1、专题限时集训(九) 空间中的平行与垂直关系(对应学生用书第 133页)建议 A、B 组各用时：45 分钟A组 高考达标一、选择题1设 l， m是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是( )A若 l m， m ，则 l B若 l ， l m，则 m C若 l ， m ，则 l mD若 l ， m ，则 l mB A 中，根据线面垂直的判定定理，只有垂直平面内两条相交直线才行，故 A不正确；B中，由线面垂直的性质可知，平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直这个平面，故 B正确；C 中， l， m可能平行也可能异面，故 C不正确；D 中，平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，故
2、 D不正确，故选 B.2设 m， n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列四个命题：若 m n， m ，则 n ；若 m ， m ，则 ；若 m n， m ，则 n ；若 m ， m ，则 .其中真命题的个数为( ) 【导学号：68334110】A1 B2 C3 D4A 对于，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于，平面 与 可能平行或相交，故错误；对于，直线 n可能平行于平面 ，也可能在平面 内，故错误；对于，由两平面平行的判定定理易得平面 与 平行，故错误综上所述，正确命题的个数为 1，故选 A.3如图 912所示，直线 PA垂直于 O所在的平面， ABC内接于 O，且 A
3、B为 O的直径，点M为线段 PB的中点现有结论： BC PC； OM平面 APC；点 B到平面 PAC的距离等于线段 BC的长其中正确的是( )图 912A BC DB 对于， PA平面 ABC， PA BC. AB为 O的直径， BC AC.又 PA AC A， BC平面 PAC，又 PC平面 PAC， BC PC.对于，点 M为线段 PB的中点， OM PA. PA平面 PAC， OM平面 PAC， OM平面 PAC.对于，由知 BC平面 PAC，线段 BC的长即是点 B到平面 PAC的距离，故都正确4已知 ， 是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面 ， ， ；存在一条直线 a，
4、a ， a ；存在两条垂直的直线 a， b， a ， b .其中，所有能成为“ ”的充要条件的序号是( )A B C DD 对于，存在一个平面 ， ， ，则 ，反之也成立，即“存在一个平面 ， ， ”是“ ”的充要条件，所以对，可排除 B，C.对于，存在两条垂直的直线 a， b，则直线 a， b所成的角为 90，因为 a ， b ，所以 ， 所成的角为 90， 即 ，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a， b， a ， b ”是“ ”的充要条件，所以对，可排除 A，选 D.5在三棱锥 PABC中，已知 PA底面 ABC， AB BC， E， F分别是线段 PB， PC上的动点，则下列说法错误的
5、是( )图 913A当 AE PB时， AEF一定为直角三角形B当 AF PC时， AEF一定为直角三角形C当 EF平面 ABC时， AEF一定为直角三角形D当 PC平面 AEF时， AEF一定为直角三角形B 因为 AP平面 ABC，所以 AP BC，又 AB BC，且 PA和 AB是平面 PAB上两条相交直线，则 BC平面 PAB， BC AE.当 AE PB时， AE平面 PBC，则 AE EF， AEF一定是直角三角形，A 正确；当 EF平面 ABC时， EF在平面 PBC上，平面 PBC与平面 ABC相交于 BC，则EF BC，则 EF AE， AEF一定是直角三角形，C 正确；当 P
6、C平面 AEF时， AE PC，又AE BC，则 AE平面 PBC， AE EF， AEF一定是直角三角形，D 正确；B 中结论无法证明，故选 B.二、填空题6已知 P为 ABC所在平面外一点，且 PA， PB， PC两两垂直，则下列命题： PA BC； PB AC； PC AB； AB BC.其中正确命题的个数是_. 【导学号：68334111】3 如图所示， PA PC， PA PB， PC PB P， PA平面 PBC.又 BC平面 PBC， PA BC.同理 PB AC， PC AB，但 AB不一定垂直于 BC.7在三棱锥 CABD中(如图 914)， ABD与 CBD是全等的等腰直角
7、三角形， O是斜边 BD的中点， AB4，二面角 ABDC的大小为 60，并给出下面结论： AC BD； AD CO；AOC为正三角形；cos ADC ；四面体 ABCD的外接球表面积为 32.其中真命题是32_(填序号)图 914 由题意知 BD CO， BD AO，则 BD平面 AOC，从而 BD AC，故正确；根据二面角 ABDC的大小为 60，可得 AOC60，又直线 AD在平面 AOC的射影为 AO，从而 AD与 CO不垂直，故错误；根据 AOC60， AO CO可得 AOC为正三角形，故正确；在 ADC中 ， AD CD4， AC CO2 ，由余弦定理得 cos ADC ，242
8、42 22 2244 34故错误；由题意知，四面体 ABCD的外接球的球心为 O，半径为 2 ，则外接球的表面积为2S4(2 )232，故正确28正方体 ABCDA1B1C1D1中， E为线段 B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号) AC BE； B1E平面 ABCD；三棱锥 EABC的体积为定值；直线 B1E直线 BC1. 因为 AC平面 BDD1B1，故，正确；记正方体的体积为 V，则 VEABC V为定值，16故正确； B1E与 BC1不垂直，故错误三、解答题9如图 915，在四棱锥 PABCD中， PC平面 ABCD， AB DC， DC AC.图 915(1)求证：
9、DC平面 PAC.(2)求证：平面 PAB平面 PAC.(3)设点 E为 AB的中点，在棱 PB上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由解 (1)证明：因为 PC平面 ABCD，所以 PC DC. 2分又因为 DC AC，且 PC AC C，所以 DC平面 PAC. 4分(2)证明：因为 AB DC， DC AC，所以 AB AC.因为 PC平面 ABCD，所以 PC AB.又因为 PC AC C，所以 AB平面 PAC. 8分又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC. 9分(3)棱 PB上存在点 F，使得 PA平面 CEF. 12分理由如下：取 PB的中点 F，连接 EF
10、， CE， CF.又因为 E为 AB的中点，所以 EF PA.又因为 PA平面 CEF，且 EF平面 CEF，所以 PA平面 CEF. 15分10(2017绍兴稽阳联谊学校高三 4月联考)如图 916，四边形 ABCD为梯形，AB CD， C60，点 E在 CD上， AB CE， BF BD ， BD BC.现将 ADE沿 AE折成如13 3图 2 APE位置，使得二面角 PAEC的大小为 .3图 916(1)求 PB的长度；(2)求证： PB平面 ABCE；(3)求直线 CE与平面 APE所成角的正弦值【导学号：68334112】解 (1)因为 AB平行且等于 EC，所以四边形 ABCE是平
11、行四边形，所以 BC AE，又因为 BD BC，所以 BD AE，所以 AE FB， AE FP，即 PFB为二面角 PAEC的平面角. 3分又 BF ， PF2 ，3 3由余弦定理得 BP2 BF2 PF22 BFPFcos BFP9，所以 BP3. 5分(2)证明： BF ， PF2 ， BP3，满足勾股定理，3 3所以 BF PB.又因为 BF AE， PF AE， BF PF F，所以 AE平面 PFB，所以 AE PB. 7分又 BF AE F，则 PB平面 ABCE. 9分(3)法一：作 BN PF于点 N，连接 AN，由(2)可知， AE平面 BFP，所以平面 BFP平面 APE
12、，又平面 BFP平面 APE PF，所以 BN平面 APE， 12分所以 BAN是直线 AB与平面 APE所成的角在 Rt FBP中， BN BFsin ，3 32sin NAB . 13分BNAB 322 34所以直线 AB与平面 APE所成角的正弦值为 ，34即直线 CE与平面 APE所成角的正弦值为 . 15分34法二：由于 BF， BP， BC两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系，则 B(0,0,0)， C(3,0,0)， A(1， ，0)， E(2， ，0)， P(0,0,3)，则 (3,0,0)，3 3 AE (1， ，3)， 12分AP 3设平面 APE的法向量为 n( x，
13、y， z)，则Error!即Error!取 z1，则 n(0， ，1)， 13分3设直线 CE与平面 APE所成的角为 ，(1， ，0)，EC 3则 sin |cos n， | ，EC |nEC |n|EC | 34即直线 EC与平面 APE所成角的正弦值为 . 15分34B组 名校冲刺一、选择题1已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长相等，若 AA1B1 AA1C160，则异面直线 A1C与 AB1所成角的余弦值是( ) 【导学号：68334113】图 917A. B.36 23C. D.158 56A 将三棱柱补上一个相同的三棱柱构成一个四棱柱，如图所示，易知图中 A1CD1为所求角因为
14、三棱柱的所有棱长均相等，不妨设为 1，则根据此三棱柱的性质有A1D1 A1C ， CD11，则由余弦定理得 cos A1CD1 ，故选 A.33 1 323 362如图 918，四边形 ABCD中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，将 ADB沿 BD折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD.则在三棱锥 ABCD中，下列命题正确的是( )图 918A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABCD 在四边形 ABCD中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90， BD CD.又平面ABD平面
15、 BCD，且平面 ABD平面 BCD BD， CD平面 ABD，则 CD AB.又AD AB， AD CD D， AB平面 ADC，又 AB平面 ABC，平面 ABC平面 ADC，故选 D.3如图 919，在正方形 ABCD中， E， F分别是 BC， CD的中点，沿 AE， AF， EF把正方形折成一个四面体，使 B， C， D三点重合，重合后的点记为 P， P点在 AEF内的射影为 O，则下列说法正确的是( )图 919A O是 AEF的垂心 B O是 AEF的内心C O是 AEF的外心 D O是 AEF的重心A 由题意可知 PA， PE， PF两两垂直， PA平面 PEF，从而PA EF
16、，而 PO平面 AEF，则 PO EF. PO PA P， EF平面 PAO， EF AO，同理可知AE FO， AF EO， O为 AEF的垂心故选 A.4如图 920，小于 90的二面角 l 中， O l， A， B ，且 AOB为钝角， A OB是 AOB在 内的射影，则下列结论错误的是( )图 920A A OB为钝角B A OB AOBC AOB AOAD 考虑将图形特殊化，即可将此图形置于正方体中，正方体的一个对角面与底面分别为条件中的平面 ， ，如图所示， O为所在棱的中点， A， B为所 在面对角线上的一个三等分点， A， B分别为 A， B在平面 上 的射影设正方体棱长为 3
17、，则OA OB ， OA OB ， AA BB1，则由余弦定172 132 理得cos AOB ，cos A OB AOB ，所以 A，B 正确；又 cos AOAcos BOB ，所以2 1317 32 AOA BOB 知 AOB ，所以6 117 12 23 AOB AOA， B OB AOB AOA，所以 C正确，D 错误，故选 D.二、填空题5如图 921，正方形 BCDE的边长为 a，已知 AB BC，将 ABE沿边 BE折起，折起后 A点在3平面 BCDE上的射影为 D点，关于翻折后的几何体有如下描述：图 921 AB与 DE所成角的正切值是 ； AB CE； VBACE a3；平
18、面 ABC平面 ACD.其中正确216的有_(填序号) 作出折叠后的几何体直观图如图所示： AB BC a， BE a， AE a.3 3 2 AD a， AC a.在 ABC中，cos ABC AE2 DE2 CD2 AD2 2AB2 BC2 AC22ABBC .3a2 a2 2a223a2 33sin ABC .1 cos2 ABC63tan ABC .sin ABCcos ABC 2 BC DE， ABC是异面直线 AB， DE所成的角，故正确连接 BD， CE，则 CE BD，又AD平面 BCDE， CE平面 BCDE， CE AD.又 BD AD D， BD平面 ABD， AD平面A
19、BD， CE平面 ABD.又 AB平面 ABD， CE AB，故错误 VBACE VABCE S13BCEAD a2a ，故正确 AD平面 BCDE， BC平面 BCDE， BC AD.又13 12 a36BC CD， CD AD D， CD， AD平面 ACD， BC平面 ACD. BC平面 ABC，平面 ABC平面 ACD，故正确故答案为.6(2017金丽衢十二校高三第二次联考)已知 ABC中， C90，tan A ， M为 AB的中2点现将 ACM沿 CM折成三棱锥 PCBM.当二面角 PCMB大小为 60时， _.ABPB图 922作 PE CM于点 E， BF CM交 CM的延长线于
20、点 F，连接 AE，则 AE CF，且 PE与 BF所3成锐角等于二面角 PCMB的大小，即为 60.不妨设 AC1，则由tan BAC ， ACB90，得 BC ， AB ，则由 M是 AB的中点，知 MB MC，则2 2 3sin BCFsin ABC ，13| | | | |sin BCF ，| |2| |2 2PE AE BF BC 23 EF MF |BM |2 |BF |2 ，则由 ，得| |2( )2| |2| 2|(12|AB |)2 |BF |2 13 PB PE EF FB PB PE EF FB PE EF |22| | |cos 60 2 cos 601， PB1，故
21、.FB PE FB 23 13 23 23 23 ABPB 3三、解答题7端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计方案如下：将一块边长为 10的正方形纸片 ABCD剪去四个全等的等腰三角形：SEE， SFF， SGG， SHH，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒SEFGH，其中 A， B， C， D重合于点 O， E与 E重合， F与 F重合， G与 G重合， H与 H重合(如图 923所示)图 923(1)求证：平面 SEG平面 SFH；(2)当 AE 时，求二面角 ESHF的余弦值52解 (1)证明：折后 A， B， C， D重合于一点
22、 O，拼接成底面 EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，底面 DFGH是正方形， EG FH， EO OG.2分连接 SO，由题意知 SE SG， EG SO. 4分又 SO， FH平面 SFH， SO FH O， EG平面 SFH.又 EG平面 SEG，平面 SEG平面 SFH. 6分(2)过 O作 OM SH交 SH于 M点，连接 EM， EO平面 SFH， SH平面SFH， EO SH， SH平面 EMO， EMO为二面角 ESHF的平面角. 8分当 AE 时，在原平面图形中，可求得 SE .52 552在 Rt SOE中，可求得 SO 5. 10分SE2 OE2Rt SHO
23、中， OH ， SO5， SH ，52 552 OM ， 12分SOOHSH 5Rt EMO中， EM ，EO2 OM2352cos EMO . 14分OMEM 5352 23所求二面角的余弦值为 . 15分238(2017萧山中学高三 5月仿真考试)如图 924，已知矩形 ABCD中， AB4， AD3，现将DAC沿着对角线 AC向上翻折到 PAC位置，此时 PA PB.图 924(1)求证：平面 PAB平面 ABC；(2)求直线 AB与平面 PAC所成角的正弦值【导学号：68334114】解 (1)证明：因为 PA PB， PA PC， PB PC P，所以 PA平面 PBC， 3分所以
24、PA BC，又 BC AB， AB AP A，所以 BC平面 PAB， 5分又 BC平面 ABC，所以平面 PAB平面 ABC. 7分(2)法一：如图，作 BD PC于点 D，连接 AD，由(1)知 PA平面 PBC，所以 PA BD，而 BD PC， PA PC P，所以 BD平面 PAC，所以 BAD为直线 AB与平面 PAC所成的角， 10分在 Rt PBC中， BC3， PC4， PB ，7所以 BD 13分，374又 AB4，在 Rt ADB中，sin BAD ，BDAB 3716所以直线 AB与平面 PAC所成角的正弦值为 . 15分3716法二：由(1)知平面 PAB平面 ABC
25、，所以在平面 PAB内，过点 P作 PE AB于点 E，则 PE平面 ABC， 9分如图，以 B为坐标原点，建立空间直角坐标系( z轴与直线 PE平行)，在 Rt PBC中， BC3， PC4， PB ，7在 Rt APB中， AP3， AB4， PE ， BE ，374 74可知 A(0，4,0)， B(0,0,0)， C(3,0,0)， P ， 12分(0， 74， 374)(3,4,0)， ，AC AP (0， 94， 374)则易得平面 PAC的一个法向量为 m ，(4， 3， 97)(0,4,0)，AB 所以 cos ， m ，AB AB m|AB |m| 3716故直线 AB与平面 PAC所成角的正弦值为 . 15分3 716
