1、大题规范练(三)(满分 70 分，押题冲刺，70 分钟拿下主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且cos2 sin Bsin C .B C2 2 24(1)求角 A；(2)若 a4，求 ABC 面积的最大值解：(1)由 cos2 sin Bsin C ，B C2 2 24得 sin Bsin C ，cos B C2 24cos( B C) ，22cos A (0 A)， A .22 4(2)由余弦定理 a2 b2 c22 bccos A，得 16 b2 c2 bc(2 )bc，当且
2、仅当 b c2 2时取等号，即 bc8(2 )2 S ABC bcsin A bc4( 1)，12 24 2即 ABC 面积的最大值为 4( 1)22(本小题满分 12 分)如图，在五面体 ABCDEF 中，AB CD EF， CD EF CF2 AB2 AD2， DCF60， AD CD，平面 CDEF平面 ABCD.(1)求异面直线 BE 与 CF 所成角的余弦值；(2)证明：直线 CE平面 ADF；(3)已知 P 为棱 BC 上的点，且二面角 PDFA 为 60，求 PE 的长解：(1) CD EF， CD EF CF2，四边形 CDEF 为菱形 DCF60， DEF 为正三角形取 EF
3、 的中点 G，连接 GD，则 GD EF， GD CD.平面 CDEF平面 ABCD， GD平面 CDEF， CD平面 CDEF平面 ABCD， GD平面ABCD， GD AD， GD CD. AD CD， DA， DC， DG 两两垂直如图，以 D 为原点， DA， DC， DG 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立空间直角坐标系 CD EF CF2， AB AD1， A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,2,0)， E(0，1， )，3F(0,1， )， (1， 2， )， (0，1， )3 BE 3 CF 3设异面直线 BE 与 CF 所成的角为 ，则 cos |
4、cos ， | .BE CF |BE CF |BE |CF | 584 528(2)证明： (1,0,0)， (0,1， )， (0，3， )，DA DF 3 CE 3 0， 0， CE DA， CE DF.CE DA CE DF DA， DF 是平面 ADF 内的两条相交直线，直线 CE平面 ADF.(3)依题意可设 P(a,2 a,0)(0 a1)，平面 PDF 的法向量为 n( x， y， z) n 0， n 0，Error!令 y a，则 x (a2)， z a， n( (a2)，DF DP 3 3 3a， a)3二面角 PDFA 为 60， (0，3 )是平面 ADF 的一个法向量，
5、CE 3|cos n， | .CE |nCE |n|CE | 43a123 a 2 2 3a2 a2 12解得 a ， P ，23 (23， 43， 0) PE .(23 0)2 (43 1)2 0 3 2 4533(本小题满分 12 分)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了 50 人，将调查结果进行整理后制成下表：年龄/岁 15,25) 25,35) 35,45) 45,55) 55,65) 65,75)频
6、数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 6 9 6 3 4(1)若从年龄在15,25)和25,35)这两组的被调查者中各随机选取 2 人进行追踪调查，求恰有 2 人不赞成的概率；(2)在(1)的条件下，令选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望解：(1)由表知，年龄在15,25)内的有 5 人，不赞成的有 1 人，年龄在25,35)内的有 10人，不赞成的有 4 人，恰有 2 人不赞成的概率为P .C14C25 C14C16C210 C24C25 C24C210 410 2445 610 645 2275(2) 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(
7、0) ，C24C25 C26C210 610 1545 15P( 1) ，C14C25 C26C210 C24C25 C14C16C210 410 1545 610 2425 3475P( 2) ，2275P( 3) ，C14C25 C24C210 410 645 475 的分布列是 0 1 2 3P 15 3475 2275 475 的数学期望 E( )0 1 2 3 .15 3475 2275 475 654(本小题满分 12 分)已知椭圆 E： 1( a b0)的两个焦点与短轴的一个端点是直x2a2 y2b2角三角形的三个顶点，直线 l： y x3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.(
8、1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；(2)设 O 为坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A， B，且与直线 l 交于点 P.证明：存在常数 ，使得| PT|2 |PA|PB|，并求 的值解：(1)由已知， a b，则椭圆 E 的方程为 1.2x22b2 y2b2由方程组Error!得 3x212 x182 b20.由题意 24( b23)0，得 b23，则直线 l 与椭圆 E 的交点坐标为(2,1)所以椭圆 E 的方程为 1.点 T 的坐标为x26 y23(2,1)(2)证明：由已知可设直线 l的方程为y x m(m0)，12由方程组Error!可得Error!所以
9、 P 点坐标为 ，| PT|2 m2.(22m3， 1 2m3) 89设点 A， B 的坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)由方程组Error!可得 3x24 mx4 m2120.由 16(92 m2)0，解得 m .322 322则由根与系数的关系得 x1 x2 ，4m3x1x2 .4m2 123所以| PA|把 y1 x1 m 代入得12|PA| ，52|2 2m3 x1|同理| PB| .52|2 2m3 x2|所以| PA|PB|54|(2 2m3 x1)(2 2m3 x2)|54|(2 2m3)2 (2 2m3) x1 x2 x1x2|54|(2 2m3)2 (2 2
10、m3)( 4m3) 4m2 123 | m2.109故存在常数 ，使得| PT|2 |PA|PB|.455(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2 a2ln x x2(a0)(1)当 a1 时，求曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的单调区间；(3)讨论函数 f(x)在区间(1，e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)解：(1)当 a1 时， f(x)2ln x x2， f( x) 2 x， f(1)0，2x又 f(1)1，曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 y10.(2) f(x)2 a2ln x x2， f( x) 2 x ，
11、2a2x 2a2 2x2x 2 x a x ax x0， a0，当 0 x a 时， f( x)0，当 x a 时， f( x)0. f(x)在(0， a)上是增函数，在( a，)上是减函数(3)由(2)得 f(x)max f(a) a2(2ln a1)讨论函数 f(x)的零点情况如下：当 a2(2ln a1)0，即 0 a 时，函数 f(x)无零点，在(1，e 2)上无零点；e当 a2(2ln a1)0，即 a 时，函数 f(x)在(0，)内有唯一零点 a，而e1 a e 2， f(x)在(1， e2)内有一个零点；e当 a2(2ln a1)0，即 a 时，由于 f(1)10， f(a) a
12、2(2ln a1)0， f(e2)e2 a2ln e2 e44 a2e 4(2 ae 2)(2ae 2)，当 2ae 20，即 a 时，ee221 a e 2， f(e2)0 ，由函数的单调性可知，函数 f(x)在(1， a)内有唯一零点 x1，在ee22(a，e 2)内有唯一零点 x2， f(x)在(1，e 2)内有两个零点当 2ae 20，即 a 时， f(e2)0，而且 f( )2 a2 e a2e0， f(1)e22 e e 1210，由函数的单调性可知，无论 ae 2，还是 ae 2， f(x)在(1， )内有唯一的一个零点，e在( ， e2)内没有零点，从而 f(x)在(1，e 2
13、)内只有一个零点e综上所述，当 0 a 时，函数 f(x)无零点；当 a 或 a 时，函数 f(x)有一个零点；e ee22当 a 时，函数 f(x)有两个零点ee22请考生在第 6、7 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分6(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!(其中 t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin .(1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；(2)若 A， B 分别为曲线 C1， C2上的动点，求当 AB 取最小值时
14、AOB 的面积解：(1)由Error!得 C1的普通方程为( x4) 2( y5) 29，由 2sin 得 22 sin ，将 x2 y2 2， y sin 代入上式得 C2的直角坐标方程为 x2( y1) 21.(2)如图，当 A， B， C1， C2四点共线，且 A， B 在线段 C1C2上时，| AB|取得最小值，由(1)得 C1(4,5)， C2(0,1)， kC1C2 1，则直线 C1C2的方程为 x y10，5 14 0点 O 到直线 C1C2的距离 d ，12 22又| AB| C1C2|13 44 4， 4 0 2 5 1 2 2 S AOB d|AB| (4 4)2 .12
15、12 22 2 27(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知| x2|6 x| k 恒成立(1)求实数 k 的最大值；(2)若实数 k 的最大值为 n，正数 a， b 满足 n.求 7a4 b 的最小值85a b 22a 3b解：(1)因为| x2|6 x| k 恒成立，设 g(x)| x2|6 x|，则 g(x)min k.又| x2|6 x|( x2)(6 x)|8，当且仅当2 x6 时， g(x)min8，所以 k8，即实数 k 的最大值为 8.(2)由(1)知， n8，所以 8，85a b 22a 3b即 4，又 a， b 均为正数，45a b 12a 3b所以 7a4 b (7a4 b)14 ( 45a b 12a 3b) (5a b)(2 a3 b)14 ( 45a b 12a 3b)144 1 4 2a 3b5a b 5a b2a 3b (54) ，14 94当且仅当 ，即 a5 b 时，等号成立，所以 7a4 b 的最小值是 .4 2a 3b5a b 5a b2a 3b 1552 94
