1、突破点 15 函数与方程(对应学生用书第 55页)核心知识提炼提炼 1 函数 y f(x)零点个数的判断(1)代数法：求方程 f(x)0 的实数根(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数 y f(x)在区间( a， b)内有零点.提炼 2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围已知函数零点个数，求参数的值或取值范围问题，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题要注意观察是否
2、需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题高考真题回访回访 函数的零点问题1(2011浙江高考)设 a， b， c为实数， f(x)( x a)(x2 bx c)， g(x)( ax1)(ax2 bx1)记集合 S x|f(x)0， xR， T x|g(x)0， xR，若| S|，| T|分别为集合 S， T的元素个数，则下列结论不可能的是( )A| S|1 且| T|0 B| S|1 且| T|1C| S|2 且| T|2 D| S|2 且| T|3D 对于选项 A，取 a b c0，则 f(x) x3， g(x)1，则| S|1 且| T|0，故 A可能成立
3、；对于选项 B，取 a1， b0， c1，则 f(x)( x1)( x21)， g(x)( x1)( x21)，则| S|1 且| T|1，故 B可能成立；对于选项 C，取 a1， b3， c2，则 f(x)( x1)2(x2)， g(x)( x1) 2(2x1)，则| S|2 且| T|2，故 C可能成立故选 D.2(2015浙江高考)设函数 f(x) x2 ax b(a， bR)(1)当 b 1 时，求函数 f(x)在1,1上的最小值 g(a)的表达式；a24(2)已知函数 f(x)在1,1上存在零点，0 b2 a1，求 b的取值范围解 (1)当 b 1 时， f(x) 21，故对称轴为直
4、线 x . 2分a24 (x a2) a2当 a2 时， g(a) f(1) a2.a24当22时， g(a) f(1) a2.a24综上， g(a)Error! 6分(2)设 s， t为方程 f(x)0 的解，且1 t1，则Error! 9分由于 0 b2 a1，因此 s (1 t1) 2tt 2 1 2tt 2当 0 t1 时， st . 11分 2t2t 2 t 2t2t 2由于 0 和 94 ，23 2t2t 2 13 t 2t2t 2 5所以 b94 .23 5当1 t0时， st ， 13分t 2t2t 2 2t2t 2由于2 0和3 0，所以3 b0. 2t2t 2 t 2t2t
5、 2故 b的取值范围是3,94 . 15分5(对应学生用书第 56页)热点题型 1 函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难.【例 1】 (1)已知定义在 R上的函数 f(x)满足：图象关于(1,0)点对称； f(1 x) f(1 x)；当 x1,1时， f(x)Error!则函数 y f(x) |x|在区间3,3上的(12)零点个数为( )A5 B6 C7 D8(2)已知定义在 R上的奇函数 y f(x)的图象关于直线 x1 对称，当 0 x1 时， f(x)logx，则方程 f(x)10 在(0,6)内的零点之和为( ) 12【
6、导学号：68334141】A8 B10 C12 D16(1)A (2)C (1)因为 f(1 x) f(1 x)，所以函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，又函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出 f(x)以及 g(x) |x|在3,3上的(12)图象，由图可知，两函数图象的交点个数为 5，所以函数 y f(x) |x|在区间3,3上的(12)零点个数为 5，故选 A.(2)因为函数 f(x)为定义在 R上的奇函数，所以当1 x0 时， f(x) f( x)log ( x)，又因为函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，所以函数 f(x)的图象的对称12轴为 x2 k1
7、， kZ，在平面直角坐标系内画出函数 f(x)的大致图象如图所示，由图易得直线 y1 与函数 f(x)的图象在(0,6)内有四个交点，且分别关于直线 x1 和 x5 对称，所以方程 f(x)10 在(0,6)内的零点之和为 212512，故选 C.方法指津求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决.函数 F x f x g x 的零点就是方程 f x g x 的实数根，也就是函数y g x 的图象与函数 y f x 的图象交点的横坐标.其解题的关键步骤为：分解为两个简单函数；在同一坐标系内作出这两个函数的图象；数交点的个数，即原函数的零点的个数.提醒：在画函
8、数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草” ，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质 如单调性、奇偶性、对称性等 的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化.变式训练 1 (1)定义在 R上的奇函数 f(x)，当 x0 时， f(x)Error!则关于 x的函数 F(x) f(x) a(0 a1)的零点个数为( )A2 B3 C4 D5(2)已知函数 f(x)cos x， g(x)2 |x2|， x2,6，则函数 h(x) f(x) g(x)2 34的所有零点之和为( )A6 B8 C10 D12(1)D (2)D (1)在同一坐标系中画出函数 y f(x)和 y a(0 a1)的图象
9、，如图所示：两图象共有 5个交点，所以 F(x)有 5个零点(2)函数 h(x) f(x) g(x)的零点之和可转化为 f(x) g(x)的根之和，即转化为 y1 f(x)和y2 g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和又由函数 g(x)2 |x2|与 f(x)的图象均关34于 x2 对称，可知函数 h(x)的零点之和为 12.热点题型 2 已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求.【例 2】 (1)已知函数 f(x)Error!且 g(x) f(x) mx m在(1,1内有且仅有两个不同
10、的零点，则实数 m的取值范围是( )A. (94， 2 (0， 12B. (114， 2 (0， 12C. (94， 2 (0， 23D. (114， 2 (0， 23(2)(名师押题)已知函数 f(x)Error! g(x) kx1( xR)，若函数 y f(x) g(x)在x2,3内有 4个零点，则实数 k的取值范围是( )A. B(2 ，)(22，113) 2C. D(2 ，4(22，113 3(1)A (2)C (1)令 g(x)0，则 f(x) m(x1)，故函数 g(x)在(1,1内有且仅有两个不同的零点等价于函数 y f(x)的图象与直线 y m(x1)有且仅有两个不同的交点函数
11、 f(x)的图象如图中实线所示易求 kAB ， kAC2，12过 A(1,0)作曲线的切线，不妨设切线方程为 y k(x1)，由Error!得 kx2(2 k3) x2 k0，则 (2 k3) 24 k(2 k)0，解得 k .94故实数 m的取值范围为 .(94， 2 (0， 12(2)当 x0 时，显然有 f(x) g(x)，即 x0 不是 y f(x) g(x)的零点当 x0 时， y f(x) g(x)在 x2,3内的零点个数即方程 f(x) g(x)(2 x3)的实根的个数当 0 x3 时，有 kx1 x23，即 k x ；2x当2 x0 时，有 kx114 xcos x，即 k4c
12、os x.则 y f(x) g(x)(2 x3)的零点个数等价于函数 y k与 yError!的图象的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由图知 2 k ，故选 C.2113方法指津求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围.,提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果.变式训练 2 (
13、1)已知 f(x)是奇函数并且是 R上的单调函数，若函数 y f(2x21) f( x)只有一个零点，则实数 的值是( )【导学号：68334142】A. B.14 18C D78 38(2)设函数 f(x)是定义在 R上的周期为 2的函数，且对任意的实数 x，恒有 f(x) f( x)0，当 x1,0时， f(x) x2，若 g(x) f(x)log ax在 x(0，)上有且仅有三个零点，则 a的取值范围为( )A3,5 B4,6C(3,5) D(4,6)(1)C (2)C (1)令 y f(2x21) f( x)0，且 f(x)是奇函数，则 f(2x21) f( x) f(x )，又因为 f(x)是 R上的单调函数，所以 2x21 x 只有一个零点，即 2x2 x1 0 只有一个零点，则 18(1 )0，解得 ，故选 C.78(2)因为 f(x) f( x)0，所以 f(x) f( x)，所以 f(x)是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出 f(x)的图象如图所示：因为 g(x) f(x)log ax在 x(0，)上有且仅有三个零点，所以 y f(x)和 ylog ax的图象在(0，)上只有三个交点，所以Error!解得 3 a5.
