准线与 x轴x27 y29的交点为 K，点 A在抛物线上且| AK| |AF|，则 AFK的面积为( )2A4 B8C16 D32解析：选 D.因为抛物线 y22 px的焦点 F与双曲线 1 的右焦点(4,0)重合，所以x27 y29p8.设 A(m， n)，又| AK| |AF|，所以 m4| n|，2又 n216 m，解得 m4，| n|8，所以 AFK的面积为 S 8832.125(2017安徽合肥模拟)已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2， P为双曲线y23右支上一点，则 的最小
4、值为( )PA1 PF2 A2 B8116C1 D0解析：选 A.设点 P(x， y)，其中 x1.依题意得 A1(1,0)， F2(2,0)，则有 x21， y23( x21)，y23 (1 x， y)(2 x， y)PA1 PF2 ( x1)( x2) y2 x23( x21) x24 x2 x54 ，其中 x1.(x18)2 8116因此，当 x1 时， 取得最小值2，选 A.PA1 PF2 6(2017浙江宁波模拟)点 A是抛物线 C1： y22 px(p0)与双曲线C2： 1( a0， b0)的一条渐近线的交点，若点 A到抛物线 C1的准线的距离为 p，则双x2a2 y2b2曲线 C
5、2的离心率等于( )A. B.2 3C. D.5 6解析：选 C.取双曲线的一条渐近线为 y x，ba联立Error!Error!故 A .(2pa2b2， 2pab)因为点 A到抛物线 C1的准线的距离为 p.所以 p，p2 2pa2b2所以 .a2b2 14所以双曲线 C2的离心率 e .ca a2 b2a2 57(2017山东德州一模)已知抛物线 y28 x与双曲线 y21( a0)的一个交点为 M， Fx2a2为抛物线的焦点，若| MF|5，则该双曲线的渐近线方程为( )A5 x3y0 B3 x5y0C4 x5y0 D5 x4y0解析：选 A.抛物线 y28 x的焦点为 F(2,0)，
6、准线方程为 x2，设 M(m， n)，则由抛物线的定义可得| MF| m25，解得 m3，由 n224，可得 n2 .将 M(3，2 )代入双曲线6 6 y21( a0)，可得 241( a0)，解得 a ，故双曲线的渐近线方程为 y x，即x2a2 9a2 35 535x3y0.故选 A.8(2016高考全国卷)已知 O为坐标原点， F是椭圆 C： 1( a b0)的左焦点，x2a2 y2b2A， B分别为 C的左，右顶点 P为 C上一点，且 PF x轴过点 A的直线 l与线段 PF交于点M，与 y轴交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点，则 C的离心率为( )A. B.13 12C. D
7、.23 34解析：选 A.由题意可知直线 AE的斜率存在，设为 k，直线 AE的方程为 y k(x a)，令x0 可得点 E坐标为(0， ka)，所以 OE的中点 H坐标为 ，又右顶点 B(a,0)，所以可得直(0，ka2)线 BM的斜率为 ，可设其方程为 y x a，联立Error! 可得点 M横坐标为 ，又点 M的横k2 k2 k2 a3坐标和左焦点相同，所以 c，所以 e .a3 139已知双曲线的标准方程为 1， F为其右焦点， A1， A2分别是实轴的左、右端点，x29 y216设 P为双曲线上不同于 A1， A2的任意一点，直线 A1P， A2P与直线 x a分别交于 M， N两点
8、，若 0，则 a的值为( )FM FN A. B.169 95C. D.259 165解析：选 B.双曲线 1，右焦点 F(5,0)， A1(3,0)， A2(3,0)，设 P(x， y)，x29 y216M(a， m)， N(a， n)， P， A1， M三点共线， ， m ，ma 3 yx 3 y a 3x 3 P， A2， N三点共线， ， n .na 3 yx 3 y a 3x 3 1， ， .又 ， x29 y216 x2 99 y216 y2x2 9 169 FM (a 5， y a 3x 3 ) FN ， ( a5) 2 ( a5) 2 ，(a 5，y a 3x 3 ) FM F
9、N y2 a2 9x2 9 16 a2 99 0，( a5) 2 0，FM FN 16 a2 9925 a290 a810， a .故选 B.9510(2017山东东营模拟)设 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，若双x2a2 y2b2曲线右支上存在一点 P，使 0，且| PF1| |PF2|，则该双曲线的离心率为( )PF1 PF2 3A. B. 12 12 2C. D. 13 12 3解析：选 C.因为双曲线右支上存在一点 P，使 0，所以 ，PF1 PF2 PF1 PF2 因为| PF1| |PF2|，3所以| F1F2|2| PF2|4 c，即| PF2|2 c，所
10、以| PF1| PF2| |PF2| PF2|3( 1)| PF2|2 a，3因为| PF2|2 c，所以 2c( 1)2 a，3e .ca 13 1 3 1211以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A， B两点，交 C的准线于 D， E两点已知|AB|4 ，| DE|2 ，则 C的焦点到准线的距离为( )2 5A2 B4C6 D8解析：选 B.设抛物线方程为 y22 px(p0)，圆的方程为 x2 y2 r2.| AB|4 ，| DE|2 ，2 5抛物线的准线方程为 x ，p2不妨设 A ， D .(4p， 22) ( p2， 5)点 A ， D 在圆 x2 y2 r2上，(4p， 22)
11、 ( p2， 5)Error! 8 5， p4(负值舍去)16p2 p24 C的焦点到准线的距离为 4.12(2017高考全国卷)已知 F为抛物线 C： y24 x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线l1， l2，直线 l1与 C交于 A， B两点，直线 l2与 C交于 D， E两点，| AB| DE|的最小值为( )A16 B14C12 D10解析：选 A.设 AB倾斜角为 ，则| AB| ，2psin2又 DE与 AB垂直，即 DE的倾斜角为 ，2|DE| 2psin2(2 ) 2pcos2而 y24 x，即 p2.| AB| DE|2 p 16，当 时取等号，(1sin2 1cos2 )
12、4sin2 cos2 16sin22 4即| AB| DE|最小值为 16，故选 A.二、填空题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分)13已知离心率 e 的双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点为 F， O为坐标原点，52 x2a2 y2b2以 OF为直径的圆与双曲线 C的一条渐近线相交于 O， A两点，若 AOF的面积为 4，则 a的值为_解析：因为 e ，所以 ， ，设| AF| m，| OA|2 m，由面积关1 (ba)2 52 ba 12 |AF|OA| ba 12系得 m2m4，所以 m2，由勾股定理，得 c 2 ，又 ，所以 a4.12 m2 2m 2 5 ca 52答案
13、：414设 F1， F2分别是椭圆 E： x2 1(0 b1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 Ey2b2于 A， B两点若| AF1|3| F1B|， AF2 x轴，则椭圆 E的方程为_解析：设 F1( c,0)， F2(c,0)，其中 c ，1 b2则可设 A(c， b2)， B(x0， y0)，由| AF1|3| F1B|，可得(2 c， b2)3( x0 c， y0)，故Error!即Error!代入椭圆方程可得 b21，25 1 b29 19解得 b2 ，故椭圆方程为 x2 1.23 3y22答案： x2 13y2215(2016高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy中， F
14、是椭圆 1( a b0)的x2a2 y2b2右焦点，直线 y 与椭圆交于 B， C两点，且 BFC90，则该椭圆的离心率是_b2解析：由已知条件易得 B ， C ， F(c,0)，(32a， b2) (32a， b2) ， ，BF (c 32a， b2) CF (c 32a， b2)由 BFC90，可得 0，BF CF 所以 20，(c32a)(c 32a) ( b2)即 c2 a2 b20，34 14即 4c23 a2( a2 c2)0，亦即 3c22 a2，所以 ，则 e .c2a2 23 ca 63答案：6316(2017山东潍坊模拟)抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，已知点 A， B为抛物线上的两个动点，且满足 AFB120.过弦 AB的中点 M作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 的|AB|MN|最小值为_解析：设 AF a， BF b，由余弦定理得|AB|2 a2 b22 abcos 120 a2 b2 ab( a b)2 ab( a b)2 (a b)2，(a b2 )2 34因为 MN，a b2 AF BF2所以| AB|2 |2MN|2，所以 ，所以最小值为 .34 |AB|MN| 3 3答案： 3
