1、突破点 12 圆锥曲线的定义、方程、几何性质(对应学生用书第 44 页)核心知识提炼提炼 1 圆锥曲线的定义(1)椭圆:| PF1| PF2|2 a(2a| F1F2|)(2)双曲线:| PF1| PF2|2 a(2a| F1F2|)(3)抛物线:| PF| PM|,点 F 不在直线 l 上, PM l 于 M(l 为抛物线的准线).提炼 2 圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中 a, b, c 之间的关系在椭圆中: a2 b2 c2;离心率为 e ;ca 1 b2a2在双曲线中: c2 a2 b2;离心率为 e .ca 1 b2a2(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线 1( a0, b
2、0)的渐近线方程为 y x;焦点坐标 F1( c,0), F2(c,0);x2a2 y2b2 ba双曲线 1( a0, b0)的渐近线方程为 y x,焦点坐标 F1(0, c),y2a2 x2b2 abF2(0, c)(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线 y22 px(p0)的焦点坐标为 ,准线方程为 x ;(p2, 0) p2抛物线 x22 py(p0)的焦点坐标为 ,准线方程为 y .(0, p2) p2提炼 3 弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于点 A(x1, y1), B(x2, y2)时,|AB| |x1 x2| 或| AB| |y1 y2|1
3、 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x21 (1k)2 1 (1k)2. y1 y2 2 4y1y2(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y22 px(p0)焦点 F 的弦,若 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x1x2 , y1y2 p2;弦长| AB| x1 x2 p ( 为弦 AB 的倾斜角); p24 2psin2 1|FA| ;以弦 AB 为直径的圆与准线相切1|FB| 2p高考真题回访回访 1 椭圆及其性质1(2017浙江高考)椭圆 1 的离心率是( )x29 y24A. B.133 53C. D.23 59B 椭圆方程为 1,x29 y24 a3,
4、 c .a2 b2 9 4 5 e .ca 53故选 B.2(2016浙江高考)已知椭圆 C1: y21( m1)与双曲线 C2: y21( n0)的焦点重合,x2m2 x2n2e1, e2分别为 C1, C2的离心率,则( )A mn 且 e1e21 B mn 且 e1e21 D mn2.m2 1 n2 1 m1, n0, mn. C1的离心率 e1 , C2的离心率 e2 ,m2 1m n2 1n e1e2 m2 1m n2 1n m2 1 n2 1mn m2 1 n2 1m2n2 1. n2 1 2 n2 2 n2 n4 2n2 1n4 2n2 13(2015浙江高考)椭圆 1( ab0
5、)的右焦点 F(c,0)关于直线 y x 的对称点 Q 在椭圆x2a2 y2b2 bc上,则椭圆的离心率是_设椭圆的另一个焦点为 F1( c,0),如图,连接 QF1, QF,设 QF 与直线 y x 交于点 M.22 bc由题意知 M 为线段 QF 的中点,且 OM FQ.又 O 为线段 F1F 的中点, F1Q OM, F1Q QF,| F1Q|2| OM|.在 Rt MOF 中,tan MOF ,| OF| c,|MF|OM| bc可解得| OM| ,| MF| ,c2a bca故| QF|2| MF| ,| QF1|2| OM| .2bca 2c2a由椭圆的定义得| QF| QF1|
6、2 a,2bca 2c2a整理得 b c, a c,b2 c2 2故 e .ca 224(2014浙江高考)如图 121,设椭圆 C: 1( ab0),动直线 l 与椭圆 C 只有一个公x2a2 y2b2共点 P,且点 P 在第一象限图 121(1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a, b, k 表示点 P 的坐标;(2)若过原点 O 的直线 l1与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1的距离的最大值为 a b.解 (1)设直线 l 的方程为 y kx m(k0,可化为(| PF1| PF2|)22| PF1|PF2|16.由|PF1| PF2|2,得(| PF1| PF2|)24| PF1|
7、PF2|4.故 2|PF1|PF2|,代入不等式可得(| PF1| PF2|)228,解得| PF1| PF2|2 .不 |PF1| |PF2| 2 42 7妨设 P 在左支上,| PF1|216| PF2|20,即(| PF1| PF2|)(|PF1| PF2|)16,又|PF1| PF2|2,| PF1| PF2|0, b0)的两条渐近线分x2a2 y2b2别交于点 A, B.若点 P(m,0)满足| PA| PB|,则该双曲线的离心率是_双曲线 1 的渐近线方程为 y x.52 x2a2 y2b2 ba由Error!得 A ,(am3b a, bm3b a)由Error!得 B ,( a
8、ma 3b, bma 3b)所以 AB 的中点 C 坐标为 .(a2m9b2 a2, 3b2m9b2 a2)设直线 l: x3 y m0( m0),因为| PA| PB|,所以 PC l,所以 kPC3,化简得 a24 b2.在双曲线中, c2 a2 b25 b2,所以 e .ca 52回访 3 抛物线及其性质8(2015浙江高考)如图 122,设抛物线 y24 x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A, B, C,其中点 A, B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 BCF 与 ACF 的面积之比是( )图 122A. B.|BF| 1|AF| 1 |BF|2 1|AF|2
9、1C. D.|BF| 1|AF| 1 |BF|2 1|AF|2 1A 由图形可知, BCF 与 ACF 有公共的顶点 F,且 A, B,C 三点共线,易知 BCF 与 ACF 的面积之比就等于 .由抛|BC|AC| 物线方程知焦点 F(1,0),作准线 l,则 l 的方程为 x1.点 A, B 在抛物线上,过 A, B 分别作AK, BH 与准线垂直,垂足分别为点 K, H,且与 y 轴分别交于点 N, M.由抛物线定义,得|BM| BF|1,| AN| AF|1.在 CAN 中, BM AN, .|BC|AC| |BM|AN| |BF| 1|AF| 19(2016浙江高考)若抛物线 y24
10、x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 点到 y 轴的距离是_9 设点 M 的横坐标为 x,则点 M 到准线 x1 的距离为 x1,由抛物线的定义知x110, x9,点 M 到 y 轴的距离为 9.10(2016浙江高考)如图 123,设抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于| AF|1.(1)求 p 的值;(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点N, AN 与 x 轴交于点 M,求 M 的横坐标的取值范围解 (1)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线
11、x1 的距离, 2 分由抛物线的定义得 1,即 p2. 4 分p2(2)由(1)得,抛物线方程为 y24 x, F(1,0),可设 A(t2,2t), t0, t1.因为 AF 不垂直于 y 轴,可设直线 AF: x sy1( s0),由Error!消去 x 得 y24 sy40, 6 分故 y1y24,所以 B . 7 分(1t2, 2t)又直线 AB 的斜率为 ,故直线 FN 的斜率为 ,从而得直线 FN: y (x1),2tt2 1 t2 12t t2 12t直线 BN: y ,所以 N . 8 分2t (t2 3t2 1, 2t)设 M(m,0),由 A, M, N 三点共线得 ,2t
12、t2 m2t 2tt2 t2 3t2 1于是 m 2 , 11 分2t2t2 1 2t2 1所以 m2.经检验, m2 满足题意综上,点 M 的横坐标的取值范围是(,0)(2,). 15 分(对应学生用书第 46 页)热点题型 1 圆锥曲线的定义、标准方程题型分析:圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容,主要以选择、填空的形式考查,解题时分两步走:第一步,依定义定“型” ,第二步,待定系数法求“值”.【例 1】 (1)已知方程 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 nx2m2 n y23m2 n的取值范围是( ) 【导学号:68334125】A(1,3) B(1, )3C(0,3
13、) D(0, )3(2)已知抛物线 C: y28 x 的焦点为 F,准线为 l, P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 4 ,则| QF|( )FP FQ A. B3 72C. D252(1)A (2)B (1)若双曲线的焦点在 x 轴上,则Error!又( m2 n)(3 m2 n)4, m21,Error!13m2且 n0), O 为坐标原点, F 为其焦点,准线与 x 轴交点为 E, P 为抛物线上任意一点,则 ( )|PF|PE|图 124A有最小值 B有最小值 122C无最小值 D最小值与 p 有关(1)A (2)A (1)设双曲线的渐近线方程为 y kx,
14、即 kx y0,由题意知 1,解| 2|k2 1得 k ,则双曲线的焦点在 x 轴上,设双曲线方程为 1,3x2a2 y2b2则有Error!解得Error! 故选 A.(2)过点 P 作 PF垂直于准线交准线于 F.设 P ,故(y22p, y)|PF| ,| EF| y,因为 1,此时y22p p2 |EF |PF | 1y2p p2y |PF|PE|有最小值 ,故选 A.22热点题型 2 圆锥曲线的几何性质题型分析:圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点,其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一,建立关于 a, c 的方程或不等式是求解的关键.【例 2】 (1)已知 O 为坐标原点,
15、F 是椭圆 C: 1( a b0)的左焦点, A, B 分别为 Cx2a2 y2b2的左、右顶点 P 为 C 上一点,且 PF x 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( )A. B. 13 12C. D.23 34(2)(2017杭州第二次质检)设抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F,点 A, B 在抛物线上,且 AFB120,弦 AB 的中点 M 在准线 l 上的射影为 M1,则 的最大值为_|MM1|AB|(1)A (2) (1)如图所示,由题意得 A( a,0), B(a,0), F( c,0)
16、由 PF x 轴得 P33.( c,b2a)设 E(0, m),又 PF OE,得 ,|MF|OE| |AF|AO|则| MF| . m a ca又由 OE MF,得 ,12|OE|MF| |BO|BF|则| MF| . m a c2a由得 a c (a c),即 a3 c,所以 e .12 ca 13故选 A.(2)如图所示,由抛物线的定义以及梯形的中位线定理得| MM1| |AF| |BF|2,在 ABF 中,由余弦定理得|AB|2| AF|2| BF|22| AF|BF|cos 23|AF|2| BF|2| AF|BF|(| AF| BF|)2| AF|BF|(| AF| BF|)2 2
17、3| MM1|2,当且仅当| AF| BF|时,等号成立,故 取得最大值 .(|AF| |BF|2 ) |MM1|AB| 33方法指津1求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定 a, b, c 的等量关系或不等关系,然后把 b 用 a, c 代换,求 的值ca2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法:把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零,分解因式可得(2)用法:可得 或 的值ba ab利用渐近线方程设所求双曲线的方程变式训练 2 (1)已知 F1, F2是双曲线 E: 1 的左,右焦点,点 M 在 E 上, MF1与 x 轴x2a2
18、y2b2垂直,sin MF2F1 ,则 E 的离心率为( )13A. B. 232C. D23(2)(名师押题)已知椭圆 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1, F2,过点 F2的直线与x2a2 y2b2椭圆交于 A, B 两点,若 F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) 【导学号:68334126】A. B222 3C. 2 D. 5 6 3(1)A (2)D (1)法一:如图,因为 MF1与 x 轴垂直,所以|MF1| .又 sin MF2F1 ,所以 ,b2a 13 |MF1|MF2| 13即| MF2|3| MF1|.由双曲线的定义得 2a|MF2|
19、 MF1|2| MF1| ,所以 b2 a2,所以2b2ac2 b2 a22 a2,所以离心率 e .ca 2法二:如图,因为 MF1 x 轴,所以| MF1| .b2a在 Rt MF1F2中,由 sin MF2F1 得13tan MF2F1 .24所以 ,即 ,即 ,|MF1|2c 24 b22ac 24 c2 a22ac 24整理得 c2 ac a20,22两边同除以 a2得 e2 e10.22解得 e (负值舍去)2(2)设| F1F2|2 c,| AF1| m,若 F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,| AB| AF1| m,| BF1| m.2由椭圆的定义可知 F1AB 的周长为 4a,4 a2 m m, m2(2 )a.2 2| AF2|2 a m(2 2) a.2| AF1|2| AF2|2| F1F2|2,4(2 )2a24( 1) 2a24 c2,2 2 e296 , e .2 6 3